西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)作業(yè)答案

1、行列式部分的填空題1 .在5階行列式aij中，項(xiàng) a13a24a32a45a51前的符號(hào)應(yīng)取 正 號(hào)。2 .排列 45312的逆序數(shù)為 8。3 行列式4 行列式5 行列式6 .計(jì)算-3-1 X2 -15-2x -12 -1行列式部分計(jì)算題1.計(jì)算三階行列式解:-4-1中元素x的代數(shù)余子式是中元素-2的代數(shù)余子式是中，x的代數(shù)余子式是-5-11-4-1=(-4)(-1)2'2=-4-12 .決定i和j,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7為奇排列.解：i和j等于5或8。(1 )當(dāng) i=5, j=8 時(shí)，排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 貝U成為排列 1 2 3 4 5 6 8

2、 9 7, N(1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2，該排列為偶排列。(2)當(dāng) i=8, j=5 時(shí)，排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 貝U成為排列 1 2 3 4 8 6 5 9 7 , N(1 2 3 4 5 68 9 7)=5，該排列為奇排列。所以當(dāng)i=8 , j=5時(shí)，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7為奇排列。31x3.（7分）已知4x0鼻0 ,求x的值10x31x解:D =4x0=2 x(X-2)10x當(dāng) x =0 或 x=2 時(shí)，D=0 ,31x所以，當(dāng)x式0或x式2時(shí)，4x0式01 0x4. （8分）齊次線(xiàn)性方程組嚴(yán) y z = 0* x + Ay + z =

3、0x + y + z = 0有非零解，求'O農(nóng)112解：D= 1 X 1 = （X 一1）1 1 1如果方程組有非零解，則D=0，即=1。5 .用克萊姆法則求下列方程組:x 2y 4z =315x y 2z =293x - y z = 10解：計(jì)算行列式124D=512=-27 式 03-113124D1 =2912= 8110-111314D2 =5292= 1083101124D3 =512= -1353-11所以：“D 二3，廠 D "，z=D =5矩陣部分填空題2.已知矩陣(1 , 2,A=3),則 A A =2 若4階方陣A的行列式|A|=2，則|A3|=83 .設(shè)

4、A為3階矩陣，若已知 A二m,則-mA二-m4 .(15.矩陣_1 的伴隨矩陣是26 .設(shè)A是3階方陣，且 A2=0，貝U A3=0./ 17 .設(shè)A為2階方陣，|A|=2，則A =223 4-2 4 5，求矩陣A的秩.10 1 2矩陣部分計(jì)算題j1. 已知矩陣A=1:1解：對(duì)矩陣作以下初等變換:123412A= 1245 t0411012一08123t 0 1-1I40 4以看出：r ( A) =25 0 02. 設(shè) A= 0 4 3，求 A，'0 2 1 _jA1 A21A31r-200A12A22A32=05-15AI3A23A33 _L0-1020 一

5、A21 = 0 , A22 = 5 , A23 = -10 , A3115解：A = 00=5 (-1)121=5 X0,所以A可逆。Al =(-1)T=一2人2珂-仃2：=0，A3 = (-1)14 =02 ，同法可得:01aTa廠210°-10-152032-213 .設(shè) A= 230，求 A*和 A-15解:=10 = 0,所以A可逆。易得：A11 =10 ,A|2 =-10 ,A13=2 ,A21A23 = _4 ,A31 二 0,A32 - 0 ,A33 = 2。A* =-1050-10502_42_2-42_T曰 于是:1001100100-11.51004 .設(shè) A=1

6、20，求A-1。213 一100解：A=120213= 6 = 0，所以A可逆。易得：人1 =6 ,人2-3 , A3-3, An = 0 , A22 = 3 , A23 - T ,二 0 ,A32 = 0 ,A33 二 2。600是:A3303-12 一.116-3一一301-14 設(shè)A =(aj)為三階矩陣，若已知|A|=2，求|A|A| . 解：|AA=|A A = A =24=16線(xiàn)性方程組部分填空題1 設(shè)齊次線(xiàn)性方程組 Ax=0的系數(shù)陣A的秩為r,當(dāng)r= n時(shí)，貝U Ax=0只有零解；當(dāng) Ax=0有無(wú)窮多解時(shí)，其基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為n-r .2.設(shè)n1,n2為方程組Ax=b的兩

7、個(gè)解，則叭-生是其導(dǎo)出方程組的解。3 設(shè)a。是線(xiàn)性方程組 Ax=b的一個(gè)固定解，設(shè)z是導(dǎo)出方程組的某個(gè)解，則線(xiàn)性方程組 Ax=b 的任意一個(gè)解B可表示為B = a +z .4 .若n元線(xiàn)性方程組 Ax=b有解，R (A) =r,則當(dāng)r=n 時(shí)，有惟一解；當(dāng) rv n時(shí)，有無(wú)窮多解。5 . A是mxn矩陣，齊次線(xiàn)性方程組 Ax=0有非零解的充要條件是r (A)v n .6 . n元齊次線(xiàn)性方程組 Ax=0僅有零解的充分必要條件是 r (A) =n 。7線(xiàn)性方程組 Ax=b有解的充要條件是r(Ab)=r(A)。8 設(shè)U1是線(xiàn)性方程組 Ax=b的一個(gè)特解，W,V2,vn_r是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則線(xiàn)

8、性方程組Ax=b的全部解可以表示為 U= _u q J C2 2CJn r1 求線(xiàn)性方程組-x2 +x4 = -1xi +3X2 7X3 +4x4 =3 的通解.3X1 -2X2 x3 x4 = -2解：對(duì)增廣矩陣（Ab）施以以下初等變換:2(Ab) = 1：314-27-7-1122-11-11-113一2-2-74 ：301 ;-1T11 ;-2 一i:31f1 0-1 1 ： 01；1T0 121 ： 1+° 一1 i0 00 003-1410所以:取X3二C|, X2 =C2 （其中C| , C2為任意常數(shù)）則原方程組的通解為:二 C _ C2 x2 =1 2qX3 = c1

9、iX4= C22 求齊次線(xiàn)性方程組x1 2x2 亠 x3 -x4 =03x1 6x2x3=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系5X1 10X2 X3 -5X4 =0解：對(duì)增廣矩陣（j2 1_1:01-'121_10361_3:0T00-400】510 1-5+:0 一00-400施以如下初等變換:A0)(A0)=_1 2 1-1 ； 01_12 0_100 0 10 : 0T 00 1000 0 10 : 0 一1衛(wèi)0 000J即原方程組與下面方程組同解:% 二-2x2 x4X3 =0取值10.丿對(duì)自由未知量_X4（其中X2, X4為自由未知量）,即得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：X1 = X3X4X2 =1

10、2X3 - X4.-311100 +1 11033:42+3 -01-1-2:-1T010 '021+001 11 +-2+ 1001 +2 +1一-2110衛(wèi)一'll3 求非齊次線(xiàn)性方程組的通解2% x2 - x3 x4 = 1* Xi + 2x? + X3 X4 = 2 為 +x2 +2x3 + & =3解：對(duì)增廣矩陣（Ab ）施以如下初等變換:2 1(Ab)= 12J 1-111-121:1 1122t 121:.21-1112 10 1-1-20-15-13 110334-1T0 1 -1-21一5 一L0 0 -6-3 1-6 一所以:X23= 2x4x1X3

11、取x4=c （ c取一切常數(shù)）=1則原方程組的通解為X1X32=C4求方程組的通解2x1 x2 -x3 -x4 =1175703x- - 2x2 x3 - 3x = 4 x1 4x2 _3x3 5& = _221-1-1:1 1f14-35+-213-21:+4T3-21-3+4T'J4-35 :-2 一1 i21-1-1+1 一14-35；-21'14-35+-210-1410-18:10T0-1410-18+10'0-75-11:5 一i000-2+0 J對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有:解:(Ab)c ,59 5c ,5 c 50 1 -:T0 1 0 : 77

12、7770 0 0 1 ： 0I i0 0 0 10-2-2一3-30 :4546 175_70所以XiX2X46 1X37755X77-0取X3二c（c為任意常數(shù)），則方程組的通解為:7X1=1二-4-4=一 6X3 =cN =05. 已知線(xiàn)性方程組x1 x2 2x3 3x4 x1 2x2 3xx4 3x<i - x2 - x3 _ 2x42x1 3x2 x x4(1) 求增廣矩陣(Ab)的秩r (Ab )與系數(shù)矩陣A的秩r (A);解：(1)對(duì)增廣矩陣(2) 判斷線(xiàn)性方程組解的情況，若有解，則求解。(2)因?yàn)?r(Ab)二 4,(A ) 4，即r( Ab)故方程組有解，且(Ab)112

13、3；1 111231 1123-1:-4011-4-5T3-1-1-2:事0-4-7-11-73-1-1:-6+1 101-5-7-8施以以下初等變換:Ab)(Ab)1017；6 1101761000 :-1011-4:-5011-4-50100 :-1TT00£-27:-27001990010 :0衛(wèi)0-6£+-3+衛(wèi)0-2-1-1一°001 :1 一r(Ab)(A)=4,=n，故方程組有唯一解，其解為:X! = 1x2 = 1x4 =1向量的線(xiàn)性關(guān)系填空題1. 向量a = (1, 3, 5 , 7) ,3= (a,b,5,7 )，若a= B,則 a= 1,b=

14、 32 .已知向量 >1=( 1, 2 , 3),2= ( 3, 2 , 1),則 31 +22 = ( 9, 10, 10),1-2 =(-2 , 0, 2) .3 設(shè)向量組 S, 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組 .，. + >2 , 一 + +:丄線(xiàn)性 無(wú)關(guān)4設(shè)向量a1,a2,a3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則a1, a2,2a3線(xiàn)性。5設(shè)向量a1,a2,a3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量a1, a2, a3,0線(xiàn)性.6. 123,4是3維向量組，則12,34線(xiàn)性 相 關(guān).7 零向量是線(xiàn)性相關(guān)的，非零向量a是線(xiàn)性無(wú)關(guān) 的線(xiàn)性關(guān)系部分證明題(注：下面的題目中只需選做3道題即可)1 證明：如果向量組:, ,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組

15、二J - , * 亦線(xiàn)性無(wú)關(guān).證：設(shè) k1U -) k2) k3(: H0 ,即：(K k3)： (k1 k2p (k2 k3)=0因?yàn)橄蛄拷M:, ,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故系數(shù)全為零，lk1 k3 =0I即： & ：；，k? = 0 =匕=k? = ks = 0k2 k3 = 0所以向量組_："，-:-亦線(xiàn)性無(wú)關(guān)。2 .設(shè)向量 阿由向量ai, a,，ar線(xiàn)性表示，但不能由ai, a，ar-i線(xiàn)性表示，問(wèn) 向量組ai, a,，ai, ar與向量組ai, a2,，ar-i ,3是否等價(jià)？為什么？3 設(shè)ai, a是某個(gè)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，問(wèn)ai +a2, 2 ai a是否也可構(gòu)成該方程

16、組的基礎(chǔ)解系?4 .已知= (i,0,-i), ： 2 =(-2,2,0),： 3 =(3,-5,2),判定此向量組是線(xiàn)性相關(guān)還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)。解:對(duì)矩陣(ai , a2, a3)施以如下初等變換:-23 i-25 t2 一P-23-5 t5 j.0-2 I5 t0_i秩-232-5=2 v 3所以向量組線(xiàn)性相關(guān)。5 .設(shè)6= (i , i, 2) T,二2= (i, 2 , 3) T請(qǐng)問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，J ,二2 , - 3線(xiàn)性相關(guān)？并將二3用二i ,二2線(xiàn)性表示.解：對(duì)矩陣(；U,；3 )施以如下初等變換:j11_|j123 =秩1I23t當(dāng)t-4=0，即t=4時(shí)，秩12 =2,3-11111

17、1 1 1123T0 1 2T 0? 3 LI i0 1 t -2'0010-1 12t -4此時(shí)二1,6,6線(xiàn)性相關(guān)。由上面的初等變換可知：二3 -2二26 ,設(shè)1,2,，：s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而>1,2,，s,：線(xiàn)性相關(guān)，則能由1, >2,s線(xiàn)性表示，且表示法惟,證：先證可由："，2,，s線(xiàn)性表示。因>1, ：2，：（線(xiàn)性相關(guān)，所以存在一組不為零的數(shù)k1,k2,川，ks及k，使 kr ! k2 2，丨丨丨 kss k = 0成立，其中必有k = 0，否則上式成為 kr < k ：2k s=o，且匕出，川，ks不全為零，這與 r2,，亠線(xiàn)性無(wú)關(guān)相矛kkk盾。

18、因?yàn)?k = 0，故'（-）（2）2 JII （s，即：能由1,2skkk線(xiàn)性表示。再證表示法惟一。如果亠 h1： 12 川 hs： s 且二 h j t 2 III Is： s則：g -h）：1 （h22）： 2 III （hs -Is）： s =0 成立。由 >1,2，/'s 線(xiàn)性無(wú)關(guān)可知 h 一 I1 = h2 -12 = III = hs - Is = 0，即 g = I1, h2 = l2,lll,hs = Is，所以表示法惟 判斷：1、 若矩陣A的列數(shù)等于矩陣 B的行數(shù)，則矩陣 A乘以B有意義。對(duì)2、 若矩陣A可逆，則它一定是非奇異的。對(duì)3、 若矩陣A的行數(shù)不

19、等于矩陣 B的列數(shù)，則矩陣 A乘以B沒(méi)有意義。 錯(cuò) 4、齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式不等于零6、若向量組1,2：飛線(xiàn)性相關(guān),則1能由2,，s線(xiàn)性表示錯(cuò) 7、一個(gè)n維向量組_:訂，_:辺,，二s ( s 1)線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是含有零向量 & 矩陣A,X,Y滿(mǎn)足AX=AY,且A = 0 ,則X=Y. 錯(cuò) 9、若A是方陣,則A必可逆錯(cuò)10、設(shè)矩陣A增加一行變成矩陣 B,則矩陣B的秩大于矩陣A的秩錯(cuò)11、1,2,3,4是3維向量組，則1,2,3,4線(xiàn)性相關(guān)對(duì)12、若同階方陣A與B都可逆，則A+B也一定可逆.錯(cuò)13、矩陣A滿(mǎn)足A2二A,則A=0或者A=E.錯(cuò)特征值部分選擇題(

20、單選題)1. A是n階正交矩陣，則A :(A) A »1(B) AAE(C) AT 二 A (D) A-1(A)存在非奇異矩陣 P,使PAP二B(B) |A| = |B|(C)存在對(duì)角矩陣 D,使A與B都相似于D3下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有(C )(A) 若向量:-與：正交，則對(duì)任意實(shí)數(shù) a,b, a與b-也正交(B) 若向量1與向量1,2都正交，則與1,2的任一線(xiàn)性組合也正交(C) 若向量與一：正交，則與中至少有一個(gè)是零向量(D) 若向量與任意同維向量正交，則J是零向量1 1 04設(shè)矩陣A = 101 ,則A的特征值為C 衛(wèi)11 一(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)

21、-1,1,15 n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是B(A)A有n個(gè)特征值(B)A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量(C)A的行列式不等于零(D)A的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根單選：1. 已知四階行列式D中第三行元素為（-1, 2 , 0, 1）,它們的余子式依次分別為5 , 3,-7, 4，貝U D的值等于C:-152. 行列式A的第一行元素是（-3 , 0 , 4）,第二行元素是（2 , a, 1）,第三行元素是（5, 0 , 3），則其中元素a的代數(shù)余子式是：B:-293. 排列3721456的逆序數(shù)是：C:84. 行列式A的第一行元素是（k,3,4），第二行元素是（-1,k,0），第三行元素是（0,k,1），如果 行列式A的值等于0,則k的取值應(yīng)是：C:k=3或k=15. 有三階行列式，其第一行元素是（1 , 1 , 1）,第二行元素是（3 , 1 , 4）,第三行元素是（8 , 9 , 5）,則該行列式的值是： C:56. 有三階行列式，其第一行元素是（0, 1, 2）,第二行元素是（-1,-1, 0）,第三行元素是（2 , 0 , -5）,則該行列式