第4章 根軌跡法

1、教學(xué)目的教學(xué)目的：掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能：掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能教學(xué)重點教學(xué)重點：根軌跡的繪制和利用根軌跡分析系統(tǒng)：根軌跡的繪制和利用根軌跡分析系統(tǒng) 性能性能教學(xué)難點教學(xué)難點：根軌跡的繪制：根軌跡的繪制本章授課學(xué)時本章授課學(xué)時：8 8第第4章章 根軌跡法根軌跡法本本 章章 研研 究究 內(nèi)內(nèi) 容容第第4章章 根軌跡法根軌跡法第第4章章 根軌跡法根軌跡法根軌跡概念根軌跡概念: 系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)中某一參數(shù)從零變到無窮大從零變到無窮大時，時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在閉環(huán)系統(tǒng)特征根在 s 平面上變化的軌跡平面上變化的軌跡。穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能暫態(tài)性能暫態(tài)性能閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根

2、(極點極點)的位置的位置 穩(wěn)定性穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的位置閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的位置 輸入信號輸入信號根軌跡法：根軌跡法： 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。（圖解法）（圖解法） njjmiiksTsTKsW11)1()1()(已知已知: 一單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：一單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)2s ( sK2) 1s5 . 0( sK) s (Wk閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：K2s2sK2) s (W2B閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：0222KssK211s1閉環(huán)系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點）為：閉環(huán)系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點）為：K21

3、1s2，) 1s5 . 0( sK研究開環(huán)放大系數(shù)研究開環(huán)放大系數(shù)K與閉環(huán)特征根與閉環(huán)特征根s1、s2之間的關(guān)系之間的關(guān)系 Xr(s) Xc(s) 第第4章章 根軌跡法根軌跡法K s1 s20 0 -20.5 -1 -1 -1+j1 -1-j12 1 -1+j -1-j 3j13j1 K=1K=1K=2K=2K=0K=0K=0.5-1 j -203j3jj1-j1第第4章章 根軌跡法根軌跡法開環(huán)放大系數(shù)開環(huán)放大系數(shù)K改變改變改變閉環(huán)特征根的位置改變閉環(huán)特征根的位置改變系統(tǒng)性能改變系統(tǒng)性能K211s1K211s2閉環(huán)反饋系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)：閉環(huán)反饋系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)：開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù):) s (

4、D) s (D) s (N) s (NKK) s (W212121k) s (D) s (NK)ps ()zs (Kgn1jjm1iig 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為： 0)()(1)(1sDsNKsWgk) s (D) s (NK111) s (D) s (NK222Xr(s) Xc(s)-zi 開環(huán)有限零點開環(huán)有限零點 -pj開環(huán)極點開環(huán)極點Kg根軌跡放大系數(shù)根軌跡放大系數(shù)考察閉環(huán)特征方程與開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系考察閉環(huán)特征方程與開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系根軌跡的作用：根軌跡的作用： 1、根據(jù)、根據(jù)Kg 確定閉環(huán)特征根的位置，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；確定閉環(huán)特征根的位置，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性； 2、再考慮

5、系統(tǒng)的閉環(huán)零點，確定系統(tǒng)的暫態(tài)性能；、再考慮系統(tǒng)的閉環(huán)零點，確定系統(tǒng)的暫態(tài)性能； 3、根據(jù)對系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)的要求，合理安排零、根據(jù)對系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)的要求，合理安排零、 極點的位置，設(shè)計或校正控制系統(tǒng)。極點的位置，設(shè)計或校正控制系統(tǒng)。繪制根軌跡時，實質(zhì)上就是當(dāng)某一參數(shù)繪制根軌跡時，實質(zhì)上就是當(dāng)某一參數(shù)（如（如Kg）變化時，尋求閉環(huán)特征方程式解變化時，尋求閉環(huán)特征方程式解s的變化軌跡。的變化軌跡。第第4章章 根軌跡法根軌跡法4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：01) s (D) s (NKggn1jjm1iiK1)ps ()zs () s

6、 (D) s (N令令 s= +j gnjjmiiKsDsNsDsNpszssDsN1)()()()()()()()(11復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)01)(sWk4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念)21 (180)()()()()()(1111njjmiinjjmiipszssDsNsDsN（ =0，1，2，）式中式中 i 開環(huán)有限零點開環(huán)有限零點-zi到到s的矢量輻角的矢量輻角 j 開環(huán)極點開環(huán)極點-pj到到s的矢量輻角的矢量輻角gKss1的矢量長度之積開環(huán)極點到的矢量長度之積開環(huán)有限零點到njjmiinjjmiiLlpszssDsN1111)()()()(注意：測量幅角時，規(guī)定以逆時針方向為正注意

7、：測量幅角時，規(guī)定以逆時針方向為正 幅值：幅值：幅值條件幅值條件：幅角：幅角：幅角條件幅角條件： j 1 2 3 2sL1 L3 L2 l2 - p3- p2- p1- z1l1 1)21 (180-32121）（）（幅角條件：gKLLLll132121幅值條件：滿足幅值條件和幅角條件的滿足幅值條件和幅角條件的s s值，就是閉環(huán)特值，就是閉環(huán)特征方程的根，這些根所描述的曲線就是根軌跡征方程的根，這些根所描述的曲線就是根軌跡幅值條件幅值條件 求求Kg例例 4-1 已知：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1)(1() 1()(211sTsTssKsWkk求：閉環(huán)特征根求：閉環(huán)特征根

8、 s=s0 時的放大系數(shù)時的放大系數(shù)Kk0 。4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念Kk 開環(huán)放大系數(shù)；開環(huán)放大系數(shù)；- z1=-1/ 1 開環(huán)有限零點；開環(huán)有限零點；-p0 =0，-p1=-1/ T1 -p2=-1/ T2 121zppKKkg其中其中 根軌跡放大系數(shù)；根軌跡放大系數(shù)；兩者區(qū)別兩者區(qū)別兩者區(qū)別兩者區(qū)別解：解： 開環(huán)極點開環(huán)極點4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念)()() 1)(1() 1()(211211pspsszsKsTsTssKsWgkk 1 1 3 2L3 L1 L2 l1 - p2- p1- p0- z1 j s0幅角條件：幅角條件： 1-( 1+

9、2+ 3)= 180 (1+2 ) 幅值條件：幅值條件：13210lLLLKg由于由于 ，所以，所以 121zppKKkg211132121100ppzlLLLppzKKgk開環(huán)放大系數(shù)為：開環(huán)放大系數(shù)為：同時滿足同時滿足s點必滿足幅值條件和幅角條件：點必滿足幅值條件和幅角條件：4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法4.2.1 繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡應(yīng)確定以下幾個方面的內(nèi)容：繪制根軌跡應(yīng)確定以下幾個方面的內(nèi)容： (9項項) 起點起點、終點終點、根軌跡數(shù)根軌跡數(shù)、實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡、分離點和匯合定分離點和匯合定、

10、根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線、根軌跡的出射根軌跡的出射角和入射角角和入射角、根軌跡和虛軸的交點根軌跡和虛軸的交點、根軌跡的走向根軌跡的走向。4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法注意：實際繪制根軌跡時應(yīng)根據(jù)具體情注意：實際繪制根軌跡時應(yīng)根據(jù)具體情 況有選擇性地考慮以上況有選擇性地考慮以上9 9項內(nèi)容。項內(nèi)容。 gn1jjm1iiK1)ps ()zs () s (D) s (N0)zs (K)ps (m1iign1jj當(dāng)當(dāng) Kg=0 時，有時，有0)ps () s (Dn1jj 根軌跡的始點根軌跡的始點系統(tǒng)的開環(huán)極點系統(tǒng)的開環(huán)極點 閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：開環(huán)極點開環(huán)極點 1、起點、起點0

11、1)()(1)(sDsNKsWgk4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法（Kg=0）系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)根軌跡數(shù)根軌跡數(shù)2、終點、終點0)zs ()ps (K1m1iin1jjggn1jjm1iiK1)ps ()zs () s (D) s (N當(dāng)當(dāng) Kg= 時，有時，有0)zs () s (Nm1ii根軌跡的終點根軌跡的終點系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)有限零點有限零點開環(huán)零點開環(huán)零點 4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法（Kg=）有有m條根軌跡終止于開環(huán)有限零點；條根軌跡終止于開環(huán)有限零點；另外另外(n-m)條根軌跡終止于無限遠(yuǎn)處條根軌跡終止于無限遠(yuǎn)處(無限零點無限零點) 3、根軌跡

12、數(shù)和它的對稱性、根軌跡數(shù)和它的對稱性4、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡設(shè)設(shè) Nz實軸上根軌跡右側(cè)開環(huán)有限零點的數(shù)目實軸上根軌跡右側(cè)開環(huán)有限零點的數(shù)目 Np實軸上根軌跡右側(cè)開環(huán)極點的數(shù)目實軸上根軌跡右側(cè)開環(huán)極點的數(shù)目 實軸上某段有根軌跡的條件：實軸上某段有根軌跡的條件： 右側(cè)，右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目的總和為奇數(shù)開環(huán)零、極點數(shù)目的總和為奇數(shù)根軌跡數(shù)根軌跡數(shù) 開環(huán)極點數(shù)開環(huán)極點數(shù)n根軌跡根軌跡 對稱于實軸對稱于實軸4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法Nz + Np =1+2 ( =1,2,3) A B CNz + Np =3Nz + Np =5Nz + Np =14.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的

13、繪制方法 j 5、分離點和會合點、分離點和會合點 分離點分離點會合點會合點 b a s2 -z1 -p1 s1 -p2 0) s (D) s (N) s (N) s (D)()()(sDsNKsWgk分離點、會合點的位置：分離點、會合點的位置：注意：分離點、會合點一定在實軸上注意：分離點、會合點一定在實軸上)ps)(ps ()zs (K) s (D) s (NK) s (W211ggk式中，式中，Kg 0, z1 p1 p2 0，求分離點和會合點。，求分離點和會合點。例例 4-2 已知已知 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為解：解： N(s)=s+z1 ， D(s)=(s+p1)(s+p2) ) s

14、 (D) s (N) s (N) s (D0)ps)(ps ()zs)(pps2(21121)pz)(pz (zs211111)pz)(pz (zs211112 -z1 -p1 p2 j 分離點分離點會合點會合點得：得： 4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法s1 s26、 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線漸近線的傾角漸近線的傾角 漸近線的交點漸近線的交點 漸近線的傾角漸近線的傾角設(shè)在無窮遠(yuǎn)處有特征根設(shè)在無窮遠(yuǎn)處有特征根sk ，則，則s平面上所有開環(huán)有限零點平面上所有開環(huán)有限零點-zi和極點和極點-pj到到sk的矢量輻角都相等，即：的矢量輻角都相等，即： i= j= 代入幅角條件，得：代入幅角條

15、件，得：)21 (180nmn1jjm1ii漸近線的傾角為：漸近線的傾角為：mn)21 (180( =0,1,2,)漸近線包括漸近線包括 兩方面內(nèi)容兩方面內(nèi)容有獨立的有獨立的(n-m)條條 漸近線的交點漸近線的交點設(shè)無限遠(yuǎn)處有特征根設(shè)無限遠(yuǎn)處有特征根sk ，則，則s平面上所有開環(huán)有限零平面上所有開環(huán)有限零點點-zi和極點和極點-pj到到 sk的矢量長度都相等?？烧J(rèn)為對于的矢量長度都相等?？烧J(rèn)為對于sk來說，所有開環(huán)零點和極點都匯集在一起，設(shè)位置來說，所有開環(huán)零點和極點都匯集在一起，設(shè)位置為為- - k k此即為漸近線交點。求此交點坐標(biāo)此即為漸近線交點。求此交點坐標(biāo)- - k k ：gnjnjj

16、njnmimiimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111由幅值條件：由幅值條件：4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法令上式中令上式中sn-m-1 項的系數(shù)相等，即：項的系數(shù)相等，即：n1jm1iijkzp)mn(漸近線交點為：漸近線交點為：mnzpn1jm1iijkgn1j1mnm1iijmnn1jjm1iimnkK1s )zp(s1)ps ()zs ()s (1當(dāng)當(dāng) s=sk= ，則，則 zi=pj= k k ，上式化簡為：，上式化簡為：njjmiigkpszsKsW11)()()(試計算漸近線傾角和交點，即確定漸近線的位置。試計算漸近線傾角

17、和交點，即確定漸近線的位置。解：解：)4s)(1s ( sK) s (Wgk180,60,6003)21 (180漸近線交點為：漸近線交點為：mnzpn1jm1iijk35030410 180 60 -60 j 漸近線漸近線- k=-5/3 漸近線漸近線漸近線漸近線例例 4-3 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：漸近線傾角為：漸近線傾角為：m=0，n=3，故有，故有3條漸近線條漸近線1n1jm1iijsc180njmiijsr111180入射角：入射角： i 除被測終點外，其他開環(huán)有限零點到該點的矢量輻角除被測終點外，其他開環(huán)有限零點到該點的矢量輻角 j 開環(huán)極點到被測終點的矢量輻角開環(huán)極點

18、到被測終點的矢量輻角 i 開環(huán)有限零點到被測起點的矢量輻角；開環(huán)有限零點到被測起點的矢量輻角； j 除被測起點外，其他所有開環(huán)極點到該點的矢量輻角除被測起點外，其他所有開環(huán)極點到該點的矢量輻角出射角：出射角：7、根軌跡的出射角和入射角、根軌跡的出射角和入射角 復(fù)數(shù)極點復(fù)數(shù)極點根軌跡的出射角根軌跡的出射角復(fù)數(shù)零點復(fù)數(shù)零點根軌跡的入射角根軌跡的入射角 p3=-1-j1 1 2 3 1141j11iijsc18045)906 .26135(1806 .26求極點求極點 p4 處的出射角：處的出射角： 例例 4-4 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試確定根軌跡的出射角。試確定根軌跡的出射角。

19、解：該系統(tǒng)的開環(huán)零點和開環(huán)極點分別為：解：該系統(tǒng)的開環(huán)零點和開環(huán)極點分別為： -z=-2，-p 1=0，-p 2=-3，-p3,4=-1 j對于極點對于極點 p3 和和 p4有出射角。有出射角。) 2s2s)(3s ( s) 2s (K) s (W2gk-p2=-3 -z=-2 -p1=0 p4=-1+j1 sc1n1jm1iijsc180p3處的出射角為：處的出射角為：141j11iijsc1806 .2645)906 .26135(1808、根軌跡和虛軸的交點、根軌跡和虛軸的交點 應(yīng)確定根軌跡與虛軸應(yīng)確定根軌跡與虛軸例例 4-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定根軌跡

20、與虛軸的交點，并計算臨界放大系數(shù)試確定根軌跡與虛軸的交點，并計算臨界放大系數(shù)Kl。) 1s5 . 0)(1s ( sK) s (Wkk交點坐標(biāo)值交點坐標(biāo)值臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù)Kl 值。值。 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為： F(s)=1+Wk(s)=0 F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0 方法一方法一：當(dāng)根軌跡與虛軸相交時：當(dāng)根軌跡與虛軸相交時 ，令，令 s=j ，Kk= Kl F(j )=2Kl- 3 2 + j(2 - 3)=0 即：即： 2Kl - 3 2 =0 2 - 3 =0 根軌跡與虛軸的交點坐標(biāo)為根軌跡與虛軸的交點坐標(biāo)為： 臨界放大系數(shù)為臨界放大系數(shù)為：Kl =

21、 32解得：解得： =0，2js解：解：)2s)(1s ( sK2) 1s5 . 0)(1s ( sK) s (WkkkKg方法二方法二： 利用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù)利用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù)Kl： 令令 s1 行為零，即行為零，即 2-2Kk/3 = 0，得：，得：Kk= Kl=3根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點： 由由 s2 行的輔助方程求得，即令行的輔助方程求得，即令 3s2 +2Kk =0， 得：得：2js由特征方程：由特征方程： F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0 勞斯行列表：勞斯行列表：s3 1 2 s2 3 2Kk s1 2-2

22、Kk/3 0 s0 2Kk 9、根軌跡的走向、根軌跡的走向若特征方程的階次若特征方程的階次 n-m2 j 2j2j-2-104.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 一些根軌跡右行時一些根軌跡右行時 另一些根軌跡必左行另一些根軌跡必左行 特征方程：特征方程：01) s (W1) s (D) s (NKkg 改寫為：改寫為：0)(111nnnnjjasasRsnjjRa11njjnRa1 各特征根之積各特征根之積4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法閉環(huán)特征根與特征方程系數(shù)的關(guān)系：閉環(huán)特征根與特征方程系數(shù)的關(guān)系： 各特征根之和各特征根之和線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 特征根之和等于特征方程中特征根之和等于

23、特征方程中sn-1 項系數(shù)項系數(shù) 特征根之積等于特征方程中常數(shù)項特征根之積等于特征方程中常數(shù)項 繪制根軌跡的法則：繪制根軌跡的法則：1、起點起點(Kg=0) 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)Wk(s)的極點即為根軌跡的起點。的極點即為根軌跡的起點。2、終點終點(Kg=) 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)Wk(s)的零點的零點(包括無限零點包括無限零點)即即為根軌跡的終點。為根軌跡的終點。3、根軌跡數(shù)目及對稱性根軌跡數(shù)目及對稱性 根軌跡數(shù)目與開環(huán)極點數(shù)根軌跡數(shù)目與開環(huán)極點數(shù)n相同相同; 根軌跡對稱于實軸根軌跡對稱于實軸.4、實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 實軸上根軌跡右側(cè)的零、極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)實軸上根軌跡右側(cè)

24、的零、極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)5、分離點與會合點分離點與會合點注意：注意： 求出求出s=- d后，應(yīng)把它代入特征方程計算后，應(yīng)把它代入特征方程計算Kd，只有只有Kd為正值，為正值， s=- d才是分離點或會合點。才是分離點或會合點。0) s (D) s (N) s (N) s (Dmn)21 (180漸近線的交點：漸近線的交點：mnzpn1jm1iijk6、根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線(有有n-m條漸近線條漸近線)漸近線的傾角：漸近線的傾角：4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法7 7、根軌跡的出射角和入射角。根軌跡的出射角和入射角。1n1jm1iijsc180出射角：出射角：n1j1m1iij

25、sr180入射角：入射角：8 8、根軌跡與虛軸的交點。（根軌跡與虛軸的交點。（按勞斯判據(jù)計算）按勞斯判據(jù)計算）9 9、根軌跡走向根軌跡走向 一些根軌跡向右行時，另一些根軌跡必向左行一些根軌跡向右行時，另一些根軌跡必向左行復(fù)數(shù)極點復(fù)數(shù)極點復(fù)數(shù)零點復(fù)數(shù)零點4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法4.2.2 自動控制系統(tǒng)的根軌跡自動控制系統(tǒng)的根軌跡1、二階系統(tǒng)、二階系統(tǒng))Ts1 ( sKkXr(s) Xc(s)解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：)/1()1 ()(TssKTssKsWgkk其中其中 T/KKkg試?yán)L制根軌跡。試?yán)L制根軌跡。4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法繪制根軌跡：繪制

26、根軌跡： 起點：起點：-p0=0, -p1=-1/T 終點：兩個開環(huán)無限零點終點：兩個開環(huán)無限零點 根軌跡數(shù)：有兩條根軌跡根軌跡數(shù)：有兩條根軌跡 實軸上根軌跡：在實軸上根軌跡：在0 -1/T之間必有根軌跡之間必有根軌跡 分離點分離點: 令令0T/1s2) s (D) s (N) s (N) s (DT21s則：則：4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法漸近線的交點：漸近線的交點：T21020T/10mnzpn1jm1iijk漸近線漸近線 j ( =0) 漸近線：有漸近線：有n-m=2條獨立的漸近線。條獨立的漸近線。902180mn)21 (180 -1/T -1/2T 0 漸近線的傾角：漸近

27、線的傾角： Kg=K 起點：起始于兩個開環(huán)極點起點：起始于兩個開環(huán)極點 -p0=0, -p1=-0.2 。 終點：終點： 終止于一個開環(huán)有限零點終止于一個開環(huán)有限零點 - z1=-a和一個無限零點和一個無限零點 實軸上根軌跡：實軸上根軌跡： 在在0 -0.2之間和之間和-a -之間有根軌跡之間有根軌跡2、開環(huán)具有零點的二階系、開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)統(tǒng)) 1s 5 ( s2 . 0) as (K) 2 . 0s ( s) as (K) 1s 5 ( s2 . 0) as (K) s (Wgk Xr(s) Xc(s)a0.24.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法) 2 . 0s ( s) as)

28、(2 . 0s2() s (D) s (N) s (N) s (Da2 . 0aas22, 10a2 . 0as2s2分離點和會合點：分離點和會合點： 根軌跡上的分離點和會合點：根軌跡上的分離點和會合點： 復(fù)平面上根軌跡復(fù)平面上根軌跡4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法設(shè)設(shè)s= +j ，代入上式，代入上式: 0180)2 . 0()(ssas(j4)(j )(j2)180oa2 . 0復(fù)平面上各點復(fù)平面上各點均滿足均滿足幅角條件幅角條件：arctanarctan180arctan42oarctanarctanarctan1xyxyxy利用反正切公式利用反正切公式: 兩邊取正切整理得兩邊取正

29、切整理得: a2 . 0a)a(222圓圓: 圓心為（圓心為（-a, 0)，半徑為，半徑為a2 . 0a2a2 . 024arctan180arctan21(4) o2 . 0aa s1 - a -0.2 0 s2會合點會合點分離點分離點開環(huán)系統(tǒng)中加入開環(huán)系統(tǒng)中加入 一個零點隨著一個零點隨著 Kg 的增大，根的增大，根軌跡向左偏移遠(yuǎn)離虛軸，使系統(tǒng)動態(tài)性能改善軌跡向左偏移遠(yuǎn)離虛軸，使系統(tǒng)動態(tài)性能改善4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 其中其中 Kg=4Kk 起點：三個開環(huán)極點起點：三個開環(huán)極點-p-p0 0=0, -p=0, -p1 1=-1=-1，-p-p2 2=-4 =-4 終點：終止

30、于三個開環(huán)無限零點，無限遠(yuǎn)終點：終止于三個開環(huán)無限零點，無限遠(yuǎn) 根軌跡數(shù)：三條根軌跡數(shù)：三條) 4s)(1s ( sK) 1s25. 0)(1s ( sK) s (Wgkk3、三階系統(tǒng)、三階系統(tǒng)) 1s25. 0)(1s ( sKkXr(s) Xc(s) 實軸上根軌跡：實軸上根軌跡： 在在0 0 -1-1和和-4 -4 -之間有根軌跡。之間有根軌跡。 分離點：分離點：04s10s3) s (D) s (N) s (N) s (D2s=-0.467， s=-2.87（省略）（省略） 漸近線：有漸近線：有n-m=3條漸近線。條漸近線。漸近線傾角：漸近線傾角：180,60,6003)21 (180m

31、n)21 (1804.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法漸近線交點：漸近線交點：35030410mnzpn1jm1iijk 根軌跡與虛軸交點：根軌跡與虛軸交點：特征方程：特征方程：勞斯行列表：勞斯行列表： s3 1 4 s2 5 Kg s1 (20- Kg)/5 0 s0 Kg0Ks4s 5sK) 4s)(1s ( sg23g=0=0Kg=20，Kk = Kg/4 =55s2 + Kg=5s2 + 20=0得：得：s= 2j二階系統(tǒng)中加入一個極點，隨著二階系統(tǒng)中加入一個極點，隨著Kg的增大，根的增大，根軌跡向右偏移并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定軌跡向右偏移并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定 j2-j

32、260 -60 -5/3-0.467-180 漸近線漸近線漸近線漸近線漸近線漸近線4、開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)、開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)) 1Ts(sT) 1s(K2iddXr(s) Xc(s)ps (s)zs (K)T/1s (TsT)/1s (K) 1Ts(sT) 1s(K) s (W121g2iddd2iddk其中其中 Kg=K/TiT ， -z1=-1/ d ，-p1=-1/T 。( d =4T)4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法90,9013)21 (180mn)21 (180ddn1jm1iijk1T12113/ 1T/ 100mnzp 起點：有三個開環(huán)極點起點：有三個開環(huán)極點-

33、p0=-p1=0， -p2=-1/T；三條；三條 終點：有一個有限零點終點：有一個有限零點-z1=-1/ d ，兩個無限零點。，兩個無限零點。 實軸上根軌跡：在實軸上實軸上根軌跡：在實軸上-1/T -1/ d之間有根軌跡。之間有根軌跡。 漸近線：有漸近線：有2條漸近線條漸近線繪制根軌跡繪制根軌跡)ps (s)zs (K)T/1s (TsT)/1s (K) 1Ts(sT) 1s(K) s (W121g2iddd2iddk做做 =1/2 的阻尼線，的阻尼線， 求此時特征根求此時特征根(3個個)6021cos，T43jT41R1T43jT41R2 設(shè)設(shè) d =4T漸近線漸近線 -1/T -1/ 4T

34、 0j 60 -R1 -R2 -R3d1T121 L1=L2Tj43L3l1求第求第3個特征根個特征根R3 ：由閉環(huán)特征方程：由閉環(huán)特征方程：0)ps (s)zs (K1) s (W1121gk0zKsKsps1gg213線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 特征根之和等于特征方程中特征根之和等于特征方程中sn-1 項系數(shù)項系數(shù) 特征根之積等于特征方程中常數(shù)項特征根之積等于特征方程中常數(shù)項T1pRT41T41RRR13321T21R3第二節(jié)第二節(jié) 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法此時根軌跡放大系數(shù)此時根軌跡放大系數(shù)Kg 21321gT21lLLLK系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K：T2TTTT21TTKKii2

35、ig由幅值條件：由幅值條件：4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法5、具有復(fù)數(shù)極點的四階系統(tǒng)、具有復(fù)數(shù)極點的四階系統(tǒng)) 1ss21)(1s31( s) 1s21(K2kXr(s) Xc(s) 2s2s)(3s ( s) 2s (K) 1ss21)(1s31( s) 1s21(K) s (W2g2kk Kg=3Kk 4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 起點：四個開環(huán)極點起點：四個開環(huán)極點 0，-3，-1 j1；有；有4條根軌跡條根軌跡 終點：一個開環(huán)有限零點終點：一個開環(huán)有限零點-2，3個無限零點。個無限零點。 實軸上根軌跡：在實軸上根軌跡：在0 -2和和-3 -之間有根軌跡。之間有根軌

36、跡。 漸近線：有漸近線：有3條漸近線條漸近線180,6014)21 (180mn)21 (1801142) 1 j11 j130(mnzpn1jm1iijk4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法) 2s2s)(3s ( s) 2s (K) 1ss21)(1s31( s) 1s21(K) s (W2g2kk 出射角：出射角： sc1=-26.6 ， sc2=26.6 141j11iij1sc18045)906 .26135(1806 .264.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程： s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg

37、=0 s4 1 8 2Kg s3 5 （6+Kg） s2 8-(6+Kg)/5 2Kg s1 (6+Kg)-10Kg/8-(6+Kg)/5 0 s0 2Kg =0=0Kg=7，Kk = Kg/3 =2.338-(6+Kg)/5 s2 + 2Kg=0 得：得：s = j1.61 -3 -2 -1 0 - R4 - R3 -R1-R260 -60 sc1=-26.6 sc2=26.6 -1.58-3.42= j1.61=- j1.61Kg=74.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法求根軌跡與虛軸相交時，另外兩個根求根軌跡與虛軸相交時，另外兩個根R3 、R4。即：即： R3 = 1.58， R4=

38、3.42s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0特征方程：特征方程： R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5 R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2Kg4.2.3 零度根軌跡零度根軌跡零度根軌跡：零度根軌跡：根軌跡的幅角條件滿足：根軌跡的幅角條件滿足： n1jjm1iin1jjm1ii360)ps ()zs ()(（ =0，1，2，）4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法常見于常見于非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng)參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡的根軌跡的根軌跡Xr(s) Xc(s)()()()()1()1()1 ()1

39、 ()(11111sDsNKpsszsKTssTTsTKsTssTKsWggaakakk11kgzpKK a1T1z 11T1p 其中：其中：閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程： D(s)-KgN(s)=s(s+p1)-Kg(s-z1)=0 即：即： g11K1)ps (szs)s (D)s (N) sT1 ( s) sT1 (K1ak非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)幅值條件：幅值條件： 同前述相同同前述相同g11K1)ps ( szs) s (D) s (N幅角條件：幅角條件：0)ps (s)zs () s (D) s (N11n1jjm1iin1jjm1ii360)ps ()zs ()(（ =0，1，

40、2，）一般情況：一般情況：4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 零度根軌跡繪制方法：零度根軌跡繪制方法： 起點和終點（相同）：起點和終點（相同）： 起點起點 p0=0, -p1=-1/T1 ， 終點終點 z1=1/Ta和無限零點。和無限零點。 根軌跡數(shù)（相同）：有兩條。根軌跡數(shù)（相同）：有兩條。 實軸上根軌跡實軸上根軌跡（不同）（不同）： 存在的條件：存在的條件：它右側(cè)的零、極它右側(cè)的零、極 點數(shù)目之和為偶數(shù)點數(shù)目之和為偶數(shù) 即在即在0 -1/T1 和和1/Ta 之間存在根軌跡之間存在根軌跡4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法)()()(11psszsKsWgk 分離點與匯合點（相同）

41、分離點與匯合點（相同）0)ps ( s)zs)(ps2() s (D) s (N) s (N) s (D1111aa1TT11T1s1aa2TT11T1s 分離點分離點 會合點會合點復(fù)平面上的根軌跡是一個圓，圓心復(fù)平面上的根軌跡是一個圓，圓心(1/Ta , 0)，半徑，半徑1aaTT1T14.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 根軌跡與虛軸的交點（相同）根軌跡與虛軸的交點（相同） 特征方程：特征方程： s(s+p1)-Kg(s-z1)=0 s2+(p1-Kg)s+Kgz1=0 勞斯表：勞斯表： s2 1 Kgz1 s1 p1-Kg 0 s0 Kgz1 Kg = p1=1/T1 =0aTTjs

42、11s2 +Kgz1 = 0 s2 + p1z1 = 0 4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 -p1 s1 p0 z1 s2 j 結(jié)論：結(jié)論： Kg1/T1，不穩(wěn)定，不穩(wěn)定4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法Kg = 1/T1 )ps (sKgXr(s) Xc(s) s系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)=內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù) 4.2.4 參數(shù)根軌跡（廣義根軌跡）參數(shù)根軌跡（廣義根軌跡） 常義根軌跡：常義根軌跡：以以Kg作為變量的根軌跡。作為變量的根軌跡。 廣義根軌跡：廣義根軌跡：以以Kg以外的參數(shù)作為變量的根軌跡。以外的參數(shù)作為變量的根軌跡。例例 4-7 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，

43、試以已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試以 為變量繪制根軌跡。為變量繪制根軌跡。)ps (sKgXr(s) Xc(s) ssKpssKWsWggBk)()(內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：)1 ()(sKpssKWggB0)s1(K)ps (sg閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：0sKKpssgg20KpsssK1g2ggkggeqKpsssKpsssKsW22)(等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)：繪制以繪制以 k為等效開環(huán)放大系數(shù)的根軌跡為等效開環(huán)放大系數(shù)的根軌跡4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法 起點和終點起點和終點 根軌跡始于開環(huán)極點根軌跡始于開環(huán)極點:2pK4jpp2g12pK4jpp2g2，

44、根軌跡終止于有限零點根軌跡終止于有限零點s=0和一個無限零點。和一個無限零點。 有兩條根軌跡。有兩條根軌跡。 實軸上根軌跡：在實軸上根軌跡：在- 0之間有根軌跡。之間有根軌跡。 匯合點匯合點4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法gkeqKpssssW2)(0)Kpss (s )ps2() s (D) s (N) s (N) s (Dg2gKsgKs （省略）（省略）根軌跡是一段圓弧，圓心為坐標(biāo)原點，半徑為根軌跡是一段圓弧，圓心為坐標(biāo)原點，半徑為 gK gK-p1-p24.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法問題：問題： 取何值時，取何值時，系統(tǒng)工作在系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)？欠阻尼狀態(tài)？求根軌跡

45、會合時求根軌跡會合時 的值的值gKs0)s1(K)ps (sg)2(1pKKgg若使系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)，若使系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)， 的取值為：的取值為：)pK2(K10gg繪制廣義根軌跡，只要整理出系統(tǒng)的繪制廣義根軌跡，只要整理出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳等效開環(huán)傳遞函數(shù)遞函數(shù)Weq ，找到含有所研究參數(shù)的，找到含有所研究參數(shù)的等效開環(huán)放等效開環(huán)放大系數(shù)大系數(shù)，即可把其轉(zhuǎn)換為常規(guī)根軌跡的繪制問題，即可把其轉(zhuǎn)換為常規(guī)根軌跡的繪制問題得：得：例例4-9 已知已知 試：繪制以試：繪制以 為參數(shù)的根軌跡，并利用根軌跡分析為參數(shù)的根軌跡，并利用根軌跡分析 取何值時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。取何值時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 0)2()

46、(，ssssWk解：閉環(huán)特征方程解：閉環(huán)特征方程0)1()12(22ssssss0)12()1(1sss)12()1()(ssssWkeq等效開環(huán)傳遞函數(shù)：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：零度根軌跡零度根軌跡4.2 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法0)(1sWk 起點和終點起點和終點 根軌跡始于開環(huán)極點：根軌跡始于開環(huán)極點：s=0，s=-1/2 根軌跡終止于有限零點根軌跡終止于有限零點s=1，無限遠(yuǎn)，無限遠(yuǎn) 實軸上根軌跡：在實軸上根軌跡：在-1/2，0，1 會合點和分離點會合點和分離點0142)()()()(2sssDsNsNsD2247. 01ds2247. 21ds分離點：分離點：會合點：會合點：4.2

47、 根軌跡的繪制方法根軌跡的繪制方法)12()1()(ssssWkeq閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：0)1 (22ss(4) 根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點1 3）4.3 用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能有兩種方法有兩種方法試探法試探法先確定實軸上的特征根，再確定復(fù)數(shù)根先確定實軸上的特征根，再確定復(fù)數(shù)根 幅值條件幅值條件 L2s0L4L3l1L1-p4 p3 -z1 -p2 -p12 2、先確定實軸上的特征根（即選擇試點）、先確定實軸上的特征根（即選擇試點） 再確定復(fù)數(shù)根再確定復(fù)數(shù)根（n-m 3）14321lLLLLKg若滿足若滿足找到找到不滿足不滿足重試重試（根據(jù)代數(shù)方程中

48、根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關(guān)系）Xr(s) Xc(s)解：解： 確定根軌跡確定根軌跡起點、終點和根軌跡數(shù)：起點、終點和根軌跡數(shù)： 起始于開環(huán)極點起始于開環(huán)極點0、-1、-4 終止于開環(huán)無限零點，有三條終止于開環(huán)無限零點，有三條實軸上根軌跡：實軸上根軌跡：在在0 -1和和-4 -之間有根軌跡之間有根軌跡試確定試確定Kg =10的特征根。的特征根。例例 4-8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：)4s)(1s ( sKg 與虛軸的交點：與虛軸的交點： 閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為： s3+5s2+4s +Kg=0 勞斯行列表：勞斯行列表： s3 1 4 s2 5 Kg s1 (20- Kg

49、)/5 0 s0 Kg04s10s3) s (D) s (N) s (N) s (D2分離點：分離點： s1=-0.467， s2=-2.869 ( 忽略忽略 )令令 5s2 + Kg=5s2 + 20=0得：得：s= 2jKg=20 j Kg =f(- )Kg10- 1=-4.6=-0.2+j1.46= -0.2-j1.46- 2+j - 2-j -4 -1 02j-2j4.3 用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能（Kg=20）（Kg=20） 確定確定Kg =10時實軸上特征根時實軸上特征根- 1由作圖法確定由作圖法確定Kg =10時，實軸上特征根時，實軸上特征根- 1 s=-

50、=-4， Kg =0 s =- =-4.5， Kg =7.875 s =- =-4.7， Kg =12.173 s =- =-5， Kg =20 s =- =-5.5， Kg =37.125特征方程：特征方程： s3+5s2+4s +Kg=0近似繪出近似繪出Kg =f(- )曲線：曲線： 在在-4 - 之間取不同的試點之間取不同的試點s=- ， 代入特征方程中，求出對應(yīng)的代入特征方程中，求出對應(yīng)的Kg值。值。 確定復(fù)根確定復(fù)根根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關(guān)系：根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關(guān)系： 得：得： 1+( 2+j )+( 2-j )=5, 1( 2+j )( 2-j )=10 得：得： 2 =0

51、.2， =1.46兩個復(fù)根分別為：兩個復(fù)根分別為：-0.2+j1.46 , -0.2-j1.46s3+5s2+4s +Kg=04.3 用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能K*48不穩(wěn)定不穩(wěn)定條件穩(wěn)定系統(tǒng)條件穩(wěn)定系統(tǒng) )4)(2() 125. 0)(15 . 0()(*sssKsssKsWk（ 用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性）用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性）*2K2(24)( )(4)(6)(1.41)KssGss ssss*014K*64195K穩(wěn)定條件：穩(wěn)定條件：典型二階系統(tǒng)：典型二階系統(tǒng)： 0222nnss特征方程特征方程繪制參數(shù)繪制參數(shù) 變化時的參數(shù)根軌跡變化時的參數(shù)根軌跡：等效開環(huán)

52、傳遞函數(shù)：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：222)(nneqsssW起點（起點（ =0）：s1=+j n, s2=-j n，2條條終點（終點（）：）：s=0，負(fù)無窮遠(yuǎn)，負(fù)無窮遠(yuǎn)分離點：分離點：0)()()()(sNsDsNsD（忽略）ns,ns4.3.2 用根軌跡法分析系統(tǒng)的動態(tài)特性用根軌跡法分析系統(tǒng)的動態(tài)特性)2()(2nnksssW p2 p1 設(shè)設(shè)z=3.6 -3.6 -2 -1 0 漸近線漸近線-0.46Kl l=1032 j討論：討論：0.3系統(tǒng)根軌跡向左系統(tǒng)根軌跡向左偏移，臨界開環(huán)偏移，臨界開環(huán)放大系數(shù)放大系數(shù)Kl l有所有所增大，但性能改增大，但性能改善不明顯，當(dāng)開善不明顯，當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)：環(huán)

53、放大系數(shù)：Kg Kl l 時，系時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。統(tǒng)不穩(wěn)定。 p2 z p1 設(shè)設(shè)z=1.6 -0.8-0.54根軌跡繼續(xù)向左偏移，根軌跡繼續(xù)向左偏移，如果設(shè)計得當(dāng)，閉環(huán)如果設(shè)計得當(dāng)，閉環(huán)系統(tǒng)有三個極點，一系統(tǒng)有三個極點，一個實極點，個實極點，兩個共軛復(fù)數(shù)極點，兩個共軛復(fù)數(shù)極點，且共軛復(fù)數(shù)極點離且共軛復(fù)數(shù)極點離虛軸較近，為主導(dǎo)虛軸較近，為主導(dǎo)極點，系統(tǒng)近似為極點，系統(tǒng)近似為二階欠阻尼系統(tǒng)性能二階欠阻尼系統(tǒng)性能 -2 -1.6 -1 0漸近線漸近線 p2p1z 設(shè)設(shè)z=0.6 -1.42-1.2根軌跡繼續(xù)向左偏離，根軌跡繼續(xù)向左偏離，當(dāng)設(shè)計得當(dāng)，系統(tǒng)可當(dāng)設(shè)計得當(dāng)，系統(tǒng)可有一個實極點和兩個有一個實極點和兩個復(fù)數(shù)極點，而且實極復(fù)數(shù)極點，而且實極點離虛軸較近，系統(tǒng)點離虛軸較近，系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)的特近似為一階系統(tǒng)的特性，表現(xiàn)為單調(diào)變化性，表現(xiàn)為單調(diào)變化的趨勢。的趨勢。 -2 -1 -0.6 0漸近線漸近線增加開環(huán)零點，使系統(tǒng)的根