對比分析最小二乘法與回歸分析教程文件

1、對比分析最小二乘法與回歸分析對比分析最小二乘法 與回歸分析摘要最小二乘法是在模型確定的情況下對未知參數(shù)由觀測數(shù)據(jù)來進 行估計，而回歸分析則是研究變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計分析方法。關(guān)鍵詞：最小二乘法回歸分析數(shù)據(jù)估計目錄對比分析最小二乘法與回歸分析 2摘要3目錄4一：最小二乘法 5主要內(nèi)容5基本原理5二：回歸分析法7回歸分析的主要內(nèi)容 7回歸分析原理8三：分析與總結(jié)12一：最小二乘法主要內(nèi)容最小二乘法又稱最小平方法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過定義殘差平方和的方式，最小化殘差的平方和以求尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，可以從一組測定的數(shù)據(jù)中尋求變量之間的依賴關(guān)系 ，這種函數(shù)關(guān) 系稱為經(jīng)驗公式 利用最小二乘法可以十

2、分簡便地求得未知的數(shù)據(jù)， 并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小 二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量 或最大化嫡用最小二乘法來表達?；驹砜紤]超定方程組(超定指未知數(shù)大于方程個數(shù))： 耀X爐圖1,2.3.“打”其中m代表有m個等式，n代表有n個未知數(shù) 6 (m>n);將其進行向量化后為：X外乎聞 伙 P = 乩一pl力y=> I .顯然該方程組一般而言沒有解，所以為了選取最合適的：讓該等式“盡量成立"，引入殘差平方和函數(shù)S玩所|肉一（在統(tǒng)計學(xué)中，殘差平方和函數(shù)可以看成 n倍的均方誤差當(dāng)邙步,S（階取最小值,記作：|S = fl

3、rwn（S（）通過對S（進行微分求最值，可以得到：XTX=XTy如果矩陣非奇異則隋唯一解：8 二 （XX）T*。二：回歸分析法回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的相關(guān)關(guān)系的 一種統(tǒng)計分析方法?；貧w分析是應(yīng)用極其廣泛的數(shù)據(jù)分析方法之 一。它基于觀測數(shù)據(jù)建立變量間適當(dāng)?shù)囊蕾囮P(guān)系，建立不同的回歸 模型，確立不同的未知參數(shù)，之后使用最小二乘法等方法來估計模 型中的未知參數(shù)，以分析數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)自變量的個數(shù)等于 一時稱為一元回歸，大于1時稱為多元回歸，當(dāng)因變量個數(shù)大于 1 時稱為多重回歸，其次按自變量與因變量之間是否呈線性關(guān)系分為 線性回歸與非線性回歸。最簡單的情形是一個自變量和一個因變

4、量，且它們大體上有線性關(guān)系，叫一元線性回歸?；貧w分析的主要內(nèi)容從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定某些變量之間的定量關(guān)系式，即建立 數(shù)學(xué)模型并估計其中的未知參數(shù)。估計參數(shù)的常用方法是最小二乘 法。對這些關(guān)系式的可信程度進行檢驗。在許多自變量共同影響著一個因變量的關(guān)系中，判斷哪個 （或哪些）自變量的影響是顯著的，哪些自變量的影響是不顯著 的，將影響顯著的自變量加入模型中，而剔除影響不顯著的變量， 通常用逐步回歸、向前回歸和向后回歸等方法。利用所求的關(guān)系式對某一生產(chǎn)過程進行預(yù)測或控制裊】*3回婦分析的主霎內(nèi)容主要內(nèi)容方汪同奇的推幡空置的善符方皖向前甚而京法廄4向主成分注變看整型的事定島遍量含苗定性變JB腳網(wǎng)Hua

5、i雪電修堂的0*門悔解皿由虞如峋設(shè)建從般/推固性模爨拄本獸遮世魚卜1歸的同Q祕收格式福鹿邦菁*小一索法參購的估11小二法加於鼻*-*江廣義觸小二垂時好牯此隹于是小一用的后歸怙計十成分解也偏微小一痛齒似然特H及其他后大做簿此什K地刷回植中的詒斷回M超暨器里也 皿日植巾的修正回歸分析原理在回歸分析中自變量x ("x2, ,xm)是影響因變量y的主要因素， 是人們能控制或能觀察的，而y還受到隨機因素的干擾，可以合理 地假設(shè)這種干擾服從零均值的正態(tài)分布，于是模型記作y 01 x1mxm2 N(0, 2)其中 未知。現(xiàn)得到n個獨立觀測數(shù)據(jù)(yi,Xii, ,Xim), i 1, ,n,n m,

6、 由上式得yi01Xi1m ximi2i N(0, 2), i 1, ,n記表為1 x11X1 xn 1x1 mxnmy1YynmTY X_2N(0, 2)參數(shù)估計 用最小二乘法估計模型中的參數(shù) 由這組數(shù)據(jù)的誤差平方和為nQ( )i2 (Y X )T(Y X )i 1求 使Q()最小，得到 的最小二乘估計，記作?,可以推出T 1 T(X X) X Y將？代回原模型得到y(tǒng)的估計值y? 0 1 x1, mxm而這組數(shù)據(jù)的擬合值為Y? X?,擬合誤差e Y W稱為殘差，可作為 隨機誤差的估計，而nn_2_ 2Q ei(yi ?i)i 1i 1為殘差平方和(或剩余平方和)，即 Q( ?)(3統(tǒng)計分析不

7、加證明地給出以下結(jié)果：(i) .是 的線性無偏最小方差估計。指的是 .是Y的線性函數(shù);的期望等于；在的線性無偏估計中，.的方差最小(ii ),服從正態(tài)分布2 T 1N( ,(XX)2(iii )對殘差平方和Q, EQ (n m 1)，且2(n m 1)由此得到2的無偏估計?2S2是剩余方差(殘差的方差)，S稱為剩余標(biāo)準(zhǔn)差n(iv)對Y的樣本方差S(yi y)2進行分解，有i 1nS Q U, U(?i y)2i 1其中Q殘差平方和，反映隨機誤差對y的影響，U稱為回歸平方和,反映自變量對y的影響 ©回歸模型的假設(shè)檢驗 因變量y與自變量X, ,xm之間是否存在如模型所示的線性關(guān)系是需要檢驗的，顯然，如果所有的|?j| (j 1, ,m)都很小，y與為，,xm的線性關(guān)系就不明顯，所以可令原假設(shè)為H。： j 0(j1, ,m)當(dāng)H0成立時由分解式定義的U,Q滿足U / mF F (m,n m 1)Q/(n m 1)在顯著性水平F F1 (m, n m下有1分位數(shù)Fi (m，n m 1),若1),接受H0 ；否則，拒絕。三：分析與總結(jié)最小二乘法是基于既定模型對未知參數(shù)的一種估計方法，以函 數(shù)殘差和最小的條件對未知參數(shù)進行估計?；貧w分析包括：建立帶有參數(shù)的函數(shù)模型（即經(jīng)驗公式），通 過最小二乘法