stewart運動學分析

1、Stewart型并聯(lián)支撐機構運動學公式推導一、構型分析及坐標系建立靜基座自動調(diào)平系統(tǒng)Stewart平臺型并聯(lián)支撐機構為雙三角形機構，由一個活動上平臺和一個固定的下平臺所組成。上平臺鉸鏈點和基座平臺鉸鏈點的分布形式相同，但鉸接點相互交錯，六根支鏈分別用移動副和兩個球鉸鏈與上下平臺連接。并聯(lián)機構示意圖如圖1所示。圖1 Stewart并聯(lián)機構示意圖支鏈與動平臺鉸接點為A1,A2,A3,支鏈與基座鉸接點標記為B1，B2,B3。坐標系選在平臺的三角幾何中心，由右手螺旋法則確定。動平臺三角邊長為a，定平臺三角邊長為b，動平臺起始高度為h。根據(jù)設定的初始值，各支鏈與定平臺、動平臺鉸接點的坐標如表一所示。支鏈

2、編號與定平臺鉸接點坐標與動平臺鉸接點坐標1B1（36b, -12b, 0 ）A1（-36a, -12a, h ）2B1（36b, -12b, 0 ）A2（33a, 0, h ）3B2（36b, 12b, 0 ）A2（33a, 0, h ）4B2（36b, 12b, 0 ）A3（-36a, 12a, h ）5B3（33b, 0, 0 ）A1（-36a, -12a, h ）6B3（33b, 0, 0 ）A3（-36a, 12a, h ）表一 鉸接點坐標二、并聯(lián)支撐機構正反解兩個坐標系，o和o'，其中，o為固定坐標系。（1）將坐標系o繞自身的x軸旋轉；（2）將旋轉后的坐標系繞固定坐標系的y軸

3、旋轉；（3）將第二步的坐標系繞固定坐標系的z軸旋轉；旋轉矩陣分別為Rx=1000c-s0scRy=c0s010-s0cRz=c-s0sc0001按上述方式得到的總旋轉變換矩陣為：Ro'o=RzRyRx=cccss-sccscscsss+ccssc-cs-scscc繞基坐標系旋轉左乘，繞自身坐標系右乘設動平臺的平移參數(shù)為（dx,dy,dz）,則坐標的齊次變換矩陣為：To'o=cccss-sccsc+ss0scsss+ccssc-cs0-scscc00001對于與動平臺鉸接的各點Ai(i=1,2,3),點的齊次坐標為pAi,經(jīng)過變換后的點對應標記為Ai',變換后的齊次坐標為

4、pAi',則，pAi'=To'opAi帶入初始坐標后，得出變換后與動平臺鉸接的各點坐標值為：A1x'A1y'A1z'=-36acc+12asc-css+hcsc+ss+dx-36asc-12asss+cc+hssc-cs+dy36as-12acs+hcc+dzA2x'A2y'A2z'=33acc+hcsc+ss+dx33asc+hssc-cs+dy-33as+hcc+dzA3x'A3y'A3z'=-36acc+12acss-sc+hcsc+ss+dx-36asc+12asss+cc+hssc-cs+

5、dy36as+12acs+hcc+dz設六個驅(qū)動器的伸展長度為li(i=1-6),則與之相應的六個方程式表示為：l1=A1'B1-A1B1=(A1x'-B1x)2+(A1y'-B1y)2+(A1z'-B1z)2-l1l2=A2'B1-A2B1=(A2x'-B1x)2+(A2y'-B1y)2+(A2z'-B1z)2-l2l3=A2'B2-A2B2=(A2x'-B2x)2+(A2y'-B2y)2+(A2z'-B2z)2-l3l4=A3'B2-A3B2=(A3x'-B2x)2+(A3y&#

6、39;-B2y)2+(A3z'-B2z)2-l4l5=A3'B3-A3B3=(A3x'-B3x)2+(A3y'-B3y)2+(A3z'-B3z)2-l5l6=A1'B3-A1B3=(A1x'-B3x)2+(A1y'-B3y)2+(A1z'-B3z)2-l6由、dx、dy、dz經(jīng)過上式推導得出li的過程，稱為Stewart平臺的反解過程。Stewart平臺的輸入是六個驅(qū)動器的長度量，正解就是有輸入的驅(qū)動器長度，得出末端，即運動平臺的姿態(tài)。相反，反解就是已知所要的最終姿態(tài)參數(shù)，得出驅(qū)動器的伸長量。在Stewart平臺的運動分析

7、中，反解好求，而正解難。與串聯(lián)機器人的運動學分析相反。三、并聯(lián)支撐機構速度/加速度分析設Si為沿驅(qū)動器i的單位矢量，li為驅(qū)動器i的長度，ro'B運動平臺質(zhì)心o'到Bi點的位置矢量。o'和vo'分別是運動平臺在慣性參考系中的角速度和線速度矢量，則運動平臺上Bi點處的速度矢量為：vBi=o'×ro'B+vo'矩陣形式為：vBi=-ro'BIo'vo'式中表示矢量的反對稱矩陣。對一個矢量x，有x=0-x3x2x30-x1-x2x10通過將運動平臺上Bi點處的速度矢量vBi向驅(qū)動器方向投影（即用單位矢量Si點乘

8、Bi點的速度矢量vBi），可以得到驅(qū)動器i的上下兩部分沿驅(qū)動器方向的相對移動速度：上式推導過程（右手定則）：Sio'×ro'B=-Siro'B×o'=-Siro'Bo'=(ro'B×Si)o'li=SivBi=Sio'×ro'B+vo'=ro'B×Sio'+Sivo'將上式寫為矩陣形式為：li=（ro'B×Si）TSiTo'vo'， i=1,2,6用一個廣義速度矢量V來表示運動平臺的角速度和線速度，即

9、末端直角坐標速度：V=o'vo'T=xo'yo'zo'vxo'vyo'vzo'T用六維矢量q來表示六個驅(qū)動器的上下兩部分沿驅(qū)動器方向的相對移動速度，即關節(jié)速度。聯(lián)立成統(tǒng)一矩陣形式為：q=l1l6=（ro'B1×S1）TS1T（ro'B6×S6）TS6To'vo'=J*V式中6×6維矩陣J*稱為末端直角坐標速度對關節(jié)速度的影響矩陣。上式給出了Stewart平臺直角坐標速度對關節(jié)速度的變換關系。當給定某一時刻平臺的位移參數(shù)以及在這個時刻平臺的角速度及線速度，則可利用該式求得

10、六個驅(qū)動器的運動速度，即Stewart平臺機構的速度反解方程。相反，機構的速度正解就是根據(jù)某一時刻的位移參數(shù)以及6個驅(qū)動器的運動速度求解該時刻平臺的角速度及線速度，有：V=(J*)-1q=Jq矩陣J就是Stewart平臺的雅克比矩陣。運動平臺Bi處的加速度可通過平臺質(zhì)心的角加速度o'和線加速度o'得到：Bi=o'×ro'Bi+o'+o'×(o'×ro'Bi)對li求導，得出：li=SiBi+(vo'Bivo'Bi-li2)/li上式中，Bi為運動平臺上Bi點處的加速度，將此項中的部分項

11、展開，有：vo'Bivo'Bi=o'Tvo'T-ro'BiI-ro'BiIo'vo'=VT-ro'Biro'Biro'Bi-ro'BiIVli2=o'Tvo'Tro'BiSiSi-SiTro'BiIo'vo'=VT-ro'BiSiSiTro'Biro'BiSiSiT-SiSiTro'BiSiSiTV將上述兩式相減，有：vo'Bivo'Bi-li2=VTro'BiSiSiTro'Bi-ro&

12、#39;BiSiSiTro'BiSiSiT-SiSiTV上式推導過程：vo'Bivo'Bi-li2=VT-ro'Biro'Biro'Bi-ro'BiIV-VT-ro'BiSiSiTro'Biro'BiSiSiT-SiSiTro'BiSiSiTV =VT(-ro'Biro'Biro'Bi-ro'BiI-ro'BiSiSiTro'Biro'BiSiSiT-SiSiTro'BiSiSiT)V =VT-ro'Bi(I-SiSiT)ro'

13、Biro'Bi(I-SiSiT)-ro'Bi(I-SiSiT)I-SiSiTV = VTro'BiSiSiTro'Bi-ro'BiSiSiTro'BiSiSiT-SiSiTV用單位矢量Si點乘方程右邊最后一項，有：Sio'×o'×ro'Bi=o'Tro'BiSio'=VTro'BiSi000V化簡得到驅(qū)動器li的上下兩部分沿驅(qū)動器方向的相對移動加速度，即關節(jié)加速度為：li=JiV+VTHiV式中，Ji為雅克比矩陣的第i行。Hi=1liro'BiSiSiTro'Bi-ro