求解圓錐曲線對(duì)稱問(wèn)題的方法

1、求解圓錐曲線對(duì)稱問(wèn)題的方法我們知道過(guò)定點(diǎn)的直線在圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱，只需該直線過(guò)圓心即可，由直線上兩點(diǎn)求該 直線的方程即可輕松拿下是，若一條過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓相交且在橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱，如 何求該直線的斜率的取值范圍？例1已知橢圓 取值范圍。y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y kx 1對(duì)稱。求實(shí)數(shù)k的解析：設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A(x1, y1), B(x2, y2)關(guān)于I: y kx 1對(duì)稱，AB的中點(diǎn)M(x°,y°)依題意直線I的斜率存在且不為0,不妨設(shè)AB所在的直線方y(tǒng) mx n(mmxn. 2(4m4y44m218mn程為:22 ny2 X4m2 11K)

2、1)x2 8mnx 4n2 4 0;64m2n2 16(n2 1)(4m2 1) 0x1x2Xo4mn-代入y mx n得:14m2yon4m2又因?yàn)橹悬c(diǎn)M(x0,y0)在直線ykx 1上得：汙k 4m24mn1,km 1n2氣旦代入得:方法總結(jié)：欲求過(guò)定點(diǎn)直線的斜率的取值范圍,設(shè)出與其垂直的直線的方程,通過(guò)垂線方程與橢圓方程聯(lián)立，由0找出不等關(guān)系式；由根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入已知直線方 程找出所設(shè)變量之間的 關(guān)系式與所求出的不等式結(jié)合,進(jìn)而求出已知直線斜 率k的取值范圍。2例2、橢圓務(wù)ab21(a0,b0,ab)上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)AlB關(guān)于直線I : y kx t (

3、t為非零常數(shù))對(duì)稱，若 存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：設(shè)橢圓上兩點(diǎn) A(x1,y1), B(x2,y2)關(guān)于丨：y kx t(t 0)對(duì)稱，AB的中點(diǎn)M(x0,y0)依題意直線丨的斜率存在且不為0,不妨設(shè)AB所4在的直線方程為：y mx n(m-)k(a2m2 b2)x2 2a2mnx a0；y mx n2 2 2 2 2 2 b X a y a b4a4m2 n2 4(a2 n2a2b2)(a2m2 b2)0n2 a2m2 b2 X X2a2m nx1 x2-2 2 2a m bXo2a mn22 代A y mxa m bn得:又因?yàn)橹悬c(diǎn)M(x0,y0)在直線y kx

4、t上得:b2n222a m bb2n22 2a m b2a mnI,2 22 t,km1a m byo222、2丄2n2罟/'代入得：(a222丄 2b )(a m tb2t2c4) 0(1)若 a2 b2 |bt |c2 |bt | C4b2t24.24.22 c b t 1 C b ta t k a t-=或 kc4 b2t2Iatlc4 b2t2'(2)若 a2 b2 |bt| c2 | bt |(a2m2 b2)(a2m2t2 b2t2 c4)b2t20時(shí)，即 b2t20,無(wú)解，即這樣的直線4 0,l不存在。小結(jié)：在該問(wèn)題中，若 c2 |bt|,則直線l存在；若c2 b

5、t I,則直線l不存在。 在學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)中，可以作 為一個(gè)結(jié)論記住，在做 選擇、填空題時(shí)可以起 到 事半功倍的效果。2 2例3、橢圓C 1上是否存在兩個(gè)不同的 點(diǎn)A) B關(guān)于直線I: y kx 5對(duì)稱,169若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：設(shè)橢圓上兩點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2)關(guān)于I： y kx 5對(duì)稱，AB的中點(diǎn)M(x0,y0),依題意直線I的斜率存在且不為0,不妨設(shè)AB所在的1直線方程為：y mx n(mR)y mx n9x2 16y2144(16m2 9)x2 32mnx 16n2 144 0;256m2n2 4(16n2144)(16m2 9)01

6、6m2 9 X1 X232mn16m2 9xo衛(wèi)芝代入y mx n得：y。16m99n16m2又因?yàn)橹悬c(diǎn)M(x0,y°)在直線y kx 5上得:誓-16m916m n16m2 95, km2 2n2筈陽(yáng)L)代入得:16m2 9)(1625m225 49)(16m2 9)(400m2 176) 0,無(wú)解。這樣的直線l不存在。2例4、橢圓C :彳162J 1上是否存在兩個(gè)不同的9點(diǎn)A) B關(guān)于直線I:kx對(duì)稱,3若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：設(shè)橢圓上兩點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2)關(guān)于I： ykx -對(duì)稱，AB的3中點(diǎn)M(x0,y0)，依題意直線

7、I的斜率存在且不為0,1n(m 一)k不妨設(shè)AB所在的直線方程為:mxy mx9x2 16y2256m216m2n1442 2n4(16 n9(16m29) x232 m nx144)(16m29)016n21440;32 m n2x016m2916mn2 代入y 16m29又因?yàn)橹悬c(diǎn)M (x0, y0)在直線y kx -上得:3x1x2mx n得:9n16m29_9n16m216mn k _ 16m9y。97I km(16m2499(16m2 9)249-92,代入得:(16m2 9)(16 -9m2(16 9)978429)( m 0)99 49 49)09這樣的直線I不存在。上述問(wèn)題中已

8、知所求直又該如何處理？結(jié)論又0，無(wú)解。線在y軸上的截距，但如果已知直線在X軸上的截距,會(huì)怎樣?2例5、已知橢圓C:篤a匚1(a b 0)過(guò)點(diǎn)(1,-),且離心率e -b求橢圓C的方程;(2)已知橢圓C上兩個(gè)不同點(diǎn) 代B關(guān)于X ky -對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。82 2解析：(1)C:Xy1;431(2)設(shè)橢圓上兩點(diǎn) A(X1, y1), B(X2, y2)關(guān)于X ky 對(duì)稱,AB的中點(diǎn)M(x°,y°),8y mx n3x2 4y2 120(4m23)x2 8mnx 4n2 120k 0,不妨設(shè)AB所在的直線方程為：y mx n(m k 0)120由根與系數(shù)的關(guān)系：X1 X2

9、8mnX042mn,代入 y mx n得:4m2 34m2 3n2 4m23 2 2 2 264m n 16(n 3)(4m3)0y。3n4m2 3M (衆(zhòng),衆(zhòng)),將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入Xky4mn3n4m2 34m2 38,(0)泄衛(wèi)代入:8m(4m2 3)264m24m2 3k2120510方法總結(jié)：欲求過(guò)定點(diǎn) 直線的斜率的倒數(shù)的取 值范圍，設(shè)出與其垂直 的直線 的方程，通過(guò)垂線方程 與橢圓方程聯(lián)立，由O找出不等關(guān)系式；由根 與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入已 知直線方程找出所設(shè)變 量之間 的關(guān)系式與所求出的不 等式結(jié)合，進(jìn)而求出已 知直線斜率的倒數(shù)k的取值范圍。2 2例6、橢圓C:務(wù)

10、-y2 1(a b 0)上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn) A,B關(guān)于X ky t(t 0)a b對(duì)稱，若存在，求實(shí)數(shù) k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：設(shè)橢圓上兩點(diǎn) A(x, y), B(X2, y2)關(guān)于X ky t對(duì)稱,AB的中點(diǎn)M(xo,y°),k 0,不妨設(shè)AB所在的直線方程為：y mx n(m k 0)y mx nI 22222.2b X a y a b(a2m2 b2)x202 2 2 2 22a mnx an a b4a4m2 n2 4a2( n2b2)(a2m2 b2)0n2 a2m2 b2 由根與系數(shù)的關(guān)系:X X2a2m nXI X2 -2 2 2a m b2a mn

11、 i IX0 22,代入 ya m bmxn得:b2ny0-222a m ba2m nb2n2 2 T2 , 2 a m b am b2),將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入Xky2a mn 2 2 T2k am b a mb2nF2t, ( m k 0) a mnb2mn (a2mb2)tz 222,(a m b )t n2mcz 2 2 . 22.2(a m 2b)t代入: m Cz 2 222止(a m b ) tF4m Cb24(C a t )m b t42丄2(1)c a t0時(shí)m22 2b t4C a t2 2k 2 b tK4C a tbt|或k，c4 a2t2_| bt|_-c4 a2t2(2

12、)c4 a2t20 時(shí),(C4a2t2)m2b2t2不成立，這樣的直線I不存在。小結(jié)：在學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)中,可以作為一個(gè)結(jié)論記住,在做選擇、填空題可以起到事半功倍的效果。以上討論的是過(guò)定點(diǎn)的 直線在橢圓上有兩點(diǎn)關(guān) 于該直線對(duì)稱，那么， 過(guò)定點(diǎn)的直線在雙曲線上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)論又是怎樣？2 2例7、已知雙曲線 篤 爲(wèi) 1(a 0,b0,)上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線ykx ta b(t為非零常數(shù))對(duì)稱，求 實(shí)數(shù)k的取值范圍。解析：設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2)關(guān)于l: y kx t(t 0)對(duì)稱,AB的中點(diǎn)M (Xo,yo)依題意直線I的斜率不為0,當(dāng)直線I的斜率1不為0時(shí)不妨設(shè)AB

13、所在的直線方程為：y mx n(m下)y mx nI 2 22 22. 2b X a y a b4a4m2 n2 4(a2 n2a2b2)( a2m2b2)0(a2m2 b2)x2 2a2mnx a2n2 a2b2 0;n2 a2m2 b2 XiX22a2m n22 2 a m b2a mn ZrX ZHx02 22代入y mx n得:a m byob2n22 72 a m b又因?yàn)橹悬c(diǎn)M(x0,y0)在直線y kx t上得:2a mn I , t,km 1 a m b2 2 2.2.2 (a m b ) t4C,代入得：(a2m2b2)(a2m2t2 b2t2C4)4C b t 或m a t

14、Z 2C 或 k20)Iatl2, 2)(a,).TCFb2FO)(OlC4b2L'b2 21對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的例8、取值范圍。已知雙曲線Xr晉1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y kx解析：設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A(Xl ,y1), B(x2, y2)關(guān)于I: y kx 1對(duì)稱,AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),依題意直線I的斜率存在且不為0,不妨設(shè)AB所1在的直線方程為：y mx n(m 1)y mx n32 4y212(3 4m )x 8mnx 4n 120；64m2n2 16(n2 3)(3 4m2)0n2 4m2 3 X1X28mn3 4m2Xo代入y mx n得:3 4m2y。3n3 4m2

15、又因?yàn)橹悬c(diǎn)M (x0, y0)在直線y kx 1上得：一3n3 4mk 1,km 1色護(hù),代入得：(4m2 3)(4m2 3 49)13或m3 m 1 k2 13 或k2 5(罟(，0) (0,(容).1313從以上推導(dǎo)及應(yīng)用可以看出雖然過(guò)定點(diǎn)的直線在雙曲線上有兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱的結(jié)論有些繁瑣,但仍然有規(guī)律可循。上述問(wèn)題中已知所求直線在y軸上的截距，但如果已 知直線在X軸上的截距,又該如何處理？結(jié)論又會(huì)怎樣?2例9、已知雙曲線篤a2y2 1(a 0,b0,)上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線X ky tb(t為非零常數(shù))對(duì)稱，求 實(shí)數(shù)k的取值范圍。解析：設(shè)雙曲線上兩點(diǎn) A(x, y1), B(x2, y2

16、)關(guān)于I: X ky t(t 0,k0)對(duì)稱,AB的中點(diǎn)為M(Xo,y°),依題意直線I的斜率存在且不為0,不妨設(shè)AB所在的直線方程為：ymx n(mk)y mx n.2 2 2 2 2. 2 b X a y a bb2) x2 2a2mnx a2n2 a2b20;422224am n 4(a n2 2 2a b )( a(1)a2t2c40 時(shí)2m 一 ab2t2或 2 b22t2 C4 或ma2m kk2b+ 或 k2a2t2 c4b22 ak (1lbtl )(,a2t2 /(-.0)a(0上) a(Ibtla2t2 c4 ,) a2t2c40時(shí)(a2m2b2)(a2t2 c4

17、) b2t2 02 2 a mb20 m2 k2ab22 an2x1x2a2m2 b2 2a2m n22 2 a m bXo2a mn-22代入ya m bmx n得:yo又因?yàn)橹悬c(diǎn)M(x0,y0)在直線Xc2mn(b2a2m2)tn2(b2(a2m2b2)(a2m2t2b2t2b2n22 2a m bb2na2m22 a mn22 2a m b2 2 2 2a m ) t代入得：ky t上得:42C m42、C m )0(a2m2 b2)(a2t2c4 )m2b2b2t2t, m kaak ( b，O) %).2 2例10、已知雙曲線 J 1(a 0, b 0,)上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直 線X

18、ky 143解析：設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)(k 0)對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。A(x1, y1), B(x2, y2)關(guān)于 1： X ky 1(k0)對(duì)稱,AB的中點(diǎn)M(x0,y0)依題意直線1的斜率存在且不為0,不妨設(shè)AB所y mx n2 23x 4y 12在的直線方程為：y mx n(m k)2 2 2(3 4m )x 8mnx 4n 120;X。64m2 n2 16( n23)(3 4m2)0 n2 4m2 3 x1x28mn3 4m24mn3 4m2代入ymx n得：y03n3 4m2又因?yàn)橹悬c(diǎn) M（x0,y0）在直線X ky 1上得：4mn23 4m3n21,m k3 4m22 27mn 3 4m n欝代入得:(4m2 3)249m24m2(4m2 3)(4m2 3 49m2)0(4m2 3)( 45m2 3)04m2 31320.綜上，k(4結(jié)論總結(jié):（一）橢圓0,b0,a b）上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線I : ykxt （t為非零常數(shù)）對(duì)稱，若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。(1)若 a2 b2 |bt |C2Ibtlb2t2a2t