專(zhuān)題7.6：和圓有關(guān)的十一類(lèi)軌跡問(wèn)題的研究與拓展

1、專(zhuān)題7.6：和圓有關(guān)的十一類(lèi)軌跡問(wèn)題的研究與拓展【探究拓展】探究1：已知在中，的最大值為_(kāi) 變式：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在中，且BC=1，若E為BC中點(diǎn)，則AE的最大值為_(kāi). （或者利用向量的中線模型加以轉(zhuǎn)化）探究2：如果圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi).變式1：在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足的點(diǎn)都在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 兩圓內(nèi)含和內(nèi)切變式2：若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線斜率的取值范圍是_.變式3：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為1，圓心在上. （1）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，

2、使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）切線方程為或（2）命題背景：阿波羅尼奧斯圓；轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系問(wèn)題處理 答案為探究3：平面內(nèi)到A(0，-3)的距離為1，到點(diǎn)B（4,0）的距離為2的直線有_條.變式：在平面直角坐標(biāo)系中，若與點(diǎn)的距離為且與點(diǎn)的距離為的直線恰有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi) 考察圓與圓的位置關(guān)系，研究公切線的條數(shù)探究4：寫(xiě)出以，,為直徑的圓的方程_.變式1：若實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-1,0）到動(dòng)直線上的射影為M，已知點(diǎn)N（3,3），則線段MN長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)變式2：若點(diǎn)G為的重心，且AGBG，則的最大值為 變式3：在中，邊上的中線和邊上的中線互相垂直，交點(diǎn)為，則的最

3、小值為_(kāi) 兩條中線所在直線作為兩坐標(biāo)軸建系拓展：將命題“圓上任意一點(diǎn)對(duì)直徑的張角為直角”類(lèi)比到橢圓和雙曲線有怎樣的結(jié)論？探究5：點(diǎn)A，B分別在x軸與y軸的正半軸上移動(dòng)，且AB2，若點(diǎn)A從(，0)移動(dòng)到xyBB´AA´ODD´(，0)，則AB中點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路程為 . 單位圓變式：如圖，線段的長(zhǎng)度為1，端點(diǎn)在邊長(zhǎng)不小于1的正方形的四邊上滑動(dòng)，當(dāng)沿正方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，的中點(diǎn)所形成的軌跡為，若的周長(zhǎng)為，其圍成的面積為，則的最大值為 拓展：若M點(diǎn)是線段EF上任意一點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是什么？探究6：已知點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？拓展：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)

4、、的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡是什么？背景展示 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作圓錐曲線一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一問(wèn)題1：如圖，圓與圓的半徑都是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓.圓的切線PM、PN（M.N分別為切點(diǎn)），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解：以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則（-2，0），（2，0），由已知，得 因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以 設(shè)，則，即，所求軌跡方程為（或問(wèn)題2：已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2，0)和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C

5、的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)(>0).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線.本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡概念等解析幾何的基本思想以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解：如圖，設(shè)MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P=M|MN|=|MQ|，式中常數(shù)>0.2分因?yàn)閳A的半徑|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|21.4分設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則5分整理得(21)(x2+y2 )42x+(1+42)=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P.故這個(gè)方程為所求的軌跡方程. 8分當(dāng)=1時(shí)，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)(，0)，當(dāng)1時(shí)，方程化

6、為(x)2+y2=它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為(，0)，半徑為12分問(wèn)題3：滿足條件AB = 2，AC = BC的DABC的面積的最大值是_問(wèn)題4：已知點(diǎn)A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圓，P是圓C上任意一點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)l，使得？若存在，求出常數(shù)l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由變式1：已知點(diǎn)A(-2 , 0)，圓，P是圓C上任意一點(diǎn)，問(wèn)：在平面上是否存在點(diǎn)B，使得？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由變式2：已知點(diǎn)A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圓，P是圓C上任意一點(diǎn)，若為定值，求b的值拓展1：設(shè)圓，動(dòng)圓，探究：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，

7、切點(diǎn)為，使無(wú)窮多個(gè)圓，滿足？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)；如果不存在，說(shuō)明理由.·COxy·MPT1T2拓展2：在中，點(diǎn)在邊上，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .解：建立如圖1所示平面直角坐標(biāo)系，令，由得到：，即有，那么點(diǎn)的軌跡為圓，并且得到其標(biāo)準(zhǔn)方程為：.又由題意知，那么，；易知為關(guān)于的增函數(shù)；并且，圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為，代入得到：，即.拓展3：已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足：對(duì)圓上那個(gè)任意一點(diǎn)，都有，則(1) ；(2) .解：設(shè)，代入，所以，展開(kāi)后化簡(jiǎn)得，亦即.又對(duì)圓上那個(gè)任意一點(diǎn)，都有成立，解得或； 又由可知，故.拓展4：在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)

8、的距離之比為常數(shù)？如果存在，求出點(diǎn)、坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：假設(shè)在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，設(shè)、，其中。即對(duì)滿足的任何實(shí)數(shù)對(duì)恒成立，整理得：，將代入得：，這個(gè)式子對(duì)任意恒成立，所以一定有：，因?yàn)椋越獾茫?、。所以，在軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)。拓展5：如圖，鐵路線上線段km，工廠到鐵路的距離km?，F(xiàn)要在、之間某一點(diǎn)處，向修一條公路. 已知每噸貨物運(yùn)輸km的鐵路費(fèi)用與公路費(fèi)用之比為，為了使原料從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的費(fèi)用最少，點(diǎn)應(yīng)選在何處？解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系先求到定點(diǎn)、的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡

9、方程，即，整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：，令，得（舍去正值）即得點(diǎn)，。下面證明此點(diǎn)即為所求點(diǎn)：自點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為，在線段上任取點(diǎn)，連接，再作于. 設(shè)每噸貨物運(yùn)輸km的鐵路費(fèi)用為，則每噸貨物運(yùn)輸km的公路費(fèi)用為，如果選址在處，那么總運(yùn)輸費(fèi)用為，而，那么總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、共線時(shí)取等號(hào). 總上所述，點(diǎn)即為所求點(diǎn). 拓展6：P,Q是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為，設(shè)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性拓展7：在中，是的平分線，且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的面積為1，問(wèn)為何值時(shí)最短？探究7：已知圓M：直線l:y=kx,給出下列四個(gè)命題： 對(duì)任意實(shí)數(shù)k和,直線l與圓M相切； 對(duì)

10、任意實(shí)數(shù)k和,直線l與圓M有公共點(diǎn)； 對(duì)任意實(shí)數(shù),必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切； 對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù),使得直線l與圓M相切.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi). 變式1：圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？變式2：圓掃過(guò)的面積是多少？拓展1：已知和是平面內(nèi)互相垂直的兩條直線，它們的交點(diǎn)是，動(dòng)點(diǎn)分別在和上，且，過(guò)三點(diǎn)的動(dòng)圓所形成的區(qū)域的面積為_(kāi)解答：；三點(diǎn)的動(dòng)圓在以為直徑的圓上，以的中點(diǎn)為圓心，M點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以動(dòng)圓所形成的區(qū)域是是以為圓心，為半徑的圓拓展2：已知點(diǎn)在橢圓（）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑做圓，當(dāng)在橢圓上掃過(guò)一周時(shí)，形成的軌跡圖像的面積為_(kāi)探究8：在平面直角坐標(biāo)

11、系中，若直線與圓和圓都相切，且兩個(gè)圓的圓心均在直線的下方，則直線的斜率為_(kāi) . 7 通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)可得到最終結(jié)果。變式1：已知圓（）（1）對(duì)任意是否存在直線與圓都相切？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）給定圓；圓（），若兩圓的公共弦所在直線的方程為，且公共弦長(zhǎng)為，求和的值.變式2：設(shè)有一組圓，求這組圓的公切線方程變式3：一組圓，求這組圓的公切線方程.變式4：有一組圓四個(gè)命題中：存在一條定直線與所有的圓均相切 存在一條定直線與所有的圓均相交存在一條定直線與所有的圓均不相交 所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)其中真命題的代號(hào)是（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）探究9：設(shè)直線系,下列命題： 中所有直線

12、均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)； 存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上 對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上 中的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等 存在一個(gè)圓與所有直線相交； 存在一個(gè)圓與所有直線不相交； 存在一個(gè)圓與所有直線相切； 其中真命題的代號(hào)是 （寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）變式：已知，對(duì)任意，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與一定圓相切，則圓方程為 探究10：已知圓方程為，則過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程是_變式1：已知圓方程為，過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為_(kāi).變式2：已知圓方程為，過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為_(kāi).變式3：橢圓方程為，則過(guò)橢圓上一點(diǎn)的橢圓的切線方程為_(kāi). 這個(gè)點(diǎn)和這條切線的幾何背景是什么？極點(diǎn)和極線變式4：雙曲線

13、方程為，則過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的雙曲線的切線方程為_(kāi).變式5：拋物線方程為，則過(guò)拋物線一點(diǎn)的拋物線的切線方程為_(kāi).變式6：已知圓方程為，則過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，則相交弦直線的方程為_(kāi).拓展1：xyOF2PAF11已知橢圓C：(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,且橢圓C過(guò)點(diǎn)P(，)，以AP為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F2.（1）求橢圓C的方程；（2）若動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在兩定點(diǎn)，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請(qǐng)求出兩定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解： (1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)P(，),所以=1,解得a2=2, 又以AP為直

14、徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F2.所以AF2F2P,即-×=-1, b2=c(4-3c)., 而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1，故橢圓C的方程是+y2=1. (2) 當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+p，代入橢圓方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以=16k2p24(1+2k2)(2p22)=8(1+2k2p2)=0，即 1+2k2=p2. 設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)(s,0),(t,0),使其到直線l的距離之積為1,則× =1，即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*).由(*)恒成立,得解得,或，而(*)不恒成立. 當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=±時(shí)，定點(diǎn)(1，0)、F2(1，0)到直線l的距離之積d1×× d2=(1)(+1)=1. 綜上,存在兩個(gè)定點(diǎn)(1,0),(-1,0),使其到直線l 的距離之積為定值1.思考：能否利用切線方法進(jìn)行一定程度的優(yōu)化？拓展2：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦距為.（