形成不同拉壓允許應(yīng)力Michell桁架的有限元方法

1、形成不同拉壓允許應(yīng)力Michell桁架的有限元方法第25卷第3期2008年6月計(jì)算力學(xué)ChineseJournalofComputationalMechanicsJune2008文章編號(hào):10074708(2008)03036404形成不同拉壓允許應(yīng)力Michell桁架的有限元方法周克民(華僑大學(xué)土木工程學(xué)院,泉州362021)續(xù)分布,這樣避免了單元之問材料性質(zhì)的突變,因此從根本上避免了單元鉸接,棋盤榕現(xiàn)象以及單元依賴性等數(shù)架.由有限元分析得到結(jié)點(diǎn)位置處的主應(yīng)力方向作為桿件方向,根據(jù)主應(yīng)力方向的應(yīng)變和材料拉壓允許應(yīng)力調(diào)整桿件密度.最后由結(jié)點(diǎn)位置的桿件方向形成Michell桁架中連續(xù)分布桿件.關(guān)

2、鍵詞:結(jié)構(gòu)優(yōu)化;拓?fù)鋬?yōu)化;Michell桁架;有限元方法中圖分類號(hào):TU323文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A引言結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化試圖在無限的設(shè)計(jì)空問內(nèi)尋找滿足一定條件的最優(yōu)解.以桿系結(jié)構(gòu)為例,設(shè)計(jì)空間的無限性是指拓?fù)鋬?yōu)化問題的變量是無限多的化過程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化,拓?fù)鋬?yōu)化過程不是同非線性優(yōu)化問題,無法確定優(yōu)化結(jié)果是否是全局最優(yōu)解.因此,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中最具挑戰(zhàn)性的問題1.在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究中,Michell理論具有里程碑的意義】.他研究了應(yīng)力約束下的最小重量桁架,后來被稱為Michell桁架,或最小重量桁架.Michell桁架同時(shí)也是最小柔度桁架2.后來,HempL3j,Rozvany4等對(duì)M

3、ichell理論作了重要了拓?fù)鋬?yōu)化問題的上述重要困難,但他沒有給出一理論長期以來沒有得到應(yīng)有的發(fā)展.HempE,Rozvany和Lewinskil6等用解析方法也僅推導(dǎo)出了幾個(gè)Michell桁架.盡管如此,Michell理論在拓?fù)鋬?yōu)化研究領(lǐng)域至今仍具有重要指導(dǎo)意義.收稿日期:20051024;修改稿收到日期:2008一O1一O7.基金項(xiàng)目:教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(208169);福建省自然科學(xué)基金(E0640010)資助項(xiàng)目.作者簡介:周克民(1962一),男,博士,教授(Email: ).因?yàn)樗粌H揭示了拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的"類桁架連續(xù)體"性質(zhì),而

4、且Michell桁架目前普遍被作為檢驗(yàn)其他方法正確性的基準(zhǔn).雖然"類桁架連續(xù)體"不是工程意義上的桁架,不便于工程上的直接應(yīng)用,但研究表明,由"類桁架連續(xù)體"簡化得到的,僅由少量桿件構(gòu)成的近拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的重量與理論解的誤差很小7.本文中的材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)連續(xù)變化,這從根本上避免了目前各種拓?fù)鋬?yōu)化方法中經(jīng)常出現(xiàn)的單元鉸接,棋盤格現(xiàn)象以及單元依賴性等數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性問題.Matsui8也采用了材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)連續(xù)分布的方法解決了該問題,但是其材料模型與Michell桁架不具有對(duì)應(yīng)關(guān)系,不能形成類桁架結(jié)構(gòu).雖然本文研究的是單工況問題,但本文中的方法可以進(jìn)一步推廣到

5、多工況的情況.筆者曾研究了拉壓允許應(yīng)力相同情況下的Michell桁架的有限元形成方法1,本文將該問題推廣到材料拉壓允許應(yīng)力不相同的情況,在算法上也作了重要改進(jìn),使材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)連續(xù)變化,顯著提高了計(jì)算精度.2類桁架連續(xù)體材料模型一般情況下,Michell桁架是類桁架連續(xù)體.類桁架連續(xù)體在任一點(diǎn)都是由無限細(xì)無限密的桿,T區(qū)域的桿件是正交的.單向拉(壓)2個(gè)區(qū)域R和R一都第3期周克民:形成不同拉壓允許應(yīng)力Michell桁架的有限元方法365S一是各向均勻拉(壓)區(qū)域,所有方向都是優(yōu)化的,也可以用正交異性材料描述.所以,這里引入正交異性材料模型描述Michell桁架的類桁架連續(xù)體.將桿件的兩個(gè)正交方

6、向定義為材料主軸方向,將這桿件具有相同的彈性模量E.在Michell桁架內(nèi),由于軸力和變形都沿材料主軸方向,所以材料主軸外,考慮到要能夠描述各向同性材料,材料沿主軸方向的彈性矩陣作如下假設(shè):D(1,t2)一E?diagEt1t2(1+t2)/43(1)與坐標(biāo)軸夾角為a,在坐標(biāo)軸方向的彈性矩陣成為D(t1,t2,a)一Tr(a)D(1,t2)(a)(2)式中(a)為坐標(biāo)轉(zhuǎn)置矩陣:廠COSasina0.5sin2asin2asin2acos2aj(3)為減少后面迭代過程的計(jì)算量,對(duì)式(2)作進(jìn)一步變換,定義為.(a)一r(a)D(1,o)(a)一EgA(4)D2(a)=r(a)D(o,1)(a)一

7、E2giA(5)式中5l1=12=13=523=l,521=522=一l(6)g1一sin2a,g2一COS2a,g3一l(7)廠o0lqA=÷fooJ,Az=專diag1l】10lA.一ag專從而,彈性矩陣可以進(jìn)一步寫為D一2t一E2tg4D一N(,7)D(t2,q)(11)Js式中是單元號(hào),N(,7)是形函數(shù),和是單元局部坐標(biāo),S是屬于單元e的結(jié)點(diǎn)集合,將式(9)帶入式(11)得D一EN,tgiA(12)|將式(12)帶入單元?jiǎng)偠染仃嚨亩x為七一IBD.Bdn(13)J得屯一EgNBTAiBbid一|2tsblgH(14),bi式中EINBAd(15)Jll如果能夠采用規(guī)則單元網(wǎng)

8、格,鞏是與單元無關(guān)的常數(shù)矩陣,可以事先計(jì)算出來,這樣可以顯著減少計(jì)算量.4優(yōu)化方法優(yōu)化分析過程采用了基于優(yōu)化準(zhǔn)則方法的迭代算法,基本過程如下:(1)劃分有限單元.初始化設(shè)計(jì)變量,t1jtzl,一0(=l,2,J)(16)式中.廠為結(jié)點(diǎn)總數(shù),初始時(shí)材料為各向同性.(2)在第i次迭代過程中,由有限元分析得到結(jié)點(diǎn)處兩個(gè)主應(yīng)力方向,+/2,以及這兩個(gè)方向的應(yīng)變fj和.設(shè)材料的拉,壓允許應(yīng)力分別為和,調(diào)整桿件的方向和密度為a一(l,2,.廠)(17)(8)斗1一'一(9)3單元?jiǎng)偠染仃囈越Y(jié)點(diǎn)位置的桿件密度和方向作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量,結(jié)點(diǎn)處的彈性矩陣成為D(t1,t2,a,)(10)到:&gt

9、;-l,2)(18)一踢警<_l,2,致單元?jiǎng)偠染仃嚻娈?限制過小的桿件密度,=max(t,-/+)(61,2;l,2,J)(19)式中的最小密度值取為一R?max()(2o)式中R是事先給定的一個(gè)很小的數(shù),本文取RlO.重復(fù)過程(2),直到兩次迭代過程中,所有設(shè)計(jì),(1,【計(jì)算力學(xué)第25卷變量的最大相對(duì)改變量小于一個(gè)事先給定的值,本文中該值取為0.1,至此得到優(yōu)化的材料連續(xù)分布場.5形成Michell桁架上述過程得到的材料連續(xù)分布形式不便于應(yīng)用,下面討論將其轉(zhuǎn)化為形象的Michell桁架的方法,以便將結(jié)果可視化.Michell桁架是由無限細(xì),為分布桿件無限多,所以只能表示出一部

10、分,在近拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)中也僅需選擇部分分布桿件;集中桿件則應(yīng)全部準(zhǔn)確表示出來,所以首先確定集中桿件位置.根據(jù)平衡條件,集中桿件必然通過集中力作用點(diǎn)(包括鉸支座點(diǎn),下同),所以先從集中力作用桿件方向.首先以集中力作用結(jié)點(diǎn)為線段的始點(diǎn),沿線段始點(diǎn)的桿件方向作直線與相鄰單元邊界相交,此交點(diǎn)作為線段的終點(diǎn),由此終點(diǎn)所在單元邊界的兩端結(jié)點(diǎn)的桿件方向插值得到此終點(diǎn)的桿件方向.為了提高計(jì)算精度,根據(jù)線段終點(diǎn)桿件的方口FI-互圖1例1設(shè)計(jì)域和荷載圖3例1結(jié)構(gòu)桿件優(yōu)化分布圖5例1Michell桁架向?qū)κ键c(diǎn)的方向作一次修正,得到修正后的線段終點(diǎn);以此線段終點(diǎn)作為下一線段的始點(diǎn)作出下一線段;如此反復(fù)直到設(shè)計(jì)域邊界,完

11、成一條折線;對(duì)每一個(gè)集中力作用點(diǎn)的兩個(gè)正交方向都可以作出上述折線,至此表示出所有集中桿件,根據(jù)平衡條件,曲線桿凹側(cè)必有分布桿件.所以,沿上述集中桿向凹側(cè)等間距畫出分布桿件.6算例以兩個(gè)經(jīng)典的Michell桁架設(shè)計(jì)問題為例,如固定,右邊自由,右邊中點(diǎn)受豎向集中力作用,文獻(xiàn)E5給出了解析解,算例2下邊左右兩個(gè)角點(diǎn)鉸支,下邊中點(diǎn)受豎向集中力作用,文獻(xiàn)3給出了解析應(yīng)力值,彈性模量以及荷載值與拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果無算例的桿件密度和方向的優(yōu)化分布,線段的方向表5和圖6給出了兩個(gè)算例的Miehell桁架.圖2例2設(shè)計(jì)域和荷載圖4例2結(jié)構(gòu)桿件優(yōu)化分布圖6例2Michell桁架Fig6TheMiehelltrussof

12、example2第3期周克民:形成不同拉壓允許應(yīng)力Michell桁架的有限元方法3677結(jié)語采用正交異性材料模型,在材料拉壓允許應(yīng)力不同的情況下,利用優(yōu)化準(zhǔn)則法,建立了形成度和方向?yàn)樵O(shè)計(jì)變量,材料性質(zhì)在設(shè)計(jì)域內(nèi)連續(xù)均有限元分析方法的靈活性,可以處理各種邊界條件的問題.參考文獻(xiàn)(References):1ROZVANYGIN.23345LayoutoptimizationBENDS中EMP.KIRSCHU.ofstructuresJ.AppliedMechanicsReviews.1995.48(2):41119.J1.InternationalJournalofMechanicalScienc

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15、44.種方法J.力學(xué),2002,34(6):935940.structingMichelltrussusingfiniteelementmethodJ.ActaMechanicaSinica.2002.34(6):935940.(inChinese)FiniteelementmethodtoestablishMichelltrusswithunequalpermissiblestressesfortensionandcompressionZHUUKerain(SchoolofCivilEngineering,HuaqiaoUniversity.Quanzhou362021.China)Abstract:ThefiniteelementmethodtoestablishMichelltrusswithdifferentpermissiblestressesforties,suchas1一nodeconnectedhinges,checkerboardsandmeshdependencies,disappearedentirely.Basedonoptimalitycriteriamethod,t