stewart運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1、Stewart型并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)一、構(gòu)型分析及坐標(biāo)系建立靜基座自動(dòng)調(diào)平系統(tǒng)Stewart平臺(tái)型并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)為雙三角形機(jī)構(gòu)，由一個(gè)活動(dòng)上平臺(tái)和一個(gè)固定的下平臺(tái)所組成。上平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)和基座平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的分布形式相同，但鉸接點(diǎn)相互交錯(cuò)，六根支鏈分別用移動(dòng)副和兩個(gè)球鉸鏈與上下平臺(tái)連接。并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示。圖1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖支鏈與動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)為A1,A2,A3,支鏈與基座鉸接點(diǎn)標(biāo)記為B1，B2,B3。坐標(biāo)系選在平臺(tái)的三角幾何中心，由右手螺旋法則確定。動(dòng)平臺(tái)三角邊長(zhǎng)為a，定平臺(tái)三角邊長(zhǎng)為b，動(dòng)平臺(tái)起始高度為h。根據(jù)設(shè)定的初始值，各支鏈與定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)的坐標(biāo)如表一所示。支鏈

2、編號(hào)與定平臺(tái)鉸接點(diǎn)坐標(biāo)與動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)坐標(biāo)1B1（36b, -12b, 0 ）A1（-36a, -12a, h ）2B1（36b, -12b, 0 ）A2（33a, 0, h ）3B2（36b, 12b, 0 ）A2（33a, 0, h ）4B2（36b, 12b, 0 ）A3（-36a, 12a, h ）5B3（33b, 0, 0 ）A1（-36a, -12a, h ）6B3（33b, 0, 0 ）A3（-36a, 12a, h ）表一 鉸接點(diǎn)坐標(biāo)二、并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)正反解兩個(gè)坐標(biāo)系，o和o'，其中，o為固定坐標(biāo)系。（1）將坐標(biāo)系o繞自身的x軸旋轉(zhuǎn)；（2）將旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系的y軸

3、旋轉(zhuǎn)；（3）將第二步的坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)矩陣分別為Rx=1000c-s0scRy=c0s010-s0cRz=c-s0sc0001按上述方式得到的總旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：Ro'o=RzRyRx=cccss-sccscscsss+ccssc-cs-scscc繞基坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)左乘，繞自身坐標(biāo)系右乘設(shè)動(dòng)平臺(tái)的平移參數(shù)為（dx,dy,dz）,則坐標(biāo)的齊次變換矩陣為：To'o=cccss-sccsc+ss0scsss+ccssc-cs0-scscc00001對(duì)于與動(dòng)平臺(tái)鉸接的各點(diǎn)Ai(i=1,2,3),點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為pAi,經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)對(duì)應(yīng)標(biāo)記為Ai',變換后的齊次坐標(biāo)為

4、pAi',則，pAi'=To'opAi帶入初始坐標(biāo)后，得出變換后與動(dòng)平臺(tái)鉸接的各點(diǎn)坐標(biāo)值為：A1x'A1y'A1z'=-36acc+12asc-css+hcsc+ss+dx-36asc-12asss+cc+hssc-cs+dy36as-12acs+hcc+dzA2x'A2y'A2z'=33acc+hcsc+ss+dx33asc+hssc-cs+dy-33as+hcc+dzA3x'A3y'A3z'=-36acc+12acss-sc+hcsc+ss+dx-36asc+12asss+cc+hssc-cs+

5、dy36as+12acs+hcc+dz設(shè)六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的伸展長(zhǎng)度為li(i=1-6),則與之相應(yīng)的六個(gè)方程式表示為：l1=A1'B1-A1B1=(A1x'-B1x)2+(A1y'-B1y)2+(A1z'-B1z)2-l1l2=A2'B1-A2B1=(A2x'-B1x)2+(A2y'-B1y)2+(A2z'-B1z)2-l2l3=A2'B2-A2B2=(A2x'-B2x)2+(A2y'-B2y)2+(A2z'-B2z)2-l3l4=A3'B2-A3B2=(A3x'-B2x)2+(A3y&#

6、39;-B2y)2+(A3z'-B2z)2-l4l5=A3'B3-A3B3=(A3x'-B3x)2+(A3y'-B3y)2+(A3z'-B3z)2-l5l6=A1'B3-A1B3=(A1x'-B3x)2+(A1y'-B3y)2+(A1z'-B3z)2-l6由、dx、dy、dz經(jīng)過(guò)上式推導(dǎo)得出li的過(guò)程，稱(chēng)為Stewart平臺(tái)的反解過(guò)程。Stewart平臺(tái)的輸入是六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度量，正解就是有輸入的驅(qū)動(dòng)器長(zhǎng)度，得出末端，即運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。相反，反解就是已知所要的最終姿態(tài)參數(shù)，得出驅(qū)動(dòng)器的伸長(zhǎng)量。在Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)分析

7、中，反解好求，而正解難。與串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析相反。三、并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)速度/加速度分析設(shè)Si為沿驅(qū)動(dòng)器i的單位矢量，li為驅(qū)動(dòng)器i的長(zhǎng)度，ro'B運(yùn)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心o'到Bi點(diǎn)的位置矢量。o'和vo'分別是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在慣性參考系中的角速度和線速度矢量，則運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上Bi點(diǎn)處的速度矢量為：vBi=o'×ro'B+vo'矩陣形式為：vBi=-ro'BIo'vo'式中表示矢量的反對(duì)稱(chēng)矩陣。對(duì)一個(gè)矢量x，有x=0-x3x2x30-x1-x2x10通過(guò)將運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上Bi點(diǎn)處的速度矢量vBi向驅(qū)動(dòng)器方向投影（即用單位矢量Si點(diǎn)乘

8、Bi點(diǎn)的速度矢量vBi），可以得到驅(qū)動(dòng)器i的上下兩部分沿驅(qū)動(dòng)器方向的相對(duì)移動(dòng)速度：上式推導(dǎo)過(guò)程（右手定則）：Sio'×ro'B=-Siro'B×o'=-Siro'Bo'=(ro'B×Si)o'li=SivBi=Sio'×ro'B+vo'=ro'B×Sio'+Sivo'將上式寫(xiě)為矩陣形式為：li=（ro'B×Si）TSiTo'vo'， i=1,2,6用一個(gè)廣義速度矢量V來(lái)表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的角速度和線速度，即

9、末端直角坐標(biāo)速度：V=o'vo'T=xo'yo'zo'vxo'vyo'vzo'T用六維矢量q來(lái)表示六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的上下兩部分沿驅(qū)動(dòng)器方向的相對(duì)移動(dòng)速度，即關(guān)節(jié)速度。聯(lián)立成統(tǒng)一矩陣形式為：q=l1l6=（ro'B1×S1）TS1T（ro'B6×S6）TS6To'vo'=J*V式中6×6維矩陣J*稱(chēng)為末端直角坐標(biāo)速度對(duì)關(guān)節(jié)速度的影響矩陣。上式給出了Stewart平臺(tái)直角坐標(biāo)速度對(duì)關(guān)節(jié)速度的變換關(guān)系。當(dāng)給定某一時(shí)刻平臺(tái)的位移參數(shù)以及在這個(gè)時(shí)刻平臺(tái)的角速度及線速度，則可利用該式求得

10、六個(gè)驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)速度，即Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)的速度反解方程。相反，機(jī)構(gòu)的速度正解就是根據(jù)某一時(shí)刻的位移參數(shù)以及6個(gè)驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)速度求解該時(shí)刻平臺(tái)的角速度及線速度，有：V=(J*)-1q=Jq矩陣J就是Stewart平臺(tái)的雅克比矩陣。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bi處的加速度可通過(guò)平臺(tái)質(zhì)心的角加速度o'和線加速度o'得到：Bi=o'×ro'Bi+o'+o'×(o'×ro'Bi)對(duì)li求導(dǎo)，得出：li=SiBi+(vo'Bivo'Bi-li2)/li上式中，Bi為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上Bi點(diǎn)處的加速度，將此項(xiàng)中的部分項(xiàng)

11、展開(kāi)，有：vo'Bivo'Bi=o'Tvo'T-ro'BiI-ro'BiIo'vo'=VT-ro'Biro'Biro'Bi-ro'BiIVli2=o'Tvo'Tro'BiSiSi-SiTro'BiIo'vo'=VT-ro'BiSiSiTro'Biro'BiSiSiT-SiSiTro'BiSiSiTV將上述兩式相減，有：vo'Bivo'Bi-li2=VTro'BiSiSiTro'Bi-ro&

12、#39;BiSiSiTro'BiSiSiT-SiSiTV上式推導(dǎo)過(guò)程：vo'Bivo'Bi-li2=VT-ro'Biro'Biro'Bi-ro'BiIV-VT-ro'BiSiSiTro'Biro'BiSiSiT-SiSiTro'BiSiSiTV =VT(-ro'Biro'Biro'Bi-ro'BiI-ro'BiSiSiTro'Biro'BiSiSiT-SiSiTro'BiSiSiT)V =VT-ro'Bi(I-SiSiT)ro'

13、Biro'Bi(I-SiSiT)-ro'Bi(I-SiSiT)I-SiSiTV = VTro'BiSiSiTro'Bi-ro'BiSiSiTro'BiSiSiT-SiSiTV用單位矢量Si點(diǎn)乘方程右邊最后一項(xiàng)，有：Sio'×o'×ro'Bi=o'Tro'BiSio'=VTro'BiSi000V化簡(jiǎn)得到驅(qū)動(dòng)器li的上下兩部分沿驅(qū)動(dòng)器方向的相對(duì)移動(dòng)加速度，即關(guān)節(jié)加速度為：li=JiV+VTHiV式中，Ji為雅克比矩陣的第i行。Hi=1liro'BiSiSiTro'Bi-ro