【KS5U解析】云南省曲靖市2020屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理科）試題 Word版含解析

1、曲靖市2019-2020學(xué)年高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理科）試題卷一、選擇題1.設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】本題先計(jì)算集合b,然后結(jié)合集合交集運(yùn)算性質(zhì),即可.【詳解】,所以,故選a.【點(diǎn)睛】本道題考查了集合交集運(yùn)算性質(zhì),難度較小.2.若復(fù)數(shù)滿足：，則（ ）a. 1b. c. d. 2【答案】b【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)滿足的等式化簡(jiǎn)變形，結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可化簡(jiǎn)得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義及運(yùn)算即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，由復(fù)數(shù)模定義及運(yùn)算可得，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則=（

2、)a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：利用誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式，即可得結(jié)果.詳解：所以，故選b.點(diǎn)睛：本題主要考查誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式，屬于中檔題. 解答給值求值問題時(shí)要注意：(1)觀察角，分析角與角之間的差異以及角與角之間的和、差、倍的關(guān)系，巧用誘導(dǎo)公式或拆分技巧；(2)觀察名，盡可能使三角函數(shù)統(tǒng)一名稱；(3)觀察結(jié)構(gòu)，以便合理利用公式，整體化簡(jiǎn)求值.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）a. 7b. 9c. 10d. 11【答案】b【解析】【分析】列出循環(huán)的每一步，根據(jù)條件成立，循環(huán)結(jié)束，可得出輸出結(jié)論.【詳解】運(yùn)行該程序，輸入，則；，不滿足判斷框，則；

3、，不滿足判斷框，則；，不滿足判斷框，則；，不滿足判斷框，則；，滿足判斷框，輸出.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，若，則與夾角是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】首先根據(jù)的坐標(biāo)計(jì)算，根據(jù)得到，再代入夾角公式計(jì)算即可.【詳解】，即，解得.設(shè)與夾角為，則，又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角的計(jì)算，同時(shí)考查了平面向量的模長(zhǎng)，屬于中檔題.6.在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膳（bi nào）.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)1，粗實(shí)線畫出的是某鱉臑的三視圖，則該鱉臑表面積為（ ）

4、a. 6b. 21c. 27d. 54【答案】c【解析】【分析】結(jié)合三視圖,還原直觀圖,計(jì)算表面積,即可.【詳解】結(jié)合三視圖,還原直觀圖為已知,則該四面體,故選c.【點(diǎn)睛】本道題考查了三視圖還原直觀圖,難度中等.7.已知滿足，的最大值為，則直線過定點(diǎn)（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由約束條件作出可行域，得到使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到的關(guān)系式，再代入直線由直線系方程得出答案.【詳解】由滿足，作出可行域如圖：由圖可知，為目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，聯(lián)立，解得，即，所以，代入，得，即，由，解得，直線過定點(diǎn)，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的

5、線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.8.設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（ ）（注：若，則，）a. 7539b. 7028c. 6587d. 6038【答案】c【解析】分析】由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案【詳解】由題意知，正方形的邊長(zhǎng)為1，所以正方形的面積為 又由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對(duì)稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比幾何概型可得概率為，

6、所以落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是，故選c【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題9.設(shè)函數(shù)滿足，若存在零點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中一定錯(cuò)誤的是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由題意可知，將函數(shù)的解析式變形為，分析可得在其定義域上為增函數(shù)，結(jié)合分析可得必有或，據(jù)此分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】解：由，得因?yàn)楹瘮?shù) 在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，若，則必有或，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則，或或所以選項(xiàng)c不正確故選：c【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的零點(diǎn)

7、判斷定理，注意分析函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由雙曲線的方程可得一條漸近線方程，根據(jù)圓的方程得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a, b的關(guān)系，即可求解.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到漸近線的距離為所以弦長(zhǎng)，化簡(jiǎn)得：，即，解得所以.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.11.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的面積為（ ）a. 或b. c. d. 【

8、答案】d【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)條件得出sina的值，利用余弦定理計(jì)算bc，代入面積公式即可求出三角形的面積.【詳解】，即或，若，則，故，與矛盾，由余弦定理得故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題.12.，對(duì)于，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】對(duì)于，均有，在坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，推出結(jié)果【詳解】 解：，對(duì)于，則，在坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象，如圖：對(duì)于，均有，就是函數(shù)的圖象都在圖象的上方，則可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，可得，可得，此時(shí)，解得，

9、所以切線的斜率為：可得故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線斜率的求法，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用二、填空題13.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)，則_.【答案】【解析】【分析】首先得出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后即可分析出其經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解出即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為所以其經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為所以，即故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是由拋物線的方程得準(zhǔn)線方程，較簡(jiǎn)單.14.已知二項(xiàng)式展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為_.【答案】【解析】【詳解】【分析】由已知求得，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為0或2求得值，則答案可得【詳解】

10、展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，展開式的通項(xiàng)為，令，展開式的常數(shù)項(xiàng)為；令，展開式的項(xiàng)為則展開式中常數(shù)項(xiàng)為故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，考查兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積的指定項(xiàng)，考查二項(xiàng)式系數(shù)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15.關(guān)于函數(shù)，有下列命題：由可得必是的整數(shù)倍；在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確的命題的序號(hào)是_.（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)逐一判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于，令，即，則，則，即必是的整數(shù)倍，即錯(cuò)誤；對(duì)于，令，得，又，即在

11、區(qū)間上單調(diào)遞增，即正確；對(duì)于，令，解得，當(dāng)時(shí)，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即正確；對(duì)于，令，解得，解，無整數(shù)解，即錯(cuò)誤，綜上可得正確的命題的序號(hào)是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.16.在幾何體中，是正三角形，平面平面，且，則的外接球的表面積等于_【答案】【解析】由題意，取的中點(diǎn)，連接，且，則點(diǎn)為正三角形的中點(diǎn)，易證平面，取中點(diǎn)，連接，作，連接，則為外接球的半徑，又，則，所以外接球的表面積為，從而問題可得解.點(diǎn)睛：此題主要考查簡(jiǎn)單組合體的表面積的計(jì)算，以及三棱錐外接球半徑的求問題，屬于中高檔題型，也是?？碱}型.在解決此類問題的過程中，常以三棱錐為基礎(chǔ)，構(gòu)

12、造出長(zhǎng)方體（或是正方體），則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為此三棱錐的外接球的直徑，再根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行運(yùn)算即可.三、解答題17.某數(shù)學(xué)教師在甲、乙兩個(gè)平行班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“高效課堂”兩種不同的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).為了解教改實(shí)效，期中考試后，分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的莖葉圖：（）求甲、乙兩班抽取的分?jǐn)?shù)的中位數(shù)，并估計(jì)甲、乙兩班數(shù)學(xué)的平均水平和分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（）若規(guī)定分?jǐn)?shù)在的為良好，現(xiàn)已從甲、乙兩班成績(jī)?yōu)榱己玫耐瑢W(xué)中，用分層抽樣法抽出位同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，求這位同學(xué)中恰含甲、乙兩班所有分以上的同學(xué)的概率.【答案】（）118，128，

13、見解析；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)中位數(shù)的概念可得出中位數(shù)值，由莖葉圖看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；（）由分層抽樣的概念可得應(yīng)從甲、乙兩班各抽出人、人，再由排列組合結(jié)合相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式確定出概率即可.【詳解】（）根據(jù)莖葉圖得：甲班抽出同學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)：，乙班抽出同學(xué)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)：.乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的平均水平高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的平均水平；甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分散程度高于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分散程度.（）根據(jù)莖葉圖可知：甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀人數(shù)分別為、，其中分以上的有2人，3人，若用分層抽樣法抽出人，則應(yīng)從甲、乙兩班各抽出人、人.設(shè)“抽出的人中恰含

14、有甲、乙兩班的所有分以上的同學(xué)”為事件，則.故，抽出的人中恰含有甲、乙兩班的所有分以上的同學(xué)的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由莖葉圖求中位數(shù)，排列組合求概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，屬于中檔題.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證：.【答案】（）；（）證明見解析.【解析】【分析】（）由已知構(gòu)造，兩式相減化簡(jiǎn)可得.（）求出，放縮利用裂項(xiàng)法求和可得.【詳解】（）已知，所以，得，即；因?yàn)?，所以?由得，故為等差數(shù)列，公差.因此，.（）因?yàn)?，所以?【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng)及用裂項(xiàng)法求和.已知求的三個(gè)步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得

15、到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式(3)對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律:(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)19.如圖所示，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角等于，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用平行四邊形判定法則，證明cn平行me，然后結(jié)合直線與平面平行判定，即可（2

16、）建立直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算兩平面的法向量，然后結(jié)合向量數(shù)量積，即可【詳解】（1）取線段中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，分別是、的中點(diǎn)，所以且，正方形中，是的中點(diǎn).所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，從而，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）過作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，從而為直線在平面內(nèi)的射影，故為直線與平面所成角，所以.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以過點(diǎn)且平行于的直線、，所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，分別為平面和的法向量，則，即，令得，即，令得， ，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本道題考查了直線與平面平行的判定和二面角計(jì)算方法，難度較大20.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是

17、，的周長(zhǎng)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）設(shè)不過原點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的最大值.【答案】（）；（）1.【解析】【分析】（）,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左右頂點(diǎn)）.利用定義法求點(diǎn)軌跡方程，利用求出點(diǎn)的軌跡的方程即可.（）設(shè)直線的方程為與點(diǎn)的軌跡的方程聯(lián)解，利用根與系數(shù)關(guān)系與直線的斜率依次成等比數(shù)列建立方程求出，再求出弦長(zhǎng)與.點(diǎn)到直線的距離.運(yùn)用三角形面積公式建立關(guān)于的表達(dá)式求出最值.【詳解】（）已知，所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左右頂點(diǎn)）.因?yàn)?，所以?所以，點(diǎn)的軌跡方程為.設(shè)，.由得，又.故，點(diǎn)的軌跡的方程為，即.（）由題意可知

18、，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為，由，消去得，則，即，且，故.直線的斜率依次成等比數(shù)列，即，又，所以，即.由，及直線的斜率存在，得，點(diǎn)到直線的距離.，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題. （1）定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解（2）解決是否存在直線的問題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.21.已知函數(shù)，.（）求函數(shù)在上的最值；（）若對(duì)，總有

19、成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）當(dāng)時(shí)，滿足條件的不存在；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，（）.【解析】【分析】（）解出導(dǎo)函數(shù)方程的根，討論根與給定區(qū)間關(guān)系，分類討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)最值.（）對(duì)進(jìn)行等價(jià)變換構(gòu)造新函數(shù)，解決恒成立問題；分離參數(shù)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.【詳解】（）因?yàn)?；令得?當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，滿足條件的不存在；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，.（）因?yàn)?，等價(jià)于，令，因?yàn)椋傆谐闪?，所以，在上單調(diào)遞增.問題化為對(duì)恒成立.即對(duì)恒成立.令，則.由得，.當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，故的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值及不等

20、式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)在內(nèi)單調(diào)性的步驟: (1)求；(2)確定在內(nèi)的符號(hào)；(3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論不等式恒成立問題的求解方法：(1)已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍利用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分離參數(shù)法， (2)如果無法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線交于、兩點(diǎn).（1）求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，求面積的最