2020年人教版高考文數(shù)作業(yè)手冊第53講立體幾何的綜合應用

1、第53講立體幾何的綜合應用1. (2018全國卷川)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點.證明：平面AMD丄平面BMC.在線段AM上是否存在點P,使得MC/平面PBD?說明理由.(1)證明：由題設知，平面CMD丄平面ABCD，交線為CD.因為BC JCD,BC?平面ABCD，所以BC丄平面CMD,故BCJDM .因為M為CD上異于C,D的點，且DC為直徑,所以DM _LCM.又BCACM=C,所以DM丄平面BMC.而DM?平面AMD，故平面AMD丄平面BMC.(2)當P為AM的中點時，MC/平面PBD.證明如下：連接AC交BD于O.因為ABCD為矩形，所

2、以O為AC中點. 連接OP，因為P為AM中點，所以MC /OP.又MC?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC/平面PBD.2.(2016全國卷I)如圖，已知正三棱錐PABC的側面是直角三角形，PA=6,頂點P在平面ABC內的正投影為點D,D在平面PAB內的正投影為點E,連接PE并延長交AB于 點G.證明：G是AB的中點；在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的 體積.CE)(1)證明：因為P在平面ABC內的正投影為D,所以AB JPD.因為D在平面PAB內的正投影為E,所以AB IDE.因為PDADE=D,所以AB丄平面PED，故AB IPG.又由已知可

3、得，PA=PB，所以G是AB的中點.(2)在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA于點F , F即為E在平面PAC內的正投影.理由如下：由已知可得PB丄A,PB JPC,又EF /PB,所以EF丄A,EF!PC.又PAAPC=P,因此EF丄平面PAC,即點F為E在平面FAC內的正投影.連接CG,因為P在平面ABC內的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.由知，G是AB的中點，所以D在CG上,故CD=3CG.由題設可得PC丄平面PAB,DE丄平面PAB,2 1所以DE PC,因此PE=3PG,DE=3PC.由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且RA=6,可得DE=2,PE=2 2.在等腰直角

4、三角形EFP中，可得EF=PF=2,1 14所以四面體PDEF的體積3 233.(2017全國卷n)如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=,/BAD=ZABC=90(1)證明：直線BC/平面PAD;若PCD的面積為2 7，求四棱錐PABCD的體積.09 (1)在平面ABCD內，因為/BAD=ZABC=90,所以BC/AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD，故BC/平面FAD.(2)如圖，取AD的中點M，連接PM,CM.由AB=BC=|AD及BC/AD，/ABC=90。得四邊形ABCM為正方形，則CM1AD.因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面A

5、BCD，平面PAD門平面ABCD=AD,所以PM 1AD,PM丄底面ABCD.因為CM?底面ABCD，所以PM JCM.設BC=x,貝U CM=x,CD=,2x,PM=. 3x,PC=PD=2x.如圖，取CD的中點N,連接PN,貝U PN1CD,所以PN=2x.因為PCD的面積為2 7，所以2X2xx = 2 7,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2 3.1所以四棱錐P-ABCD的體積V=-X34.(2017全國卷川)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD.(1)證明：AC丄BD;(2)已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE丄EC, 求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.CZ3 (1)如圖，取AC的中點0,連接DO,BO.因為AD=CD，所以AC dDO.又由于ABC是正三角形，所以ACJBO.BOnDO=0，從而AC丄平面DOB,BD?平面DOB, 故AC1BD.連接EO.由(1)及題設知/ADC=90所以DO=AO.2 2 2在RtAOB中，BO+AO=AB .又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/DOB=9022+4X2 3=4 3.D1由題設知厶AEC為直角三角形，所以EO=?AC.又ABC是正三角形，所以AC=AB,1又AB=BD，