2020高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(人教版文)：第二節(jié)兩條直線的交點(diǎn)與距離公式

1、 第二節(jié)兩條直線的交點(diǎn)與距離公式 2019 考綱考題考情 1. 兩條直線平行與垂直的判定 (1) 兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線 11、12，其斜率分 別為 kk2,則有 11 /門2? &士。特別地，當(dāng)直線 b、12的斜率 都不存在時(shí)，11與12平行。 與 Ax+ By + C= 0 平行的直線，可設(shè)為 Ax+ By+ m= 0(m C) (2) 兩條直線垂直：如果兩條直線 11、12斜率存在，設(shè)為 壞 k2，則11丄 12? k1_k2= 1。特別地，當(dāng)一條直線斜率為零，另一 條直線斜率不存在時(shí)，兩直線垂直。 與 Ax+ By+ C= 0 垂直的直線可設(shè)為 Bx Ay+ n =

2、 0。 2. 兩直線相交 (1)交點(diǎn)：直線 11: A1x+ By+ C1 = 0 和 12: A2X+ B2y + C2= 0 相交？方程組有唯二解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。 番同舉例 考向標(biāo)簽 1.悻川胖方慳組陸認(rèn)求曲棗柑企血 純的交點(diǎn)學(xué)排 U直建員靜泛鳥 見陡ftitw聞華亂線的料率到噺迄曲梟 削線平行或嗨也 汕用節(jié)圉卷|1點(diǎn)刑胃純幣中曲， ZOU -福建崙唇 T川陣朵膽戲章苛， 】 *命宜竣的平師勻塞宜料16 的交盤與葩萬問越 3”對(duì)稱何匙 犢心 Uff 扣基礎(chǔ)H測 P 微知識(shí)小題練 的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組 Ax+ By + C1 = 0, A2X + B2y + C2 = 0 的解

3、對(duì)應(yīng) 基礎(chǔ)徴擁理 JIC H LIU niSHUJ-l 庚訊老魚罔規(guī)萃 (3) 平行？方程組無解。 (4) 重合？方程組有無數(shù)個(gè)解。 3. 三種距離公式 (1) 點(diǎn) Ag yj、B(X2, yj 間的距離為 |AB| = !(X2 X1 )2 + (y2 yi )2。 點(diǎn) P(Xo, yo)到直線 l: Ax+ By+ C= 0 的距離為 |Axo + By+ C| d= A2+ B2。 兩平行直線 11: Ax + By + Ci = 0 與 S: Ax + By + C2 = 4. 對(duì)稱問題 (1)點(diǎn) P(xo, yo)關(guān)于點(diǎn) A(a, b)的對(duì)稱點(diǎn)為 P(2a-xo,2b-y0)。 設(shè)點(diǎn)

4、 P(X0, y。)關(guān)于直線 y= kx+ b 的對(duì)稱點(diǎn)為 P(x； y ), 常記結(jié)論 1. 兩直線垂直的充要條件 直線 11: A1x+ B1y + C1= 0 與直線 12: A2x+ B2y + C2= 0 垂直 的充要條件是 AiA2 + BiB2= 0。 2. 過直線 11: Aix+ Biy + Ci = 0 與 12: A2X+ B2y+ C2= 0 的父 點(diǎn)的直線系方程為 Aix+ Biy + Ci + XA2X+ B2y + C2) = 0( XCR)，但 不包括 12o 3. 點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件 (1) 求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式。

5、0(Ci工 C2)間的距離為 d= IC2 Ci| ,A2 + B2 則有 y - y0 x k=- 1, (2) 求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且 x, y 的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。 一題組徽熱身 TEZLTWEIRESMEN - 一、走進(jìn)教材 1. （必修 2PioiA 組 Tio 改編）已知 P（ -2, m）, Q（m,4），且直 線 PQ 垂直于直線 x+ y+ 1 = 0,貝U m= _ 。 m 4 解析由題意知 =1,所以 m 4= 2 m,所以 m 2 m 答案 2. （必修 2P114A組 T10改編）已知直線 3x+ y 3= 0 與直線 6x + my+ 1 = 0

6、平行，則它們之間的距離為 C 5 一 13 C. 26 為 6x+ 2y 6= 0,所以兩直線間的距離 d = 選 D O 答案 D 二、走近高考 3. （2017 全國卷H ）過拋物線 C: y2 = 4x 的焦點(diǎn) F,且斜率 為( ) 2 ,13 13 7 亠 10 20 解析 由兩直線平行，可得 m= 2, 直線 3x + y 3 = 0 變形 |1 + 6| U0 站 ,62 + 22 = 20。故 3 的直線交 C 于點(diǎn) M（M 在 x 軸的上方），I為 C 的準(zhǔn)線，點(diǎn) N 在 I上且 MN 丄 I，貝U M 到直線 NF 的距離為（ ） A. 5 B. 2 2|524 | 62+

7、82 29 10。 答案 29 10 C. 23 D. 33 解析 由題意知 F(1,0)，直線 FM 的方程為 y= 3(x-1), 的縱坐標(biāo)為 2 3，則 M(3,2 , 3)。由 I: x= 1, MN得 N(- 1, 2 3），所以直線 NF 的方程為 y= 3x+ 3,即.3x+ y- .3= 0, 答案 C 三、走出誤區(qū) 微提醒：判斷兩條直線的位置關(guān)系忽視斜率不存在的情況； 求平行線間距離忽視 x, y的系數(shù)相同。 4. _若直線 li： x+y- 1 = 0 與直線 I2： x+ a2y+ a = 0 平行, 則實(shí)數(shù)a= _ 。 解析 因?yàn)橹本€ I1的斜率 k1=- 1, I1仇

8、，所以 a2= 1,且 az 1,所以 a = 1。 答案 1 5. _ 已知P, Q分別為直線 3x+ 4y-12= 0 與 6x+ 8y+ 5 = 0 上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為 。 解析 先把兩直線方程化為同系數(shù)方程： 6x+ 8y- 24= 0 和 6x+ 8y+ 5= 0, |PQ|的最小值即為兩平行直線間的距離，故 d = 與 y2 = 4x 聯(lián)立得 4 3y -4 = 0,因?yàn)?M 在 x 軸上方，解得 M 點(diǎn) M 到 NF 的距離 d = |2 3 + 3 3-, 3| 2 =2 3。故選 C 6. 過兩直線 h： x 3y + 4 = 0 和 l2： 2x+ y+ 5=

9、 0 的交點(diǎn)和 原點(diǎn)的直線方程為 解析 過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為 x 3y+ 4+ X2x+ y + 一 4 5)= 0,代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得 =5，故所求直線方程為 x 3y 4 + 4 5(2x+ y + 5) = 0，即 3x+ 19y= 0。 答案 3x+ 19y= 0 Y 微考點(diǎn)-大課空心考點(diǎn)一 兩條直線的平行與垂直問題 【例 1】(1)已知過點(diǎn) A( - 2, m)和點(diǎn) B(m,4)的直線為 1 仆 直線 2x+ y- 1 = 0 為 12,直線 x+ ny+ 1 = 0 為 13。若 b/12, 12丄 13,則實(shí)數(shù) m+ n 的值為( ) A10 C. 0 D. 8 (2) 已

10、知經(jīng)過點(diǎn) A( - 2,0)和點(diǎn) B(1,3a)的直線 h 與經(jīng)過點(diǎn) P(0, -1)和點(diǎn) Q(a, - 2a)的直線 12互相垂直，貝 V 實(shí)數(shù) a 的值為 _ 4 m 解析 (1)因?yàn)?11 /2,所以 =-2(mM -2),解得 m=- m+ 2 8(經(jīng)檢驗(yàn)，11與 12不重合)，因?yàn)?12止，所以 2X 1 + 1X n=0,解 得 n=-2,所以 m + n=- 10。 3a 0 (2)11的斜率 k1= = a。當(dāng) a 工 0 時(shí)，b 的斜率 k2 = 1(2) a= 0 時(shí)，P(0,- 1), Q(0,0)，這時(shí)直線 12 為 y 軸，A( - 2,0), B(1,0),直線 1

11、1為 x軸，顯然 皿。綜上可知, 實(shí)數(shù)a 的值為 1 或 0 答案 (1)A (2)1 或 0 1.討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)考慮直線的斜率是否存在。 -2a - 1 1 - 2a 因?yàn)?12，所以 1-2a k1k2=-=即 a a = -1,解得 a = 1。當(dāng) 2.“直線 A1X+ B+ C1 = 0, A2X+ B2y+ C?= 0 平行”的充 要條件是“ A2 = A2B1且 AQ2工人 20(或 B1C2工 B2C1)”，“兩直o 線垂直”的充要條件是“ A1A2+ BIB2= 0”。 【變式訓(xùn)練】 (1) “a= 2”是“直線 ax + y 2= 0 與直線 解析 由直線 ax+

12、y 2= 0 與直線 2x+ (a 1)y + 4= 0 平 行，得 a(a 1) = 2,且 4a+ 4 工 0，所以 a= 2，所以 a=2 是直線 ax+ y 2= 0 與直線 2x+ (a 1)y+ 4= 0 平行的充要條件。 1 直線 x+ 2y 3= 0 的斜率為一 2，因?yàn)閮A斜角為a的直線 2017 n I 與直線 x+ 2y 3 = 0 垂直，所以 tana=2,貝U cos 2 2 a = 4 =4。故選A 答案(1)A (2)A 考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)與距離問題 【例 2】(1)經(jīng)過兩直線 x 2y+ 4= 0 和 l2: x+ y 2= 0 的交2x+ (a 1)y+ 4=

13、 0 平行” A.充要條件 C.必要不充分條件 (2)已知傾斜角為a的直線 ) B .充分不必要條件 D .既不充分也不必要條件 與直線 x+ 2y 3= 0 垂直，則 2017 n 小 的值為( cos 2 2 ) 4 4A. 5 B. 一 5 C. 2 D. 1 n cos 1 008 + 了一 2 a = 2 丿 sin2 a= 2sin acosa 2 2 Sin a+ COs a 2ta n a 1 + tan2 a I o 點(diǎn) P,且與直線 l3: 3x 4y+ 5= 0 垂直的直線 I的方程為 (2) (2019 廣州模擬)已知點(diǎn) P(4, a)到直線 4x 3y 1 = 0 的

14、距 離不大于 3,則 a 的取值范圍是 _ 。 (3) (2019 廈門模擬)若兩平行直線 3x 2y 1 = 0，6x+ ay+ c =0 之間的距離為 轡，則 c 的值是 _ 。 x 2y+ 4= 0, x= 0, 解析(1)由方程組 得 即 P(0, lx+ y 2= 0, ly= 2, 4 2)。因?yàn)?l3,所以直線 I的斜率 k = 3,所以直線 l 的方程為 y 4 陽 2 = 3X,即 4x+ 3y 6= 0。 答案 (1)4x+ 3y 6= 0 (2)0,10 (3)2 或一 6 【互動(dòng)探究】若將本例(1)中的“垂直”改為“平行”，如 何求解？ 解由方程組 由P 到直線的距離為

15、 |4X4 3X a |15 3a | - |15 3a | 5 。又5 3,即 |15 3a|w 15，解之得 0W a 10,所 以 a 的取值范圍是 0,10。 依題意知, 6 a c 豐，解得 a= 4, CM 2,即直線 6x+ ay + c= 0 可化為 c 3x 2y + 2 = 0，又兩平行線之間的距離警，所以 2+1 2133，解得 c= 2 或6。 x 2y+ 4= 0, x= 0, 得t 即 P(0,2)。 x+ y 2= 0, y= 2, 3 因?yàn)?I /b,所以直線 I的斜率 k= 4, 3 所以直線 I的方程為 y 2=4x, 即 3x 4y + 8= 0o 一題多

16、解 解：因?yàn)橹本€ I過直線 Il和 I2的交點(diǎn)， 所以可設(shè)直線 I的方程為 x 2y+ 4+ 0+y 2) = 0,即(1 + /)x+ (? 2)y + 4 2 A= 0。 因?yàn)?I與 I3平行，所以 3(入一 2) ( 4)(1 +莎=0，且(一 4)(4 2 2 為工 5( X 2)，所以 A= 7, 所以直線 I的方程為 3x 4y+ 8= 0o 1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過兩直線交點(diǎn)的直線方程， 先解方程組求出兩直線的交點(diǎn) 坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程。 2.利用距離公式應(yīng)注意： 點(diǎn) P(xo, yo)到直線 x= a 的距離 d= |x a|,到直線 y = b 的

17、距離 d=|y b|；應(yīng)用兩平行線間的 距離公式要把兩直線方程中 x, y 的系數(shù)分別化為相等。 1 【變式訓(xùn)練】 (1)已知直線 y= kx+ 2k+ 1 與直線 y= x + 2 的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ (2)直線 l 過點(diǎn) P(- 1,2)且到點(diǎn) A(2,3)和點(diǎn) B(-4, 5)的距離相 等，則直線 I的方程為 _ 。 1 解析(1)如圖，已知直線 y= x+ 2 與 x 軸、y 軸分別交 于點(diǎn) A(4,0), B(0,2)。而直線方程 y= kx+ 2k+ 1 可變形為 y 1 = k(x+ 2),表示這是一條過定點(diǎn) P( 2, 1),斜率為 k 的動(dòng)直線。

18、 因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以兩直線的交點(diǎn)必在線段 AB 上(不包括端點(diǎn)),所以動(dòng)直線的斜率 k 需滿足 kpAkkpB。因?yàn)?kpA 1 1 1 1 =6，kPB=2。所以一 6k1,直線(b2+ 1)x+ ay+ 2= o 與直 線 x (b 1)y 1 = o 互相垂直，則 a 的最小值等于( ) A . 2 2 1 B . 2 2 + 1 C. 2 .2+ 2 D. 2 2 2 2 3, 又PP的中點(diǎn) 寧在 I上， 解析 因?yàn)橹本€(b2+ 1)x+ ay+ 2= o 與直線 x (b 1)y 1 = 、2 、_1 0 互相垂直，所以(b + 1)一 a(b 1) = 0,又因?yàn)?b1，所以 a= b 1 2 2 - - + = b 1 + + 22 2+ 2,當(dāng)且僅當(dāng) b= 2+