1.4.2正弦余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象 一、復(fù)習(xí)回顧 1、作函數(shù)的圖象，我們在初中學(xué)過一種方法描點法。 2、（思考）如果我們?nèi)杂妹椟c法來畫正弦函數(shù)圖象，由于對于角的每一個取值，在計算相應(yīng)的函數(shù)值時，都是利用計算器或數(shù)學(xué)用表得來的，大多數(shù)是一些近似值，因此不易描出對應(yīng)點的準(zhǔn)確位置，因而畫出的圖象不夠準(zhǔn)確。怎么辦呢？ 為此，我們應(yīng)考慮用其它方法來作正弦函數(shù)的圖象 3、在這里，我們引入一種新的畫法利用三角函數(shù)線來畫三角函數(shù)的圖象。 那么，我們來復(fù)習(xí)一下三角函數(shù)的幾何那么，我們來復(fù)習(xí)一下三角函數(shù)的幾何表示表示三角函數(shù)線三角函數(shù)線。 三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)線三角函數(shù)線正弦函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正

2、切函數(shù)正弦線正弦線MPyx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函數(shù)線是函數(shù)線是有有向線段向線段！余弦線余弦線OM正切線正切線AT問題：問題：如何作出正弦的圖象？如何作出正弦的圖象？途徑：途徑：利用單位圓中正弦線（表示正弦）利用單位圓中正弦線（表示正弦）來解決。來解決。 步驟步驟：列表，描點，連線：列表，描點，連線1-1022322656723352yx一一. . 用幾何方法作正弦函數(shù)用幾何方法作正弦函數(shù)y=sin=sinx，x 0 0， 的圖象：的圖象：y=sinx ( x 0, )23323461166332656734356112x6y

3、o-12345-2-3-41y=sinx x0,2y=sinx xR正弦曲線正弦曲線終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等。終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等。圖象的圖象的最高點最高點(,1)2圖象的圖象的最低點最低點3(,1)2圖象與圖象與x軸的軸的交點交點)0,0()0,()0 ,2(五點作圖法五點作圖法函數(shù) 的圖像上的關(guān)鍵點有哪些？sin ,0,2yx x.xyO.2 22 23 32 2xsin x22 23 32 20 0 1 0 -1 01-1二二. .用五點法作用五點法作y=sin=sinx , , x0 0, , 的簡圖的簡圖2三、作余弦函數(shù)三、作余弦函數(shù) y=cos=cosx ( (

4、xR) R) 的圖象的圖象思考：如何將余弦函數(shù)用誘導(dǎo)公式寫成正弦函思考：如何將余弦函數(shù)用誘導(dǎo)公式寫成正弦函數(shù)？數(shù)？c co os sx xy y x x) )2 2s si in n( ( 注：注：余弦曲線的圖象可以通過將正弦曲線余弦曲線的圖象可以通過將正弦曲線向左平移向左平移 個單位長度而得到。余弦函數(shù)個單位長度而得到。余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線。的圖象叫做余弦曲線。2 2x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函數(shù)的圖象正弦、余弦函數(shù)的圖象 余弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象的圖象 正弦函數(shù)正弦函數(shù)的圖象的圖象 x6yo-12345-2-3-41向左 平移2余弦曲線余弦曲線(0,1)( ,0)2

5、( ,-1)( ,0)23( 2 ,1)正弦曲線正弦曲線形狀完全一樣形狀完全一樣只是位置不同只是位置不同余弦函數(shù)的余弦函數(shù)的“五點畫圖法五點畫圖法”(0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( , 1)2232oxy22321-1例例1、 畫函數(shù)畫函數(shù)y=1+sinx，x 0, 2 的簡圖：的簡圖： x sinx1+sinx2 23 0 2 010-10 1 2 1 0 1 y=sinx，x 0, 2 y=1+sinx，x 0, 2 步驟：步驟：1.列表列表2.描點描點3.連線連線yx22322-1210知識應(yīng)用知識應(yīng)用2 2 2 23 3 2 2 0 0 x x1 1 0 0 1 1

6、- - 0 0 1 1 c co os sx x1 1- - 0 0 1 1 0 0 1 1- -c co os sx x- -2 2 2 23 3 2 2 O O -11 0 0, ,2 2 x x , , c co os sx xy y 0 0, ,2 2 x x , , c co os sx xy yxy練習(xí)：畫出練習(xí)：畫出y=-cosx , x0y=-cosx , x0，2 2 的簡圖的簡圖xy yO22122-1-112y 例例2 2、當(dāng)、當(dāng)x0 x0，22時，求不等式時，求不等式 的解集的解集. .1cos2x 50233，353x-1O221y y2p2p3變式變式1 1、當(dāng)、當(dāng)

7、x0 x0，22時，求不等式時，求不等式 的解集的解集. .1sin2x 656變式變式2 2、當(dāng)、當(dāng) 時，函數(shù)時，函數(shù) 的值域。的值域。sinyx11,36x思考思考：1、函數(shù)、函數(shù)y=1+sinx的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的圖象有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？2、函數(shù)、函數(shù)y=-cosx的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=cosx的圖象的圖象有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？小結(jié)小結(jié)1.體會推導(dǎo)新知識時的數(shù)形結(jié)合思想；體會推導(dǎo)新知識時的數(shù)形結(jié)合思想；2.理解解決類三角函數(shù)圖像的整體思想；理解解決類三角函數(shù)圖像的整體思想；3.對比理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的異同。對比理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的異同。 1.4

8、.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)02322 232211xykk22,22:單調(diào)遞增區(qū)間Rxxy,sin1 , 1ykk223,22:單調(diào)遞減區(qū)間觀察下面圖象：觀察下面圖象：奇函數(shù)02322 232211xyRxxy,sin1 , 1y觀察下面圖象：觀察下面圖象：:0k對稱中心坐標(biāo)，yx2346021-15 y=sinx (x R) 當(dāng)當(dāng)x= 時，函數(shù)值時，函數(shù)值y取得最大值取得最大值1；k22當(dāng)當(dāng)x= 時，函數(shù)值時，函數(shù)值y取得最小值取得最小值-1k22)0 ,k對稱中心（2 kx對稱軸：觀察下面圖象：觀察下面圖象：02322 232211xykk2 ,2:單調(diào)遞增區(qū)間Rxxy,cos1 , 1yk

9、k2,2:單調(diào)遞減區(qū)間觀察下面圖象：觀察下面圖象：偶函數(shù)偶函數(shù)yx2346021-15 y=cosx (x R) 當(dāng)x= 時，函數(shù)值y取得最大值1；k2當(dāng)x= 時，函數(shù)值y取得最小值-1k2)0 ,2k對稱中心（kx 對稱軸：觀察下面圖象：觀察下面圖象： 函函 數(shù)數(shù) 性性 質(zhì)質(zhì)y= sinx (kz)y= cosx (kz)定義域定義域值域值域最值及相應(yīng)的最值及相應(yīng)的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性對稱中心對稱中心對稱軸對稱軸x Rx R-1,1-1,1x= 2k時時y ymaxmax=1=1x= 2k+ 時時 ymin=-1周期為周期為T=2周期為周期為T=2奇函數(shù)奇函數(shù)

10、偶函數(shù)偶函數(shù)在在x2k， 2k+ 上都是增函數(shù)上都是增函數(shù) , 在在x2k- ， 2k 上都是減函數(shù)上都是減函數(shù) 。(k,0)x = kx= 2k+時時y ymaxmax=1=1x=2kx=2k- - 時時 ymin=-122在x2k- , 2k+ 上都是增函數(shù) , 在x2k+ ，2k+ 上都是減函數(shù).22232(k+ ,0)2x = k+2。x、最小值分別是什么的集合，并說出最大值最小值時的自變量寫出取最大值、最小值嗎？如果有，請、下列函數(shù)有最大值、例3RxxyRxxy,2sin3)2(, 1cos) 1 (大小：性，比較下列各組數(shù)的、利用三角函數(shù)的單調(diào)例41 sin()sin()18102

11、317(2)cos()cos()54（）與與練習(xí)：練習(xí)：P40 1、2、 3、4練習(xí)：練習(xí)：P40 5還有其他方法來還有其他方法來比較嗎？比較嗎？作單位圓用三角函數(shù)線作單位圓用三角函數(shù)線方法：利用正余弦函方法：利用正余弦函數(shù)的的最大（?。┲禂?shù)的的最大（?。┲?2 ,2),321sin(5的單調(diào)遞增區(qū)間、求函數(shù)例xxy1sin()32yx 1cos()32yx sin(),0,0,.yAx 對對于于求求的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間 要要注注意意的的情情形形 將將化化為為反反: :再再處處理理思思sin(2 ).6.yx 求求函函數(shù)數(shù)的的單單練練調(diào)調(diào)遞遞減減區(qū)區(qū)間間習(xí)習(xí)sin(2 ).6.yx 求求函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)遞遞變變一一增增區(qū)區(qū)間間式式,2,:62kxk 結(jié)結(jié)合合圖圖象象 由由得得,21223kkxkZ ,()21223kkkZ 所所求求函函數(shù)數(shù)的的遞遞增增區(qū)區(qū)間間為為22sincos2 3si.ncos yxxxx如如何何求求函函數(shù)數(shù)的的單單變變式式二二調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間? ?|sin(2 )|sin(2)|,66: yxyx化化為為分分析析,3sin2cos2yxx分分析析: :化化簡簡 得得2sin(2)6yx 即即( )2sin6.(05)(2)(0),f xx 設(shè)設(shè)函函例例全全國國數(shù)數(shù)(1)( ),;8yf xx 圖圖象象的的一一條條對對稱稱軸