2020高考數(shù)學(xué)專題突破練6圓錐曲線定點(diǎn)定值理含解析

1、1 專題突破練(6) 圓錐曲線定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題 一、選擇題 1.設(shè)AB為過拋物線y2= 2px(p0)的焦點(diǎn)的弦，貝U |AB的最小值為( ) p A. 2 B . p C . 2p D .無法確定 答案 C p 解析 當(dāng)弦AB垂直于對(duì)稱軸時(shí)|AB最短，這時(shí)x = 2, y= p, |AE|min= 2p.故選C. 2 2 2已知F是雙曲線X Y2= 1 的左焦點(diǎn)，A(1 , 4) , P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF +1 PA的最小值為( ) A. 4 B . 6 C . 8 D . 9 答案 D 解析 注意到P點(diǎn)在雙曲線的右支上，且雙曲線右焦點(diǎn)為 F (4 , 0)，于

2、是由雙曲線定 義得 | PF |PF | = 2a= 4，故 | PF + | PA = 2a+ | PF | + | PA 4+ | AF | = 9,當(dāng)且僅當(dāng) A, P, F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立故選 D. 3. 已知Mxo, yo)為拋物線C: x2= 8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若以F為圓心， |FM為半徑的圓和拋物線 C的準(zhǔn)線相交，則y。的取值范圍是( ) A. (0, 2) B . 0 , 2 C. (2 ,+) D . 2 ,+) 答案 C 解析 由題意知圓心F到拋物線的準(zhǔn)線的距離為 4,且| FM4 ,根據(jù)拋物線的定義知| FM =yo+ 2，所以yo + 24，得yo2，故y

3、o的取值范圍是(2 ,+). 2 2 4. 過橢圓x +豊=1的中心任作一直線交橢圓于 P, Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，貝 U 25 16 PQF周長(zhǎng)的最小值是( ) A. 14 B . 16 C . 18 D . 2O 答案 C 2 解析 如圖，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知| FQ = |PF2| , | OR = | OQ,所以 PQF的周長(zhǎng)為 | PF + | FQ + | PQ = | PFJ + | P| + 2| PO = 2a+ 2| PO = 10 + 2| PO，易知 2|OP的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng)，即點(diǎn) P，Q為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)， PQF的 周長(zhǎng)

4、取得最小值 10+ 2X 4= 18.故選 C. 5. （2018 豫南九校聯(lián)考）已知兩定點(diǎn) A 1, 0）和B（1 , 0），動(dòng)點(diǎn) Rx, y）在直線I : y =x + 3 上移動(dòng)，橢圓C以代B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn) P,則橢圓C的離心率的最大值為（ ） A.丄 B .衛(wèi) C . 士 D . 4 5 5 5 5 答案 A 解析 點(diǎn)A關(guān)于直線I : y= x+ 3 的對(duì)稱點(diǎn)A （ 3, 2），連接A B與直線I相交，當(dāng) 點(diǎn)P在交點(diǎn)處時(shí)，2a= I PA + I PB = I PA | + | PB = I A B = 2擊，此時(shí)a取得最小值廂, 又c= 1，所以橢圓C的離心率的最大值為4，故選 A.

5、 5 2 2 6. （2019 廈門一中開學(xué)考試）已知 ABC三個(gè)頂點(diǎn)A, B C都在曲線冷+專=1上，且BC + 2OB= 0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），M N分別為AB AC的中點(diǎn)，若直線 OM ON的斜率存在且 分別為k1, k2,則| k1| + | k2|的取值范圍為（ ） 8 A. 9,+ B . 0，+m） 4 4 C. 0, 3 D . 3，+m 答案 D 2 2 2 2 2 2 x y XA VA XB VB 解析 由于A B都在曲線-+專=1 上，則有-+ ” 1,訂專=1,兩式相減并整理可 2 2 VA V B 4 得=；，由BC+ 200 知，BC= 2OB貝U B, C關(guān)于

6、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，而 M N分別為 XA XB 9 AB, AC 的中點(diǎn)，貝y k1 = kAC, k2 = kAB,則 | 幻| + | k?| = | kA（|+ | kAB訴兩両=3 、填空題 2 X 2 7. (2018 湖北黃岡中學(xué)二模 )設(shè)橢圓-+ y = 1 上任意一點(diǎn) A到兩條直線x2y= 0 的 距離分別為di, d2,則did2的最大值為 _ . 答案4 5 解析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2cos a , sin a )，則 2 X 2 )已知P是雙曲線 C： y = i 右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲 線的一條漸近線，P在I上的射影為 Q Fi是雙曲線的左焦點(diǎn)，貝U |PF| + |PQ的

7、最小值是 答案 i+2 2 解析 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 F2( 3 , 0)，不妨設(shè)漸近線I : X 2y = 0，則點(diǎn)F2( 3, 0)到漸近線I的距離為 i，由于點(diǎn)P在雙曲線右支上，則|P冋一|PR| = 2a= 2 寸 2, |PFi| = 2 2+ |PF| , | PF| + | PQ = 2 2+ | PR| + | PQ 沁.2+ i，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) Q P, F2 三點(diǎn)共線， 且P在Q, F2之間時(shí)取等號(hào)，故| PF| + |PQ的最小值是 i + 2 2. 9. (20i8 廈門質(zhì)檢一)過拋物線E y2= 4X焦點(diǎn)的直線I與E交于 A, B兩點(diǎn)，E在點(diǎn) A, B處的切線分別與y軸交

8、于C, D兩點(diǎn)，貝 U 42|CD TAB的最大值是 _ . 答案 8 2 yi 解析 設(shè) A(xi, yi) , B(X2, y2)，切線 AC的方程為 X= t(y yi) + xi= t (y yi) +，代 入拋物線的方程，消去 X，得 y2 4ty + 4tyi yi= 0.由= i6t2 4(4 ty i y2) = 0,得 t = 2 2，所以直線 AC的方程為X= %y yi) +乍，其中令X= 0,得yc=月，同理可求得yD=魯, i 2X yA yc XA XC yA yB XA XB yA+ yB XA+ XB 2 2 yA yB 2 2 XA XB 4 3，當(dāng)且僅當(dāng)|

9、kAB =| kAc|時(shí)，等號(hào)成立.故選 D. did2= |2cos a + 2sin 4|cos； a 1 w5,所以did2的最大值為 4 & (2018 河南六市聯(lián)考 yA yB 2 |2cos a 2sin a | 4 所以| CD = 2 yi y2| .由題意，知拋物線的焦點(diǎn)為 F(i , 0)，則設(shè)直線 AB的方程為X= my +1,代入拋物線的方程， 消去X,得y2 4my-4= 0,所以yi+ y2= 4m yiy2= 4,所以4.2 I CD |AB = 2 2 ly1 y2| J + m | yi y2| = 2 2 . yi + y2 2 4yiy2 Qi +

10、 m p(yi+ y 2 4yiy2 = 8 眾寸 1 + m 4(1 + ni) =- 4X( Q1 + m一 眾)2 + 8，所以當(dāng)5 屮+ m 時(shí)，4 CD I AB取得最大值為 8 三、解答題 2 10. (2018 濟(jì)南模擬)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線Ci： x= 4y，直線l與拋物線 C交于A, B兩點(diǎn). 1 (1)若直線OA OB的斜率之積為4,證明：直線 y= 4 fx2( 2 2x0, X1+ X2= 4k, X1X2= 4m 1 2 1 2 X1 X2 1 1 y1 y2 4 4 X1 X2 .koA koB= = = X1 X2 X1 X2 16 1 由已知 ko

11、A- koB= 4，得 m= 1, .直線I的方程為y = kx+ 1，.直線I過定點(diǎn)(0 , 1). X1 + X2 設(shè) Mx, y。)，則由(1)知 X0= 2 = 2k, . c. 2 l過定點(diǎn); 若線段AB的中點(diǎn)M在曲線G： 由宀儀 y= kx + m 2 得 x kx m 4, 6 y0= kx0+ n= 2k + m 將 Mx。，y。)代入 C2： y = 4 4X2( 2 2x2 2)得 2k2+ m= 44(2 k)2,. m= 4 3k2, 2 2X02 2,. 2 .22k2 .2, 2k0 , 2kb0)的左、右頂點(diǎn)分別為 M N, a b 點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn) M N的任

12、意一點(diǎn)，記直線 PM PN的斜率分別為kPM kpN,滿足kpMkpN =3 =4. (1) 求橢圓C的離心率； (2) 設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F( c, 0)，過點(diǎn)F的直線AB交橢圓于A B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn) 為G AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D, E兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).記厶GFD勺面積為 2SS2 $, OED勺面積為Sa,求S+S2的取值范圍. 2 2 xo yo 解(1)設(shè) P(xo, yo)，則 g+ f= 1, 又 a2 b2 + c2,則有 a2 4c2, a2c, c 1 因此橢圓C的離心率e-=;. a 2 (2)由(1)可知 a 2c, b=疥a2 c2=寸 3c, 2

13、2 則橢圓的方程為 先+的一 1. 4c 3c2 2 xo a 2, 因?yàn)閗PM- kPN-丄 Xo + a yo Xo 4 所以-02- 3 4, k2+ 1 = 2 k2,即卩 k = 9 根據(jù)條件知直線AB的斜率一定存在且不為零, 設(shè)直線AB的方程為y= k(x + c), A(xi，yi)，B(X2, y2)，D(XD, 0)， y = k(x + c) 聯(lián)立 x2 y2 4?+ 1, 2 2 2 2 2 2 (4 k + 3)x + 8ck x + 4k c 12c = 0, 8ck2 從而有 X1+X2 = 4k+3, 6ck yi+ y2= k(xi + X2 + 2c) = 4

14、73， 2SS 9 即S + S的取值范圍是 0，41 - 12. (2018 合肥質(zhì)檢二)已知點(diǎn)A(1 , 0)和動(dòng)點(diǎn)B,以線段 x2 + y2= 4. (1) 求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程； (2) 已知點(diǎn)P(2 , 0) , Q2 , 1)，經(jīng)過點(diǎn) Q的直線I與動(dòng)點(diǎn) 求證：直線PM與直線PN的斜率之和為定值. 解(1)如圖，設(shè)以線段 AB為直徑的圓的圓心為 C,取 消去y并整理得 所以 2 4ck 3ck 4k2+ 3，4k2 + 3 因?yàn)?3ck 4k2 + 3 DGLAB,所以一 4 k= 1, 2 XD 4k + 3 解得 ck2 XD 一 4 - 由 Rt FGD與 Rt EOD相似， 4

15、ck2 ck2 2 3ck 2 o 2 + 2 + 2 S GD 4k + 3 4k + 3 4k + 3 所以S=OD= ck2 2 4k2 + 3 9 =9+ 29, k 令 I=t,則 t9，從而 StSr， 41， AB為直徑的圓內(nèi)切于圓 O B的軌跡交于M N兩點(diǎn), 10 A ( 1, 0).11 依題意，圓C內(nèi)切于圓Q 設(shè)切點(diǎn)為D,則O C, D三點(diǎn)共線. / O為AA的中點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)， |A B| = 2|0C. I BA | + | BA = 2|0C + 2|AC = 2|0C + 2| CD =2| OD = 4| AA | = 2. 依橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn) 2 2

16、X y B的軌跡為橢圓，設(shè)為 云十話=1(ab0)，其中|BA|十| BA =2a= 4, | AA | = 2c= 2, 2 2 2 a= 2, c = 1，b = a c = 3, 2 2 動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程為+ = 1. 4 3 2 2 (2)證明：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線I的方程為x= 2，此時(shí)直線I與橢圓午+詈=1 相切，與題意不符； 當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 I的方程為y+ 1 = k(x 2). y+1=kx2 由 x2 y2 + = 1 4 十 3 ， 得(4 k2十 3) x2 (16 k2+ 8k) x+ 16k2+ 16k8 = 0. 由 = 96(1 2k)0 ?

17、k0 , 1 + 2k ， 2(m-1 j， 所以m1. 又點(diǎn)Mm 0)在橢圓長(zhǎng)軸上(不含端點(diǎn))， 所以 1m 2 ,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1 , 2). 假設(shè)以EF為直徑的圓恒過定點(diǎn). 當(dāng)EFLx軸時(shí)，以EF為直徑的圓的方程為 x2 + y2= 1; 2 12 16 =2k 13 當(dāng)EFLy軸時(shí)，以EF為直徑的圓的方程為 x2 + y +才=9 ,則兩圓的交點(diǎn)為 Q0 , 1). 3 9 下證當(dāng)直線EF的斜率存在且不為 0 時(shí)，點(diǎn)Q0, 1)在以EF為直徑的圓上. 1 設(shè)直線EF的方程為y= kox孑際工 0),14 2 X 2 2 2 4 代入-+ y = 1，整理得(2ko+ 1)x 3kox 3 16 0, 設(shè) Eg ys) , F(X4, y