平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用

1、平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用一.極化恒等式的由來定理：平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍證法 1 （向量法）設(shè) AB=a,AD =b.則 AC = a b,DB = a-b.AC證法推論+ DB22C|2AC+DB=2 AB +AD2即證法3 （余弦定理）（解析法）2=(a+b2+(a_bf =2a2+ib由AC2+ DB=2 AB + AD知，2AO+ 2OBA2二 2222AB+AD= 2.iAO+OBI2推論a "4_a 二2極化恒等式.h L 2 AB AD = AO -OB推論3:在ABC中，O是邊BC的中點，則|A02 |0B2 帖亦即向量數(shù)量積的第二幾何

2、意義 二.平行四邊形的一個重要結(jié)論平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍AB AC 二;IBC22 2AC+DB=2AB+AD222三.三角形中線的一個性質(zhì)：極化恒等式的幾何意義AB + AC+推論1:AO2AB2+ACJ-OB22 V)2T22、12推論2:AOAB+ACf BC2l)4【應(yīng)用】已知點 P是直角三角形 ABC斜邊AB上中線CD的中點，則OB2 2PA +|PB2 _ _PC四三角形“四心”的向量形態(tài)1. O是平面上一定點，A, B,C是平面上不同的三點，動點 P滿足OP = OA A. 外心AB AC網(wǎng) IACIJB. 內(nèi)心-0, ：，則動點P的軌跡一定通過. A

3、BC的C. 重心D.垂心2. O是平面上一定點，A, B,C是平面上不同的三點，動點P滿足OP = OA /AB+ ACABs inBACsi nC則動點P的軌跡一定通過ABC的-A.夕卜心B. 內(nèi)心 C. 重心D.垂心3. O是平面上一定點，A, B,C是平面上不同的三點，動點P滿足OP =OA ，ABAB cosBACACcosC重心 D.垂心則動點P的軌跡一定通過ABC的-A.外心 B. 內(nèi)心 C.4. P 是 ABC 所在平面上一點，若 PA PB 二 PB PC 二 PC PA，P 是 ABC 的-A.外心B. 內(nèi)心C. 重心D. 垂心 ABC2 2 2 2 2 25. O是 ABC

4、所在平面內(nèi)的一點， 滿足AB OC = AC OB = BC OA，則點0是 ABC的（） A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D.垂心五.典型案例分析問題1在 ABC中，M是BC的中點，AM =3, BC =10，則ABAC二【變式】已知正方形 ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，貝U DE DA =問題2已知正三角形 ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點P是圓O上的一個動點，則PA PB的取值范圍是2 2【變式】（2010福建文11題）若點0和點F分別為橢圓 匚=1的中心和左焦點，點 P43為橢圓上的任意一點，貝U OP *FP的最大值為（）A. 2 B. 3C. 6D. 81問題3 （ 2

5、013浙江理7）在：ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0BAB，且對于邊4AB 上任一點 P，恒有 PB PC _ P0B F0C，貝UjiA. ABC =2jiB. . BAC =-2C. AB 二 AC D.AC 二 BC【變式】（2008浙江理9題）已知a,b是平面內(nèi)的兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足ac bc =0,則的最大值是A. 1B. 2C.,2問題3已知直線AB與拋物線y2 =4x交于點A, B，點M為AB的中點，C為拋物線上一個動點，若Co滿足C0AC0B=minCACB則下列一定成立的是（）【B】A. C°M _ AB B.C°M _丨，其中是拋

6、物線過點的切線C.C0A_C0B D.C0M =AB （ 2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第5題）問題4在正三角形 ABC中，D是BC上的點，AB=3, BD=1,則ABAD=-15（2011年上海第11題）【問題 5 在. ABC 中，AB=2, AC =3, D 是 BC 的中點，貝U AD BC 二一一.5（2007年天津文科第15題）【5】2問題6正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2 , MN是它內(nèi)切球的一條弦 （把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦最長時，PMPN的最大值為.（2013年浙江省湖州市高三數(shù)學(xué)二模）【2】.問題7點P是棱長為1的正

7、方體ABCD - A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則PA *PC的取值范圍是 （2013年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學(xué)二模）【丄,1】._2問題8 如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知 AB =8，AD =5，CP 二 3PD，則 AP *B2. AB *AD 的值為-.（2014 年高考江蘇 卷第12題）【22】問題9如圖，在半徑為1的扇形AOB中，/ AOB =60°,C為弧上的動點，1AB與0C交于點P，則OPBP = 2最小值為 【一】2X2 y2問題10已知M x°,y°是雙曲線2二1上的一點，F(xiàn)F2是Ca bA.B.C.242D.的兩個焦點，若 MF_!MF2 : 0，則yo的取值范圍是（）6 6 /【橢圓與雙曲線焦點三角形的幾個結(jié)論】:2 2在橢圓C：篤與=1a b 0中，設(shè).RMF2 - V，則b22b tan2ca bMF129| .S abc =b tan ， y2 口2cos 22 2在雙曲線c:篤-與=1a 0,b0，設(shè).FMF2 7，則a bMh| *MfZ.2 u sin 2S .ABCb2b2 cot噸，y課外探究1.已知點P是橢圓2 2x y1上任意一點,16 8EF 是圓 M : x2 + (y - 2 f = 1