高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.4三角形四心和奔馳定理(精講)(原卷版+解析)

5.4三角形四心和奔馳定理【題型解讀】【知識必備】一、三角形的“重心”1、重心的定義：中線的交點，重心將中線長度分成2:1三角形中線向量式：AM2、重心的性質(zhì)：（1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。（2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。（3）在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即xA3、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP二、三角形的“垂心”1、垂心的定義：高的交點。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：1、OA2、OA3、動點P滿足OP=OA+λABABcosB+AC4、奔馳定理推論：S?BOC:S?COA三、三角形的“內(nèi)心”1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)。2、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，（2）AP=λABAB+AC四、三角形的“外心”1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，1、OA2、OA3、動點P滿足OP=OB+則動點P的軌跡一定通過?ABC的外心.4、若OA+OB?AB=OB+五、奔馳定理：O是內(nèi)的一點，且x?OA+y?則S證明過程：已知O是內(nèi)的一點，?BOC，?COA，?AOB的面積分別為SA，SB，S求證：SA延長OA與BC邊相交于點D，則BDDCOD=∵ODOA=∴OD=?∴?S所以SA奔馳定理推論：x?OA=1\*GB3①S?BOC:S=2\*GB3②S?BOCS?ABC=xx+y+z，S【題型精講】【題型一三角形的重心】必備技巧三角形的重心三角形的重心一定在三角形的中線上，所以，在等式中顯示出的現(xiàn)象是兩個相加的向量，前面的系數(shù)相同，還需注意兩個系數(shù)相同的向量相加的同時還會產(chǎn)生中點．例1(2023·河南高三月考）已知的三個內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點，動點滿足則動點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心例2(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測）已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標(biāo)原點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，則點P的軌跡一定經(jīng)過()A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB邊的中點【跟蹤精練】1.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測）已知點P是的重心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．2.(2023·云南玉溪·高三月考）是平面上一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，且，則點的軌跡一定通過的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【題型二三角形的內(nèi)心】例3(2023·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心例4(2023·福建泉州·模擬預(yù)測）為所在平面內(nèi)一點，，，為的角，若，則點為的()A．垂心B．外心C．內(nèi)心D．重心【跟蹤精練】1.(2023·全國·高三課時練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心2.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）在中，，，，則直線通過的A．垂心B．外心C．內(nèi)心D．重心【題型三三角形外心】方法技巧外心結(jié)論外心定理：垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等．（1），；；（2），，；（3），，．例5(2023·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心例6(2023·山東日照市·高三二模）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，點O為△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))【題型精練】1．(2023·河北武強中學(xué)高三月考）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.2.(2023·全國福建省漳州市高三期末)在△ABC中，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心【題型四三角形的垂心】例7(2023·全國·高三專題練習(xí)）若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心例8(2023·海南?？凇ざ＃┮阎狾是平面上的一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心【題型精練】1.(2023?南通期末）已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則O一定為△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心2.(2023?濟(jì)南期末）下列敘述正確的是________．①為的重心．②為的垂心．③為的外心．④為的內(nèi)心．【題型五奔馳定理】例9(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．例10(2023·海南海口·二模）已知D為△ABC的邊AB的中點，M在DC上滿足5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，則△ABM與△ABC的面積比為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)【題型精練】1.(2023?南通期末）已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,30)B．eq\f(1,31)C．eq\f(1,32)D．eq\f(1,33)2.(2023?濟(jì)南期末）已知是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．5.4三角形四心和奔馳定理【題型解讀】【知識必備】一、三角形的“重心”1、重心的定義：中線的交點，重心將中線長度分成2:1三角形中線向量式：AM2、重心的性質(zhì)：（1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。（2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。（3）在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即xA3、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP二、三角形的“垂心”1、垂心的定義：高的交點。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：1、OA2、OA3、動點P滿足OP=OA+λABABcosB+AC4、奔馳定理推論：S?BOC:S三、三角形的“內(nèi)心”1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)。2、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，（2）AP=λABAB+AC四、三角形的“外心”1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，1、OA2、OA3、動點P滿足OP=OB+則動點P的軌跡一定通過?ABC的外心.4、若OA+OB?AB=OB五、奔馳定理：O是內(nèi)的一點，且x?OA+y?則S證明過程：已知O是內(nèi)的一點，?BOC，?COA，?AOB的面積分別為SA，SB，S求證：SA延長OA與BC邊相交于點D，則BDDCOD=∵ODOA=∴OD=?∴?S所以SA奔馳定理推論：x?OA=1\*GB3①S?BOC:S=2\*GB3②S?BOCS?ABC=xx+y+z，S【題型精講】【題型一三角形的重心】必備技巧三角形的重心三角形的重心一定在三角形的中線上，所以，在等式中顯示出的現(xiàn)象是兩個相加的向量，前面的系數(shù)相同，還需注意兩個系數(shù)相同的向量相加的同時還會產(chǎn)生中點．例1(2023·河南高三月考）已知的三個內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點，動點滿足則動點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心答案：A【解析】在中，令線段的中點為，由正弦定理，得，由，得即，而，則，于是得與同向共線，而它們有公共起點，即動點的軌跡是射線除點A外),又重心在線段上，動點的軌跡一定經(jīng)過的重心．故選：A.例2(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測）已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標(biāo)原點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，則點P的軌跡一定經(jīng)過()A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB邊的中點答案：C【解析】取AB的中點D，則2eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[2(1－λ)eq\o(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]＝eq\f(2(1－λ),3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1＋2λ,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，而eq\f(2(1－λ),3)＋eq\f(1＋2λ,3)＝1，∴P，C，D三點共線，∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【跟蹤精練】1.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測）已知點P是的重心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．答案：D【解析】如圖，是邊中點，則共線且，，所以，D正確，由于選項ABC均不能保證系數(shù)相等，故不正確．故選：D．2.(2023·云南玉溪·高三月考）是平面上一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，且，則點的軌跡一定通過的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心答案：C【解析】，，【題型二三角形的內(nèi)心】例3(2023·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心答案：B【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向為∠BAC的平分線的方向.又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向與的方向相同.而＝＋λ，所以點P在上移動，所以點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.故選：.例4(2023·福建泉州·模擬預(yù)測）為所在平面內(nèi)一點，，，為的角，若，則點為的()A．垂心B．外心C．內(nèi)心D．重心答案：C【解析】由正弦定理得，即，由上式可得，所以，所以與的平分線共線，即在的平分線上，同理可證，也在，的平分線上，故是的內(nèi)心．【跟蹤精練】1.(2023·全國·高三課時練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心答案：C【解析】，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當(dāng)時，即，點在的角平分線上；，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當(dāng)時，即，點在的角平分線上；，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當(dāng)時，即，點在的角平分線上，故是的內(nèi)心.故選：C.2.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）在中，，，，則直線通過的A．垂心B．外心C．內(nèi)心D．重心答案：C【解析】，，，．即，設(shè)，，則，．由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為菱形．為菱形的對角線，平分．直線通過的內(nèi)心．故選C．【題型三三角形外心】方法技巧外心結(jié)論外心定理：垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等．（1），；；（2），，；（3），，．例5(2023·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心答案：B【解析】設(shè)的中點為，因為，所以，即，兩端同時點乘，所以，所以，所以點在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心.故選：B.例6(2023·山東日照市·高三二模）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，點O為△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))答案：A【解析】取AB的中點M和AC的中點N，連接OM，ON，則eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))－xeq\o(AB,\s\up6(→))．由eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))2－yeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，①，由eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))2－xeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，②，又因為eq\o(BC,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(AB,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,2)＝－eq\f(1,2)，③，把③代入①、②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x＋y＝0，,4＋x－8y＝0，))解得x＝eq\f(4,5)，y＝eq\f(3,5)．故實數(shù)對(x，y)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))．【題型精練】1．(2023·河北武強中學(xué)高三月考）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.答案：【解析】設(shè)外接圓的半徑為，因為，所以，所以，且，取的中點，連接，則，因為，所以，即，所以，在中由余弦定理可得：，在中，由正弦定理可得：，故答案為：.2.(2023·全國福建省漳州市高三期末)在△ABC中，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心答案：C【解析】設(shè)BC邊中點為D，∵eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(MD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即MD⊥BC，∴MD為BC的垂直平分線，∴動點M的軌跡必經(jīng)過△ABC的外心，故選C．【題型四三角形的垂心】例7(2023·全國·高三專題練習(xí)）若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心答案：D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.例8(2023·海南?？凇ざ＃┮阎狾是平面上的一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心答案：B【解析】因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點P在BC的高線上，即動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心．【題型精練】1.(2023?南通期末）已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則O一定為△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心答案：C【解析】由得：，即，故，故，，又，，，即，同理，即，所以是的垂心．故選：C.2.(2023?濟(jì)南期末）下列敘述正確的是________．①為的重心．②為的垂心．③為的外心．④為的內(nèi)心．答案：①②【解析】①為的重心，①正確；②由，同理，，②正確；③．，與角的平分線平行，必然落在角的角平分線上，③錯誤；④為的外心，④錯誤．正確的敘述是①②．故答案為：①②．【題型五奔馳定理】例9(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．答案：ABCD【解析】因為，所以，即，所以，又由奔馳定理得，因為不共線，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點，如圖，由