橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

1、第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程問(wèn)問(wèn):解析幾何要解決的兩類基本問(wèn)題是什么解析幾何要解決的兩類基本問(wèn)題是什么?答答:(1)已知曲線研究其方程已知曲線研究其方程; (2)已知曲線方程研究其曲線的性質(zhì)已知曲線方程研究其曲線的性質(zhì).1F2F),(yxM回顧圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過(guò)程及求法回顧圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過(guò)程及求法:1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡2、求軌跡方程的基本步驟：求軌跡方程的基本步驟：（1）建立）建立適當(dāng)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用的坐標(biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出

2、適合條件）寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合的集合(可以省略可以省略);（3）將條件）將條件P（M）坐標(biāo)化，列出方程）坐標(biāo)化，列出方程 ; （4）對(duì)方程化簡(jiǎn)；）對(duì)方程化簡(jiǎn)；（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(可以可以省略不寫(xiě)省略不寫(xiě),如有特殊情況，如有特殊情況， 應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)適當(dāng)予以予以說(shuō)明說(shuō)明). 設(shè)想：設(shè)想： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？2.1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程仙女座星系星系中星系中的橢圓的橢圓-“傳說(shuō)中的傳說(shuō)中的”飛碟飛碟 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個(gè)與兩個(gè)定

3、點(diǎn)定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的和和等于等于常數(shù)常數(shù)(大于大于|F1F2|) 的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn), 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做兩焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距。 問(wèn)題問(wèn)題1：當(dāng)常數(shù)等于：當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是的軌跡是 ;問(wèn)題問(wèn)題2：當(dāng)常數(shù)小于：當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是的軌跡是 .線段線段F1F2不存在不存在一、橢圓定義：一、橢圓定義：二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1F2F),(yxMOxy 設(shè)設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，由定義知：由定義知：aMFMF22

4、1()()aycxycx22222-如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系 橢圓的焦距為橢圓的焦距為2c(c0) ，則，則F1(-c,0)、F2(c,0)，M與與F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)2a。分析：分析：（2）如何建系，）如何建系， 使得橢圓的使得橢圓的 方程較簡(jiǎn)單？方程較簡(jiǎn)單？（1）求橢圓的方）求橢圓的方 程出發(fā)點(diǎn)？程出發(fā)點(diǎn)？（定義）（定義）將方程移項(xiàng)后平方得：將方程移項(xiàng)后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-兩邊再平方得：兩邊再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222ca

5、ayaxca-1F2FxyO),(yxM由橢圓定義知：由橢圓定義知：0,2222-cacaca即()()aycxycx22222-(): 0 222得設(shè)-bbca222222bayaxb 這個(gè)方程叫做這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是軸上，焦點(diǎn)是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，其中，其中 c2=a2-b2 . 如果用類似的方法，建系時(shí)讓橢圓的焦點(diǎn)在如果用類似的方法，建系時(shí)讓橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上，可得出它的方程為：可得出它的方程為：()0 12222babxay它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。()0 122

6、22babyax兩邊同除以兩邊同除以 得：得：22ba222222bayaxb1F2FxyO),(yxM yoF1F2Mx yxoF1F2M二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：*兩種橢圓圖形的異同點(diǎn)兩種橢圓圖形的異同點(diǎn):兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不 同，它們的焦同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同點(diǎn)坐標(biāo)也不同x、y下的分母大小不同。下的分母大小不同。同同:異：異：形狀相同形狀相同,大小相同，大小相同，a,c幾何意義相同，并且：幾何意義相同，并且：其中其中a最大最大,b,c大小無(wú)法確定。大小無(wú)法確定。()0 12222babyax()0 12222babxay橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再

7、認(rèn)識(shí)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=c2+b2 。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在 哪一個(gè)軸上，（哪一個(gè)軸上，（a總是最大）總是最大）或看焦點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)決定或看焦點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)決定a、b。()0 12222babxay yoF1F2Mx yxoF1F2M二、橢

8、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：()0 12222babyax1：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸，并指明：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸，并指明a2、b2， 寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)。寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)。11625)1(22yx答：在答：在 x 軸，軸，1169144)2(22yx答：在答：在 y 軸。軸。11) 3(2222mymx答：在答：在y 軸。軸。判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： a2=25,b2=16;（3，0）.a2=169,b2=144; （0，5）a2=m2-1,b2=m2;

9、（0，1）2 橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ）A.5 B.6 C.4 D.10192522yxA3.已知橢圓的方程為已知橢圓的方程為 ，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在X軸上，軸上，則其焦距為（則其焦距為（ ）A 2 B 2C 2 D 218222myx28m-m-2282-m222-mA ,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是是 _.1, 6ca2213635yx小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程, 應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn): 橢圓的定義中橢圓的定義中a、b、c

10、皆正，皆正，a2=b2+c2 ,其中其中2c是是 橢圓焦距；橢圓焦距； 要注意特征量要注意特征量a 、 b、c的幾何意義的幾何意義 ,它們確定橢它們確定橢圓的形狀圓的形狀. 焦點(diǎn)的位置由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中焦點(diǎn)的位置由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中x2,y2的分母大小的分母大小 或焦點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)決定；或焦點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)決定； 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前應(yīng)先判斷焦點(diǎn)位置以便確求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前應(yīng)先判斷焦點(diǎn)位置以便確 定代入哪個(gè)方程解題定代入哪個(gè)方程解題. 作業(yè)作業(yè): 1、課課P33練習(xí)練習(xí)1、2 P39習(xí)題習(xí)題1。 2、世紀(jì)金榜世紀(jì)金榜P18-19 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1、3、4 3、補(bǔ)充：若補(bǔ)充：若 表示橢圓，求表示橢圓，求k的

11、取值范圍的取值范圍再見(jiàn)！再見(jiàn)！1162422-kykx注注：1.標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和和b，確定了橢圓的，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形定形條件。條件。 3.由橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可知：確定橢圓的由橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可知：確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：焦點(diǎn)位置、標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：焦點(diǎn)位置、 a、b的值。的值。 2.焦點(diǎn)焦點(diǎn)F1、F2的位置，是橢圓的的位置，是橢圓的定位定位條件，它條件，它決定橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)系里的位置和標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，決定橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)系里的位置和標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，也就是說(shuō)，知道了焦點(diǎn)的位置，標(biāo)準(zhǔn)方程只有一種形也就是說(shuō)，知道了

12、焦點(diǎn)的位置，標(biāo)準(zhǔn)方程只有一種形式，不知道焦點(diǎn)位置，其標(biāo)準(zhǔn)方程具有兩種類型。反式，不知道焦點(diǎn)位置，其標(biāo)準(zhǔn)方程具有兩種類型。反過(guò)來(lái)，只要知道方程的形式，就可以判定焦點(diǎn)位置。過(guò)來(lái)，只要知道方程的形式，就可以判定焦點(diǎn)位置。一般先定位后定形！一般先定位后定形！()04，()04，-例例 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10192522 yx兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,2)、(0,-2),并且經(jīng)過(guò)并且經(jīng)過(guò)-2523，求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，

13、且經(jīng)過(guò)A（ , -2 )和和B（ ，1） 兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。32 3分析：分析： 由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上不明確，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上不明確，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程有兩種情形，為了計(jì)算方便，可含糊地設(shè)其方程為程有兩種情形，為了計(jì)算方便，可含糊地設(shè)其方程為 mx2+ny2=1(m、n0且且mn) ,其中其中m、n的大小先不做確定，的大小先不做確定， 即先不考慮焦點(diǎn)位置，根據(jù)已知所給條件求出即先不考慮焦點(diǎn)位置，根據(jù)已知所給條件求出m、n值后值后 再行判斷其焦點(diǎn)位置再行判斷其焦點(diǎn)位置 。： 求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A（ , -2

14、 )和和B（ ，1）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。332解：解：設(shè)橢圓方程為：設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m、n0) 因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)A（ , -2 )和和B（ ，1），）， 故得故得 3m+4n=1與與12m+n=1 所以，所以， 所以，橢圓的方程為所以，橢圓的方程為 332151522yx51,151nm反思反思 ：在不明確焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，通常要進(jìn)行：在不明確焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，通常要進(jìn)行分類討論，但計(jì)算較分類討論，但計(jì)算較 為復(fù)雜。一般可先設(shè)其方程為復(fù)雜。一般可先設(shè)其方程為為mx2+ny2=1(m、n0且且mn) ，只是此時(shí)，只是此時(shí)m、n 的大的大小

15、還未確小還未確 定，用已知的條件來(lái)求出其值即可確定定，用已知的條件來(lái)求出其值即可確定X、Y型。型。 所以像這種求橢圓方程先假設(shè)其方程所以像這種求橢圓方程先假設(shè)其方程, 然后根據(jù)題目然后根據(jù)題目條件得出所求方程的方法條件得出所求方程的方法,我們稱之為我們稱之為待定系數(shù)法待定系數(shù)法。： 求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A（ , -2 )和和B（ ，1）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。332()0 12222babyax12xyoFFMy xoF2F1M()0 12222babxay定定 義義圖圖 形形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c

16、)a,b,c的關(guān)系的關(guān)系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦距為2c,焦距為2c1、橢圓、橢圓 的焦距為的焦距為 222312xy21 2xy-所表示的曲線是所表示的曲線是 2、3、已知方程、已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則 m的取值范圍是的取值范圍是221259xymm-4、已知橢圓、已知橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3， 則點(diǎn)則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2212516xy5、已知、已知F1， F2是橢圓是橢圓 的兩焦點(diǎn)，過(guò)的兩焦點(diǎn)

17、，過(guò)F2的直線交橢圓的直線交橢圓于點(diǎn)于點(diǎn)A，B，若，若 ，則，則221169xy5AB 11AFBF22右半個(gè)右半個(gè)X X型橢圓型橢圓（8,258,25）7 71111練習(xí)：練習(xí)：例例2、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)P是橢圓是橢圓4y2+5x2=20上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，F(xiàn)1與與F2是焦點(diǎn)，且是焦點(diǎn)，且 F1PF2=600 ，求，求 F1F2P的周長(zhǎng)與面積。的周長(zhǎng)與面積。252334例例3：已知圓：已知圓A：(x3)2y2100，圓，圓A內(nèi)一定點(diǎn)內(nèi)一定點(diǎn) B(3，0)，圓，圓P過(guò)過(guò)B點(diǎn)且與圓點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心內(nèi)切，求圓心P的軌的軌 跡方程跡方程圓圓P與圓與圓A內(nèi)切，圓內(nèi)切，圓A的半徑為的半徑為10兩圓的圓

18、心距兩圓的圓心距PA10r，222 51 6xy2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即點(diǎn)即點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為 1解：設(shè)解：設(shè)PBr即即PAPAPBPB1010點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是以的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓(大于大于AB)練習(xí)：已知練習(xí)：已知 B、C 是兩個(gè)定點(diǎn)，是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC| = 6，且，且ABC的的 周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程的軌跡方程 .ABCxyO解：解： 建系如圖，建系如圖， 由題意由題意|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，有 |AB|+|AC|=10， 由橢圓的定義知由橢圓的定義知：點(diǎn)點(diǎn)A的

19、軌跡是橢圓的軌跡是橢圓，2c=6 , 2a=10， c=3 ，a=5 ，b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .故頂點(diǎn)故頂點(diǎn)A的軌跡方程是：的軌跡方程是：1162522yx(y0) 小結(jié)：小結(jié)：1、先定位后定量；、先定位后定量；2、設(shè)方程技巧：焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，不妨設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)、設(shè)方程技巧：焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，不妨設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為方程為mx2+ny2=1(m、n0且且mn)3、設(shè)方程技巧：與、設(shè)方程技巧：與有相同焦點(diǎn)的橢圓方有相同焦點(diǎn)的橢圓方程不妨設(shè)為程不妨設(shè)為4、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)：、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)：若無(wú)法判斷曲線類型：用求曲線方程一般步驟若無(wú)法判斷曲線類型：用求曲線方程一般步驟;若可由

20、若可由定義法定義法判斷出曲線類型：可直接套用現(xiàn)成結(jié)論。判斷出曲線類型：可直接套用現(xiàn)成結(jié)論。求出曲線的方程之后，要驗(yàn)證方程是否有求出曲線的方程之后，要驗(yàn)證方程是否有增根增根，如有，如有，應(yīng)在方程后應(yīng)在方程后注明限制條件注明限制條件。12222byax22221xyakbk橢圓過(guò)點(diǎn)橢圓過(guò)點(diǎn)A(2,A(2,3)3)，且與橢圓，且與橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點(diǎn)。有相同的焦點(diǎn)。 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1162422-kykx補(bǔ)充作業(yè)：補(bǔ)充作業(yè)：若若 表示橢圓，求表示橢圓，求k k的取值范圍的取值范圍 平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離是8 8，寫(xiě)出到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離，寫(xiě)出到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離 的和是的和是1010的點(diǎn)的軌跡方程的點(diǎn)的軌跡方程在平面直角坐標(biāo)系中，