第五章 向量空間

1、第五章 向量空間向量空間或稱線性空間是一個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)（定義了代數(shù)運(yùn)算的集合），現(xiàn)代數(shù)學(xué)所涉及的歐氏空間、空間、希爾伯特空間等都是建立在向量空間的基礎(chǔ)上的.我們知道,在元向量集和矩陣集中,都分別定義了加法和數(shù)乘運(yùn)算,并且就這兩種運(yùn)算的基本性質(zhì)而言,在形式上是完全一樣的.向量空間就是對(duì)這類集合的共性的抽象.學(xué)習(xí)向量空間的理論,不僅有助于深化對(duì)矩陣?yán)碚?、線性方程組理論等內(nèi)容的理解,同時(shí)也為后面兩章內(nèi)容的討論奠定了基礎(chǔ).除此之外,向量空間的理論和方法在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域都有一定的應(yīng)用.本章重點(diǎn)是向量空間的定義、基、內(nèi)積、正交矩陣等.5.1 向量空間的概念定義 1 設(shè)是一個(gè)非空集,是一個(gè)數(shù)域如

2、果：1) 中定義了一個(gè)加法、, 中有唯一確定的元與它們對(duì)應(yīng),這個(gè)元稱為與的和,記為+.2) 到有一個(gè)數(shù)量乘法,中有唯一確定的元與它們對(duì)應(yīng),這個(gè)元稱為與的數(shù)量乘積,記為.3) 加法與數(shù)量乘法滿足以下算律： 、,、1 +=+；2 (+)+=+(+)；3 0,稱為的零元,有0+=；4 ,稱為的負(fù)元,有+()=0；5 ；6 ；7 ；8 ,那么稱是數(shù)域上的一個(gè)向量空間. 向量空間的元稱為向量.定義1中的條件1)和2)可以合并為:,有.由于運(yùn)算是線性的,也將向量空間稱為線性空間.例1 為數(shù)域上所有元向量構(gòu)成的集,對(duì)向量的加法和數(shù)乘,是上的一個(gè)向量空間.例2 對(duì)矩陣的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成上的一個(gè)向量空間.例3

3、 在解析幾何里,平面或空間中從原點(diǎn)出發(fā)的一切向量對(duì)向量的加法和實(shí)數(shù)與向量的乘法都構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的向量空間.分別記為.例4 令為定義在區(qū)間上的一切連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的集.對(duì)函數(shù)的加法,實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法,是實(shí)數(shù)域上的向量空間.例5 復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域上的向量空間.任意數(shù)域都是它自身上的向量空間.由定義1,可以推出向量空間的如下幾個(gè)性質(zhì)：1. 在向量空間中,零向量是唯一的.事實(shí)上,若與都是的零向量,便有. 2. 中每一向量的負(fù)向量是唯一的.17事實(shí)上,若都是的負(fù)向量,即有,那么.規(guī)定-=+ (-). 3. 在中, () 0； () ； () . 事實(shí)上, 00(0+1).等式兩邊同時(shí)加上(-),得0=.故（i

4、）式成立. 由,兩邊加上,得,即(ii)式成立.由,即是的負(fù)元,所以.同樣可得.4. 在中,如果,則0或.事實(shí)上,若,而0,那么.又,故此外,由于中的加法滿足交換律結(jié)合律,中個(gè)向量相加,可以任意交換各項(xiàng)的次序,任意添加括號(hào),所得結(jié)果都相同.定義2 設(shè)是數(shù)域上的向量空間,如果,有, (1)那么稱是的一個(gè)子空間.由定義,的子空間一定含中的零向量(0).如果是的子空間,那么也是數(shù)域上的向量空間.這是因?yàn)閷?duì)的加法和到的數(shù)量乘法封閉，而定義1中的算律1至8在中成立,在中當(dāng)然成立.例6. 由向量空間的零向量構(gòu)成的集0是的子空間,稱為零空間.自身是的子空間.這兩個(gè)子空間都稱為的平凡子空間.例7. 中一切形如

5、 的向量構(gòu)成的集是的一個(gè)子空間.定義2中的條件（1）可表示為: . （2）反之,若（2）成立,則是的一個(gè)子空間.事實(shí)上,在（2）中,令,得;令,得,由定義2,是的子空間. 在向量空間中,我們可以依照3.2中元向量線性相關(guān)性的表述來定義諸如向量的線性組合、線性相關(guān)等相應(yīng)的概念,從而得出相應(yīng)的結(jié)論.從形式上說,這些概念、結(jié)論的表述是完全一樣的.只是在向量空間中涉及這些概念、結(jié)論的對(duì)象向量以及線性運(yùn)算,已經(jīng)不局限于元向量及其運(yùn)算.在此,不再一一列出. 現(xiàn)設(shè)是數(shù)域上的向量空間,中的個(gè)向量的一切線性組合構(gòu)成的集是的一個(gè)子空間. 事實(shí)上,令, ,那么+與仍為的線性組合,即有+,.故是的子空間,它稱為由生成

6、的子空間,記為 (), 稱為生成向量.下面我們看一個(gè)例子. 個(gè)方程個(gè)未知量的齊次線性方程組,它的所有解向量的集是的非空子集.若（為元列向量）,有,那么,則,.即,有.因此是的一個(gè)子空間.由于的任一解都可表示為它的基礎(chǔ)解系的線性組合,若是的一個(gè)基礎(chǔ)解系,那么可表示為的線性組合,于是包含于生成子空間.即 .反之,任取,令為常數(shù),那么,即.因而.故 .的子空間稱為齊次線性方程組的解空間.最后，我們給出子空間的和的概念。 定義3 設(shè)是數(shù)域上的向量空間的兩個(gè)子空間,令 ,稱為子空間與的和.下面證明是的子空間.事實(shí)上,由,知,因而至少含與的公共零向量,故. 又設(shè),即有,其中, .因?yàn)?是的子空間,所以,于

7、是.故是的一個(gè)子空間.子空間的和可以推廣到有限個(gè)子空間的情形.習(xí) 題 1. 檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指定的運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的向量空間. 全體實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)矩陣的加法和數(shù)量乘法； 在中,不平行某一向量的全部向量構(gòu)成的集,對(duì)向量的加法和數(shù)量乘法； 在中,對(duì)于向量的加法和如下定義的數(shù)量乘法： .2. 證明：向量空間如果含有一個(gè)非零向量,那么它一定含有無窮多個(gè)向量.3. 判斷中下列子集哪些是子空間. ; ; .4. 是向量空間的子空間,證明也是的子空間.5. 在中,設(shè)是過原點(diǎn)的平面上的所有向量的集合,是過原點(diǎn)而與該平面相交的直線上所有向量的集合.證明都是的子空間,與分別含有中哪些向量？5.2 基 維數(shù) 坐

8、標(biāo) 在向量空間中,只要有一個(gè)非零向量,將無限重復(fù)相加,就可以得到中的無窮多個(gè)向量.這就是說,除零空間外,其余非零向量空間都有無窮多個(gè)向量.這無窮多個(gè)向量如何表示,這是需要我們解決的問題. 在5.1中,我們提到了齊次線性方程組的解空間.齊次線性方程組若有非零解,則有無窮多個(gè)解,其中每一個(gè)解都可以表成基礎(chǔ)解系的線性組合.仿照這一事實(shí),我們首先給出定義1 設(shè)是向量空間中的個(gè)向量,如果 （i） 線性無關(guān)； （ii）中的每一個(gè)向量都可由線性表出,那么,稱是的一個(gè)基.由定義1知,任何非零向量空間都存在基.注意向量空間的基與向量組的極大無關(guān)組的區(qū)別,前者是對(duì)無窮多個(gè)向量而言,而后者是在有限個(gè)向量中定義的.

9、例1 齊次線性方程組的任一個(gè)基礎(chǔ)解系是它的解空間的一個(gè)基.例2 在中,線性無關(guān).故是的一個(gè)基,它稱為的標(biāo)準(zhǔn)基或自然基.例3 設(shè)()= .令 =,=,=,=.,且線性無關(guān).故的一個(gè)基.例4 在中,任何兩個(gè)不共線的向量是它的基；在中,任何三個(gè)不共面的向量是它的基.向量空間的基一般不是唯一的.由定義1知,向量空間的任意兩個(gè)基等價(jià),因而它們含有相同個(gè)數(shù)的向量.為此給出定義2 向量空間的一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù),稱為的維數(shù),記為.零空間的維數(shù)是0.本教材所涉及的都是維數(shù)有限的向量空間.例2中, 例3中, .例4中, .定理5.2.1 設(shè),則中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都是的基.證 設(shè)(I)是中個(gè)線性無關(guān)的向量,(

10、II)是的一個(gè)基,那么(I)可由(II)線性表示.由替換定理知,(I)與(II)等價(jià).,可由(II)線性表示,因而可由(I)線性表示,根據(jù)定義1, 是的基.推論1 若,則中任意不同向量線性相關(guān).推論2 若,則中任意線性無關(guān)的向量都可以擴(kuò)充成的一個(gè)基.事實(shí)上,設(shè)()是中個(gè)線性無關(guān)的向量,()是的一個(gè)基,那么()可由()線性表出.根據(jù)替換定理,適當(dāng)變動(dòng)()中向量的次序,用取代()中前個(gè)向量后所得向量組, ()與()等價(jià),因而()與()等秩.組()的秩為,故組()線性無關(guān),從而它是的一個(gè)基.定理5.2.2 維向量空間的任一個(gè)向量經(jīng)的一個(gè)基線性表出時(shí),其表示法是唯一的.證 設(shè)是的一個(gè)基,.若,那么有.

11、由于線性無關(guān),所以只有.即,定義3 令是向量空間的一個(gè)基,且 , (1)那么,稱元有序數(shù)組是在基下的坐標(biāo)（或關(guān)于基的坐標(biāo)）.(1)式亦可表示為: =().由定義3知:在例2中,=關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)是.在例3 中,關(guān)于基的坐標(biāo)為.向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)也稱為坐標(biāo)向量,它是中的向量.求一個(gè)向量在給定基下的坐標(biāo)，可以通過解線性方程組的方法而得到.下面我們討論向量空間的兩個(gè)基之間關(guān)系,以及同一向量在不同基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系.設(shè)；是維向量空間的兩個(gè)基.令 (2)以關(guān)于基的坐標(biāo)為列可構(gòu)成階矩陣 =.稱為由基到基的過渡矩陣.顯然任意一個(gè)基到自身的過渡矩陣是.(2)式可以記為 ()=(). (3)同樣,設(shè)是由基到

12、基的過渡矩陣,即有 ()=(). (4)將(3)代入(4)得 ()=().因而.說明都是可逆矩陣,.反之,設(shè)為任一個(gè)階可逆矩陣, 是向量空間的一個(gè)基.令 .即有 ()=( ).因?yàn)榭赡?于是得 ()=(). (5)(5)式表明可由線性表出.而線性無關(guān),由替換定理,與等價(jià),于是它們等秩,因而線性無關(guān),它也是的一個(gè)基.上述事實(shí)表明,任一個(gè)階可逆矩陣都可作為的一個(gè)基到另一個(gè)基的過渡矩陣.(3)式通常稱為基變換公式. 再看同一向量x在不同基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系. 設(shè)；是的兩個(gè)基, ()=( ), (6)且=()= () .將(6)代入得=()=() .由向量關(guān)于某一基的坐標(biāo)的唯一性,得 =, (7)或

13、= . (8) (7)式或(8)式稱坐標(biāo)變換公式.例:已知是的一個(gè)基,求的自然基到的過渡矩陣,并求的向量關(guān)于基的坐標(biāo).解 由即有 ()=().所以由到的過渡矩陣=.而=.設(shè) =(). 則由=(),得關(guān)于基的坐標(biāo)=. 求關(guān)于基的坐標(biāo),也可通過解方程組求得.事實(shí)上，若令 ，得線性方程組解得 ,. 與上面計(jì)算結(jié)果相同.習(xí) 題 1設(shè)是的一個(gè)基,求由基到基的過渡矩陣.2證明是的一個(gè)基,并求在這個(gè)基下的坐標(biāo).3.在中，.證明與都是的基,并求由到的過渡矩陣.4. 設(shè)是數(shù)域上全體3階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間,求,并給出的一個(gè)基.5. 證明,若向量空間的每一個(gè)向量都可以唯一表成中向量的線性組合,那么.6. 設(shè)都是

14、向量空間的子空間,且,證明：如果,那么.7. 設(shè)與是中的兩組向量,求生成子空間與的交的維數(shù). *5.3 向量空間的同構(gòu)我們知道,在維向量空間中取定一個(gè)基之后, 中的每一個(gè)向量在這個(gè)基下的坐標(biāo)()是中的向量,并且是唯一的.反過來,設(shè)是向量空間的一個(gè)基,對(duì)任一個(gè)元向量().令,則是中被唯一確定的一個(gè)向量.由此可知, 中的向量與中的向量存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.令,任取 ,(),那么容易證明是到的一個(gè)雙射.設(shè), .則 ., .即有(+)=()+(),()=().這說明在下, 中與中的加法和數(shù)量乘法也保持著對(duì)應(yīng)關(guān)系.定義1 設(shè)、是數(shù)域上的向量空間,且為雙射.如果,有（1）(+)=()+();（2）()=(

15、 ),那么稱是 到的一個(gè)同構(gòu)映射.此時(shí)稱與同構(gòu),記為.如果是 到的同構(gòu)映射,由是雙射,那么是到的同構(gòu)映射.其中,而.向量空間的同構(gòu)具有:1º 自反性 任意向量空間與它自身同構(gòu).2º 對(duì)稱性 若,那么.3º 傳遞性 若,那么.同構(gòu)的兩個(gè)向量空間,如果不看他們的元素是什么,則它們?cè)诒举|(zhì)上是一樣的.由本節(jié)開始的討論,立即可得定理5.3.1 數(shù)域上任意一個(gè)維向量空間都與同構(gòu).根據(jù)該定理及同構(gòu)的對(duì)稱性、傳遞性,可得推論 維數(shù)相同的兩個(gè)向量空間同構(gòu).下面討論同構(gòu)映射的幾個(gè)性質(zhì).設(shè),是數(shù)域上的向量空間, 是到的同構(gòu)映射,則1. , .事實(shí)上,在定義1中的條件(2)分別取,即得.

16、2. ,其中, ,.(對(duì)采用數(shù)學(xué)歸納法可得)3. 線性相關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān). ,事實(shí)上, 線性相關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)有不全為零的數(shù),使.結(jié)合性質(zhì)1,2,則有.因而線性相關(guān).由性質(zhì)3知,如果中的向量線性無關(guān),那么中的向量 也線性無關(guān). ,則().這表明,如果是的基,那么則是的基,因而若與同構(gòu),那么與有相同的維數(shù).這樣定理5.3.1的推論中的條件成為一個(gè)充分必要條件.于是有定理5.3.2 兩個(gè)向量空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的維數(shù).由定理5.3.2知,數(shù)域上的所有n維向量空間都與同構(gòu),即不看其元素,它們本質(zhì)上是一樣的.因此,我們可以將作為數(shù)域上所有n維向量空間的代表.習(xí) 題 1.設(shè):是向量空間到的一個(gè)同構(gòu)

17、映射. 是的子空間.證明是的一個(gè)子空間.2.詳細(xì)證明,若是向量空間到的同構(gòu)映射,則的逆映謝是到的同構(gòu)映射.3.復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間,證明.5.4 歐氏空間 本節(jié)我們將由一般數(shù)域上的向量空間轉(zhuǎn)為對(duì)實(shí)數(shù)域上的向量空間的討論.實(shí)數(shù)域上的向量空間簡(jiǎn)稱為實(shí)向量空間.通常的幾何空間是實(shí)向量空間,它是一般向量空間的基本模型.我們知道,在幾何空間中,定義了兩個(gè)非零向量的內(nèi)積(或點(diǎn)積,數(shù)積):, (1)其中,分別表示的長(zhǎng)度,為與的夾角.在這里,長(zhǎng)度與夾角都有直觀的幾何意義,而這一點(diǎn)對(duì)一般維實(shí)向量空間來說,顯然是做不到的.因此,我們不能沿用(1)式來定義一般實(shí)向量空間中兩個(gè)向量的內(nèi)積,但是我們希望將長(zhǎng)度、

18、夾角等概念引進(jìn)到一般的實(shí)向量空間中來.回顧一下中向量?jī)?nèi)積的基本性質(zhì):;0,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.這些式子,從形式上來說,只要稍加改變,是完全可以為一般實(shí)向量空間所接受的.為此,我們給出定義1 設(shè)是一個(gè)實(shí)向量空間,如果對(duì)于中任意一對(duì)向量、，有一個(gè)唯一確定的記為<>的實(shí)數(shù)與它們對(duì)應(yīng),并且滿足如下條件:1) ;2) ;3) ;4) 0,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,其中是中的任意向量,為任意實(shí)數(shù),那么稱<>為向量與的內(nèi)積.此時(shí)稱對(duì)于這個(gè)內(nèi)積來說是一個(gè)歐幾里德空間(簡(jiǎn)稱歐氏空間).例1 ,對(duì)(1)式確定的內(nèi)積都是歐氏空間.例2 在里,對(duì)于任意兩個(gè)向量,規(guī)定. (2)容易驗(yàn)證,定義1中的條件

19、1)-4)被滿足, <>是向量與的內(nèi)積, 對(duì)這一內(nèi)積作成一個(gè)歐氏空間.例3 是定義在區(qū)間上一切連續(xù)函數(shù)作成的向量空間.對(duì)的任意兩個(gè)向量,規(guī)定.由定積分的基本性質(zhì)知,定義1中的條件1)-4)被滿足, <,>是與的內(nèi)積. 對(duì)這一內(nèi)積作成一個(gè)歐氏空間.由定義1中的條件1)-4),容易推出如下性質(zhì):1. , .事實(shí)上,在條件3)中,取即可.2. 綜合條件2)、3), ,有.一般地, , ; .有.定義1中的條件4) ,即是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),因而的平方根有意義.定義2 是歐氏空間中的一個(gè)向量,算術(shù)平方根稱為向量的長(zhǎng)度,記為,即.顯然,.任何非零向量的長(zhǎng)度都是一個(gè)正實(shí)數(shù).長(zhǎng)度為1的向量

20、稱為單位向量.如果,是單位向量,如此來作成單位向量稱為對(duì)單位化.在例2中,.在例3中.仿中兩個(gè)向量之間距離的概念，我們稱為與的距離，記為下面我們給出歐氏空間中的一個(gè)重要不等式.定理5.4.1 設(shè)、是歐氏空間中的任兩個(gè)向量,則有 (3)當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時(shí)(3)式才取等號(hào).證 設(shè)線性相關(guān),那么或者,或者,此時(shí)均有.若線性無關(guān),則對(duì)于任意實(shí)數(shù),.于是0.即有0.因此,該不等式左端關(guān)于的二次三項(xiàng)式的判別式0,即.在例2中,(3)表為.這就是柯西（Cauchy）不等式.在例3中,(3)表為這就是許瓦茲（Schwarz）不等式.最后，我們定義歐氏空間中兩個(gè)向量的夾角.定義3 設(shè)是歐氏空間的兩個(gè)非零向量,

21、滿足等式 (4)的稱為與的夾角.由(4)式知,-11.取0,則是唯一的.(4)表明, 非零時(shí),有,為與的夾角.這樣一般歐氏空間的內(nèi)積表示形式與中內(nèi)積的表示形式趨于統(tǒng)一.當(dāng),而時(shí),此時(shí)稱與正交.規(guī)定零向量與任意向量正交.如此有定義4 是歐氏空間兩個(gè)向量,若則稱與正交.歐氏空間中,向量的長(zhǎng)度,兩個(gè)非零向量的夾角,以及兩個(gè)向量的距離,都與作成歐氏空間的內(nèi)積有關(guān).一般地,在同一實(shí)向量空間中,不同的內(nèi)積作成不同的歐氏空間,因而計(jì)算長(zhǎng)度,夾角,距離的結(jié)果一般也不相同.特別要指出的是,今后提到歐氏空間,其內(nèi)積都是由(2)給出.習(xí) 題 1.設(shè),是的任意兩個(gè)向量,規(guī)定.證明對(duì)此規(guī)定作成一個(gè)歐氏空間.2.在歐氏空

22、間中,求向量與的夾角:(1),;(2),.3.設(shè),是歐氏空間的任意兩個(gè)向量,證明.當(dāng),都是非零向量時(shí),在什么情況下可以取等號(hào)?4.設(shè)是歐氏空間中的向量,證明.并在中,說明它的幾何意義.5.證明歐氏空間的子空間也是歐氏空間.5.5 正交基在解析幾何里,我們常常將所給的問題放在直角坐標(biāo)系中來討論.建立直角坐標(biāo)以后,從原點(diǎn)出發(fā),在坐標(biāo)軸上取單位向量,它們分別構(gòu)成或的基,而且這種基是兩兩正交的.在這種基下討論問題,一般都顯得十分方便.我們意圖將這種基形式地引進(jìn)到一般歐氏空間中來.由于歐氏空間是特殊的實(shí)向量空間,而且其中有了向量正交的概念,實(shí)現(xiàn)上述想法是完全可能的.我們已經(jīng)知道,歐氏空間的基,滿足說明它

23、們是單位向量,而且兩兩正交.那么,在一般歐氏空間中,如何將一個(gè)基轉(zhuǎn)化為另一個(gè)基,使這個(gè)基的任意兩個(gè)不同的向量正交.為此,我們首先給出定義1 在歐氏空間中,一組兩兩正交的非零向量,稱為的一個(gè)正交向量組（簡(jiǎn)稱正交組）.定理 5.5.1 正交組是線性無關(guān)的.證 設(shè)是歐氏空間的一個(gè)正交組.令, (1)由時(shí),.用與(1)兩邊作內(nèi)積,得.因,所以,于是得,.故線性無關(guān).定義2 如果維歐氏空間的一個(gè)正交組含個(gè)向量,那么稱這個(gè)正交組是的一個(gè)正交基.若正交基中每一個(gè)基向量都是單位向量,則稱它為標(biāo)準(zhǔn)正交基.例 上面提到的是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.如果能將中一個(gè)線性無關(guān)組,化為一個(gè)正交組,則的任意一個(gè)基便可化為一個(gè)正交基,再將它單位化,便得到標(biāo)準(zhǔn)正交基.為了說明問題,先設(shè)是中兩個(gè)線性無關(guān)的向量,我們希望將它們轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正交向量.為此先取,而與正交的向量,應(yīng)滿足.從右圖看出是與的線性組合.令,由,求得,于是.仿此,在一般歐氏空間中,設(shè)是的一個(gè)線性無關(guān)組.按照上述方法,先取,而后由確定,再由確定,使與正交.如此下去,一般地 （2）此時(shí),.這說明是兩兩正交的.這樣便可化為一個(gè)正交組.由此,我們有如下結(jié)論:任何非零歐氏空間都有正交基,從而有標(biāo)準(zhǔn)正交基.按照（2）式將一個(gè)基化為正交基的方法,稱為正交化方法.當(dāng)空間