第五章數(shù)值積分學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第五章數(shù)值積分第五章數(shù)值積分第一頁(yè)，共51頁(yè)。)()()(1afbabxbfabaxxP用P1(x)代替(dit)f(x)，得：)()(2)()()()(1bfafabdxafbabxbfabaxdxxPdxxfbababa如右圖：第1頁(yè)/共51頁(yè)第二頁(yè)，共51頁(yè)。)()2)()2()(2)()(2()(2)(22bfbaxaxbafbxaxafbxbaxabxP用P2(x)代替(dit)f(x)，得：)()2(4)(6)()(2bfbafafabdxxPdxxfbaba如右圖：第2頁(yè)/共51頁(yè)第三頁(yè)，共51頁(yè)。nabhniihaxi,.,2 , 1 , 0,過(guò)這n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造(g

2、uzo)一個(gè)n次多項(xiàng)式：)()()()()(0 xfxxxxxPiniininn用Pn(x)代替(dit)f(x)，得： niiiniibaininbainiininbanbaxfAxfdxxxxxdxxfxxxxdxxPdxxf000)()()()()()()()()()()(第3頁(yè)/共51頁(yè)第四頁(yè)，共51頁(yè)。dxxxxxAbainini)()()(該公式稱(chēng)為牛頓-科茨公式，該公式的關(guān)鍵是計(jì)算系數(shù)Ai，變量(binling)替換 x=a+th于是(ysh)：).(1()()(1nttththaxnnn)!)(!() 1()(inihxinnin從而：ninnnbaininihdthitini

3、hnttthdxxxxxA01)()!)(!() 1().(1()()()(第4頁(yè)/共51頁(yè)第五頁(yè)，共51頁(yè)。nindtitntttinih0)().(1()!)(!() 1(引進(jìn)(ynjn)記號(hào)：ninnidtitntttininc0)()().(1()!)(!() 1(則：cabAnii)()( 可以看出Ci(n)不依賴(lài)f(x)和區(qū)間(q jin)a,b，叫牛頓-科茨系數(shù)，可事先計(jì)算出：第5頁(yè)/共51頁(yè)第六頁(yè)，共51頁(yè)。（1）梯形(txng)求積公式：15 . 0dxx4267767. 0) 15 . 0(25 . 015 . 0dxx（2）拋物線(xiàn)求積公式(gngsh)：4093403.

4、0) 175. 045 . 0(65 . 015 . 0dxx（3）牛頓(ni dn)-科茨求積公式：取n=4)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfbaniiibaxfAdxxf0)()(cabdxxxxxAnibainini)()()()()(43096407. 0)7875. 03275. 012625. 0325 . 07(905 . 015 . 0dxx第6頁(yè)/共51頁(yè)第七頁(yè)，共51頁(yè)。43096441. 0|3215 . 015 . 032xdxx5.2 求積公式(gngsh)誤差估計(jì) 1、定義：對(duì)一個(gè)(y )一般的求積公式niiibaxfAdxxf0)()( 該公式具有m

5、次代數(shù)精確度，若對(duì)f(x)是不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，等號(hào)成立，而對(duì)f(x)是m+1次多項(xiàng)式時(shí)不能精確成立。 （1） 梯形公式具有一次精度)(! 2)( )()(1bxaxfxPxf)()(0)( )(1xPxffxf ，于是是一次多項(xiàng)式，則若第7頁(yè)/共51頁(yè)第八頁(yè)，共51頁(yè)。)()(2)()(1bfafabdxxPdxxfbaba 但當(dāng)f(x)=x2時(shí))(23)(22332abababdxxdxxfbaba 所以 梯形公式具有(jyu)一次精度 （2） 牛頓(ni dn)-科茨公式： 若f(x)是n次多項(xiàng)式，則f(n+1)(x)=0，因此f(x)=Pn(x)，牛頓科茨公式的代數(shù)精確度至少(z

6、hsho)是n，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，精度可達(dá)到n+1，下面證明之：第8頁(yè)/共51頁(yè)第九頁(yè)，共51頁(yè)。 則其n+1次導(dǎo)數(shù)(do sh)為： 則：第9頁(yè)/共51頁(yè)第十頁(yè)，共51頁(yè)。 令： 則： 即h(u)是一個(gè)(y )奇函數(shù)，故： 所以(suy)說(shuō)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓-科茨公式對(duì)n+1次多項(xiàng)式精確成立 拋物線(xiàn)求積公式是n=2時(shí)的牛頓(ni dn)-科茨公式，故其精確度為至少為3，可以證明它對(duì)四次多項(xiàng)式不能精確成立。第10頁(yè)/共51頁(yè)第十一頁(yè)，共51頁(yè)。 所以，拋物線(xiàn)求積公式(gngsh)的代數(shù)精確度是32、求積公式的截?cái)嗾`差：真值與近似計(jì)算所得(su d)的結(jié)果之差3、定理(dngl)5.1：P104第11

7、頁(yè)/共51頁(yè)第十二頁(yè)，共51頁(yè)。 兩邊(lingbin)積分： 因此(ync) 定理得證第12頁(yè)/共51頁(yè)第十三頁(yè)，共51頁(yè)。 證明(zhngmng)：已知拋物線(xiàn)求積公式代數(shù)精確度為3，構(gòu)造一個(gè)3次差之多項(xiàng)式： 應(yīng)用(yngyng)第二章的知識(shí)得：第13頁(yè)/共51頁(yè)第十四頁(yè)，共51頁(yè)。 因P3是三次多項(xiàng)式，所以對(duì)拋物線(xiàn)求積公式(gngsh)是精確成立的，即： 于是(ysh)得到：第14頁(yè)/共51頁(yè)第十五頁(yè)，共51頁(yè)。 因此(ync)拋物線(xiàn)求積公式的截?cái)嗾`差為：5.3 復(fù)化公式及其誤差(wch)估計(jì) 1、復(fù)化梯形(txng)求積公式：第15頁(yè)/共51頁(yè)第十六頁(yè)，共51頁(yè)。若把區(qū)間(q jin)2

8、n等分，則可得到T2n，它與Tn之間關(guān)系是：其中(qzhng)：第16頁(yè)/共51頁(yè)第十七頁(yè)，共51頁(yè)。第17頁(yè)/共51頁(yè)第十八頁(yè)，共51頁(yè)。第18頁(yè)/共51頁(yè)第十九頁(yè)，共51頁(yè)。這樣就得到了復(fù)化梯形(txng)求積公式的截?cái)嗾`差：4、復(fù)化拋物線(xiàn)求積公式(gngsh)的誤差估計(jì)：第19頁(yè)/共51頁(yè)第二十頁(yè)，共51頁(yè)。第20頁(yè)/共51頁(yè)第二十一頁(yè)，共51頁(yè)。5、例2：計(jì)算(j sun)積分10dxeIx要求保證有5位有效數(shù)字。問(wèn)若用復(fù)化梯形(txng)求積公式，n應(yīng)取多少？若用復(fù)化拋物線(xiàn)求積公式計(jì)算，n又應(yīng)取多少？解：由f(x)=ex，有f(x)=f(4)(x)=ex，故當(dāng)x在0，1內(nèi)時(shí)有：而根據(jù)

9、復(fù)化梯形求積公式的誤差估計(jì)式有：I的真值具有一位整數(shù)，根據(jù)第一章誤差與有效數(shù)字的關(guān)系，只要?。旱?1頁(yè)/共51頁(yè)第二十二頁(yè)，共51頁(yè)。所以(suy)只要1/h=68即可，也即把區(qū)間0，1等分為68份就可： 用復(fù)化拋物線(xiàn)求積公式(gngsh)計(jì)算，由式（5.16）有：兩邊取對(duì)數(shù)并整理得：所以只要1/h=3即可，也即把區(qū)間0，1 6等分就可：5.4 逐次分半法 1、問(wèn)題所在：結(jié)合上節(jié)誤差估計(jì)式以復(fù)化梯形公式為例區(qū)間n等分時(shí)截?cái)嗾`差：第22頁(yè)/共51頁(yè)第二十三頁(yè)，共51頁(yè)。兩式相減得：當(dāng)f()在區(qū)間a,b上連續(xù)，并假定(jidng)n充分大時(shí)f(n)近似等于 f(2n),則：由上式可以看出可用T2n

10、-Tn描述(mio sh)誤差，即由：來(lái)判斷T2n是否以滿(mǎn)足要求。下面具體討論2、梯形求積公式的逐次分半法：（1）取n=1，計(jì)算T1,如右圖所示)2)(2)()(1bfafabT第23頁(yè)/共51頁(yè)第二十四頁(yè)，共51頁(yè)。)(2)(2)(2)(2)(2)(1111xfabTxfbfafabT21abx其中(qzhng)：（2）把區(qū)間a,b四等(s dn)份，取n=4，計(jì)算T4,如右下圖所示：)()(4)(2)()()(2)(2)(4)(3123211xfxfabTxfxfxfbfafabT23,2,43321abxabxabx其中：第24頁(yè)/共51頁(yè)第二十五頁(yè)，共51頁(yè)。而截?cái)嗾`差就用下式判斷(p

11、ndun)是否滿(mǎn)足要求。3|2TTnn計(jì)算過(guò)程(guchng)如下：P113算法5.1、輸入a,b, 、置n=1,h=(b-a)/2,T0=h(f(a)+f(b) 、置F=0,對(duì)i=1,2,n，求F=F+f(a+(2i-1)h) 、T= T0 /2+hF 、|T- T0| n，h/2= h，T= T0，轉(zhuǎn)3、拋物線(xiàn)求積公式的逐次分半法：用類(lèi)似的方法求s1, s2 ,sn, s2n第25頁(yè)/共51頁(yè)第二十六頁(yè)，共51頁(yè)。類(lèi)似前面截?cái)嗾`差估計(jì)分析，利用復(fù)化拋物線(xiàn)公式(gngsh)的誤差估計(jì)式，可得：)(15122SSSInnn拋物線(xiàn)公式的逐次分半法以15|2SSnn為停步準(zhǔn)則計(jì)算(j sun)過(guò)程

12、如下：P113算法5.2、輸入(shr)a,b, 、置F=0,對(duì)i=1,2,n，求F3=F3+f(a+(2i-1)h)、置F1=f(a)+f(b),F2=f(a+b)/2),4, 2),4(15210abhnFFabS第26頁(yè)/共51頁(yè)第二十七頁(yè)，共51頁(yè)。 、|T- T0| n，h/2= h， F2+ F3 = F2 ，S=S0,轉(zhuǎn)4、例3：P114用復(fù)化梯形(txng)公式、復(fù)化拋物線(xiàn)公式和n=6的牛頓-科茨公式計(jì)算積分：下表給出sinx在7個(gè)點(diǎn)的值，計(jì)算結(jié)果與精確(jngqu)值比較第27頁(yè)/共51頁(yè)第二十八頁(yè)，共51頁(yè)。計(jì)算方法結(jié)果誤差復(fù)化梯形公式0.99429-0.0057復(fù)化拋物線(xiàn)

13、公式1.000030.00003牛頓-科茨公式(n=3)1.0000030.000003真值10若要具有(jyu)5位有效數(shù)字，則：（1）、復(fù)化梯形(txng)公式：則要求h0.006第28頁(yè)/共51頁(yè)第二十九頁(yè)，共51頁(yè)。則要求(yoqi)h0.15（3）、逐次(zh c)分半拋物線(xiàn)公式計(jì)算：第29頁(yè)/共51頁(yè)第三十頁(yè)，共51頁(yè)。1、加速收斂(shulin)技巧Richadson外推法：真值F*，近似值F，考慮真值與h無(wú)關(guān)，而F是與h有關(guān)的函數(shù)(hnsh)，記為F1(h)，它的截?cái)嗾`差估計(jì)式記為：?jiǎn)栴}是能否通過(guò)上式構(gòu)造一個(gè)新的序列，使它逼近更好，用qh代替q得：第30頁(yè)/共51頁(yè)第三十一頁(yè)，

14、共51頁(yè)。其中(qzhng)：都是與h無(wú)關(guān)(wgun)的常數(shù)，令第31頁(yè)/共51頁(yè)第三十二頁(yè)，共51頁(yè)。 Romberg求積是在復(fù)化梯形求積公式的基礎(chǔ)上，應(yīng)用Richardson外推法構(gòu)造的一種(y zhn)算法。復(fù)化梯形求積公式的誤差可表示為： 區(qū)間a,bn等分并用(bn yn)復(fù)化梯形公式求得近似值Tn，記為T(mén)0(h)，再把a(bǔ),b 2n等分并計(jì)算得近似值T2n，記為： 如此下去，可得到(d do)一個(gè)序列： 下面具體用Richardson外推法計(jì)算過(guò)程：假設(shè)求得利用前面公式5.24， 我們對(duì)符號(hào)做一個(gè)規(guī)范：第32頁(yè)/共51頁(yè)第三十三頁(yè)，共51頁(yè)。 我們(w men)記ThTkk)(00)2

15、(為 外推m次的記為 Tkm)( 于是(ysh)有：14421121)0(0)1(02)0(02)1(0)0(1TTTTT14421121)1(0)2(02)1(02)2(0)1(1TTTTT由前面討論知Tk)(1的階為O(h4)，實(shí)際上它就是復(fù)化拋物線(xiàn)求積公式第33頁(yè)/共51頁(yè)第三十四頁(yè)，共51頁(yè)。14421121)(1) 1(12)(12) 1(1)(mkmkmmmkmmkmkmTTTTT對(duì) Tkm)(來(lái)說(shuō)，截?cái)嗾`差的階是O(h2m+2)，計(jì)算過(guò)程如下：km=0 m=1 m=2 m=30123T0(0) T1(0) T2(0) T3(0) T0(1) T1(1) T2(1) T0(2) T

16、1(2) T0(3) 誤差O(h2) O(h4) O(h3) O(h8)第34頁(yè)/共51頁(yè)第三十五頁(yè)，共51頁(yè)。第35頁(yè)/共51頁(yè)第三十六頁(yè)，共51頁(yè)。|) 0(1) 0(TTmm3、算法(sun f)5.3：、輸入(shr)a,b, 、置h=(b-a)/2,T0(0)=h(f(a)+f(b),k=1,n=1 、置F=0,對(duì)i=1,2,n，求F=F+f(a+(2i-1)h) 、T0(k)= T0(k-1) /2+hF 、對(duì)m=1,2,k,計(jì)算 、|Tm(0)- T(0)m-1| n，h/2= h，k+1= k，轉(zhuǎn)144)(1) 1(1)(mmkmmkmmmkmTTT4、例4：用Romberg方

17、法計(jì)算積分dxxxI10sin的近似值，要求誤差不超過(guò)0.510-6，函數(shù)值如下：P119第36頁(yè)/共51頁(yè)第三十七頁(yè)，共51頁(yè)。先用逐次(zh c)分半法計(jì)算n=0,1時(shí)的值：9397933. 0) 5 . 0(21219207353. 0)1 ()0(21)0(0) 1 (0)0(0fTTffT然后(rnhu)用Romberg外推法求一次外推值：9461459. 034)0(0) 1 (0)0(1TTT再用逐次(zh c)分半法計(jì)算n=2時(shí)的值：9445135. 0)75. 0()25. 0(2121) 1 (0)2(0ffTT再用Romberg外推法求一次外推值：9460869. 034

18、) 1 (0)2(0) 1 (1TTT第37頁(yè)/共51頁(yè)第三十八頁(yè)，共51頁(yè)。9460830. 01516)0(1) 1 (1)0(2TTT 因?yàn)閨T2(0)-T1(0)|=0.0000627不滿(mǎn)足精度要求，重復(fù)上面(shng min)過(guò)程，先用逐次分半法求n=3時(shí)的值9456909. 0)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(2121)2(0)3(0ffffTT再用Romberg外推法求后面(hu mian)一次、二次外推值：9460831. 063649460831. 015169460833. 034)0(2) 1 (2)0(3) 1 (1)2(1) 1 (2)2

19、(0)3(0)2(1TTTTTTTTT第38頁(yè)/共51頁(yè)第三十九頁(yè)，共51頁(yè)。9460831. 0sin10dxxxI5.6高斯(o s)（Gauess）型求積公式1、問(wèn)題(wnt)提出： 在節(jié)點(diǎn)數(shù)目固定的條件下，能否適當(dāng)?shù)剡x擇節(jié)點(diǎn)位置和相應(yīng)的系數(shù)，求積公式：nkiibaxfAdxxf1)()(具有最大代數(shù)精確度 先分析一下上面公式可達(dá)的最大代數(shù)精確度 假設(shè)對(duì)所有m次多項(xiàng)式都是準(zhǔn)確的，則有：第39頁(yè)/共51頁(yè)第四十頁(yè)，共51頁(yè)。得：上式成立的充分必要條件是：第40頁(yè)/共51頁(yè)第四十一頁(yè)，共51頁(yè)。 上面方程組有2n個(gè)未知數(shù)，最多可改出2n個(gè)獨(dú)立(dl)條件，也即m最大為2n+1，也就是說(shuō)n個(gè)點(diǎn)的求積公式最大精確度可達(dá)2n+1. 下面就討論如何選取這n個(gè)點(diǎn)，考慮n=2，不失一般性選區(qū)(xunq)間為-1，1，否則可變換：第41頁(yè)/共51頁(yè)第四十二頁(yè)，共51頁(yè)。由前面(qin mian)方程組可得只要解下面方程組即可：當(dāng)n較大(jio d)時(shí)，考慮用正叫多項(xiàng)式的特性來(lái)求節(jié)點(diǎn)，得：兩邊積分得：第42頁(yè)/共51頁(yè)第四十三頁(yè)，共51頁(yè)。因求積公式(gngsh)對(duì)任意一次多項(xiàng)式都精確