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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題15 角含半角模型破題策略1 等腰直角三角形角含半角如圖,在ABC中,ABAC,BAC90°,點(diǎn)D,E在BC上且DAE45°(1) BAEADECDA (2)BD2CE2DE2 證明(1)易得ADCBBADEAB,所以BAEADECDA (2)方法一(旋轉(zhuǎn)法):如圖1,將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACF,連結(jié)EF 則EAFEAD45°,AFAD,所以ADEFAE ( SAS ) 所以DE EF 而CFBD,F(xiàn)CEFCAACE90°,所以BD2 CE2CF2CE
2、2EF2DE2 方法二(翻折法):如圖2,作點(diǎn)B 關(guān)于AD 的對稱點(diǎn)F,連結(jié)AF,DF,EF 因?yàn)锽ADEACDAFEAF,又因?yàn)锽ADDAF,則FAECAE,AFABAC,所以FAECAE(SAS) 所以EF EC 而DFBD, DFEAFD AFE90°,所以BD2 EC2 FD2 EF2 DE2 【拓展】如圖,在 ABC 中,ABAC,BAC90°,點(diǎn)D 在BC 上,點(diǎn)E 在BC 的延長線上,且DAE45°,則BD2CE
3、2DE2 可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來證明,如圖: 將等腰直角三角形變成任意的等腰三角形:如圖,在ABC中,ABAC,點(diǎn)D,E在BC上,且DAEBAC,則以BD,DE,EC為三邊長的三角形有一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°BAC 可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法將BD,DE,EC轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中,如圖: 2 正方形角含半角如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,EAF45°,連結(jié)EF,則: (1)EFBEDF;(2)如圖2,過點(diǎn)A作AGEF于點(diǎn)G,則AGAD;(3)如圖3,連結(jié)BD交AE于點(diǎn)H,連結(jié)FH 則FHAE (1)如圖4,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到
4、ADI證明 則IAFEAF45°,AIAE,所以AEFAIF(SAS),所以EFIFDIDFBEDF (2)因?yàn)锳EFAIF,AGEF,ADIF,所以AGAD (3)由HAFHDF45°可得A,D,F(xiàn),H 四點(diǎn)共圓,從而AHF180°ADF90°,即FHAE 【拓展】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊CB,DC 的延長線上,EAF45°,連結(jié)EF,則EFDFBE 可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖: 如圖,在一組鄰邊相等、對角互補(bǔ)的四邊形ABCD 中,AB=AD,BAD+C=180 °,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC、CD
5、上,EAF=BAD,連結(jié)EF,則EF=BE+DF.可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖:例題講解例1 如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,EAF45°.(1) 試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.(2) 如圖2,在四邊形ABCD中,BAD90°,ABADBD180°,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,則當(dāng)EAF 與BAD 滿足關(guān)系時(shí),仍有EFBEFD. (3)如圖3在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知ABAD 80m,B60°,ADC120°,BAD150°,道路BC,CD上分別有景點(diǎn) E,F(xiàn),且AEADD
6、F40(1)m現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直的道路,求這條道路EF的長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):1.41,1.73)解: (1)由“正方形內(nèi)含半角模型”可得EFBEFD(2)BAD2EAF,理由如下:如圖4,延長CD至點(diǎn)G,使得DGBE連結(jié)AG.易證ABEADG(SAS).所以AEAG, 即EFBEDFDGDFGF. 從而證得AEFAGF( SSS)所以EAFGAFEAGBAD. (3)如圖5,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1 50°至ADG連結(jié)AF由題意可得BAE60°所以ABE 和ADG均為等腰直角三角形.過點(diǎn)A作 AHDG于點(diǎn)H則DHAD40m,AH AD40 m.而DF40(1
7、)m.所以EAFGAF45°.可得EAFGAF(SAS) 所以EF GF80m+40(l)m109. 2m. 例2如圖,正方形ABCD的邊長為a,BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角,且滿足MA N45°連結(jié)MC、NC、MN (1)與ABM相似的三角形是,BMDN(用含有a的代數(shù)式表示); (2)求MCN的度數(shù); (3)請你猜想線段BM、DN和MN之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解:(1)NDA,. (2)由(1)可得,所以易證CBMNDC45°,所以BCMDNC則BCMDNC,所以MCN =360°一BCD一BCM一DCN 270° (DNC+
8、DCN) 270°(180°DNC) 135°(3) ,證明如下:如圖,將ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABE,連結(jié)EM. 易得AEAN. MAEMAN45°,EBM90°, 所以A MEAMN.(SAS). 則MEMN 在RtBME中, 所以. 倒3 如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,BCD90°,ABBCAD,DAC45°,E為CD上一點(diǎn),且BAE45°.若CD4,求ABE的面積.解:如圖1過點(diǎn)A作CB的垂線,交CB的延長線于點(diǎn)F.由DAC=45°,ADC90°,可得ADCD
9、.所以四邊形ADCF為正方形.從而AF FC4令BCm,則AB4m,BF4m在RtAFB中,有16(4m)2一(4m)2所以AB5,BF3如圖2將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AFG.易證AGHAEB令DEn,則CE4 n,BEBG3n在RtBCE中,有1+(4n)2(3n)2,解得n.所以BG.從而.進(jìn)階訓(xùn)練 1.如圖,等邊ABC的邊長為1,D是ABC外一點(diǎn)且BDC120°,BDCD,MDN 60°,求AMN的周長 AMN的周長是2【提示】如圖,延長AC至點(diǎn)E,使得CE BM,連結(jié)DE .先證BMDCED,再證MDNEDN即可.2如圖,在正方形ABCD中,連結(jié)BD,E、F是邊BC,CD上的點(diǎn),CEF的周長是正方形ABCD周長的一半,AE、AF分別與BD交于M、N,試判斷線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明解:BM2DN2MN2【提示】由CEF周長是正方形ABCD周長的一半,想到“正方形角含半角”,從而旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助線解決問題(如圖1),證AEFAGF,得MANBAD4,然后,再由“等腰直角三角形含半角”(如圖2)即可證得3如圖,在ABC中,ACB90°,點(diǎn)D在邊AB上,DEBC于點(diǎn)E,且DEBC,點(diǎn)F在邊AC上,連結(jié)BF交DE于點(diǎn)G,若DBF45°,
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