高數(shù)同濟(jì)31中值定理ppt課件

1、 引理引理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在a , b上有定義，并且在點(diǎn)上有定義，并且在點(diǎn)x0(a , b)取到最值，取到最值， f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 可導(dǎo)，那么可導(dǎo)，那么 f (x0 )=0。證證: 設(shè)設(shè) f(x0)值最大值最大, )()(, )(0000 xfxxfxxx那么)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x證畢費(fèi)馬費(fèi)馬xyo0 x一、羅爾(Rolle)定理 P128幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CA

2、BCAB羅爾羅爾(Rolle)定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)滿足：滿足： （1在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；上連續(xù)；（2在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；（3在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即 f(a)= f(b),那么在那么在(a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)( a m , 那么那么 M 和和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等等,不妨設(shè)不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn), ),(ba使使,)(Mf. 0)(f則由費(fèi)馬引理得則由費(fèi)馬引理得 證畢注注: :定理?xiàng)l件條件不全具備定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立結(jié)論

3、不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo32:4320(0 1)axbxcxabc 求求證證在在，內(nèi)內(nèi)至至少少有有例例1 1一一個(gè)個(gè)根根。cbacxbxaxxF 234)(23分析：分析：),()0(cbaF cbacbacbaF 23234)1(cbacxbxaxxF 234)(23設(shè)設(shè)證證明明：xcbacxbxaxxF)()(234 , 0)(),10( FRolle使，定理知，至少由. 0234:23 cbacba 即零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理用不上用不上!? !證畢, 0)1()0(,)1 , 0( ,1 , 0)

4、( FFxF內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)在例例2. 證明方程證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf有且僅有一個(gè)小于有且僅有一個(gè)小于1 的的正實(shí)根正實(shí)根 .證證: 1) 存在性存在性 .那那么么)(xf在在 0 , 1 連續(xù)連續(xù) ,且且由零點(diǎn)定理知存在由零點(diǎn)定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根 x0 .設(shè)設(shè)例例2. 證明方程證明方程0155 xx, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于有且僅有一個(gè)小于1 的的正實(shí)根正實(shí)根 . 2) 唯一性唯一性 . 假設(shè)另有假設(shè)另有

5、在以在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間之間在在10 xx ,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn),.)(0 f使使但但矛盾矛盾,故假設(shè)不真故假設(shè)不真!證畢證證: 1) 存在性存在性 ., 0)(0 xf存在存在 使使, ) 1 ,0(0 x, 0)(1 xf使二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129:注注意意( )( ).(f bf afba 結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成xoy)(xfy aAbB2 D1 C考慮考慮:表示直線表示直線AB的斜率的斜率.( )( )?f bf aba 表表示示什什么么拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數(shù)如果函

6、數(shù) f(x)滿足：滿足： （1在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；上連續(xù)；（2在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；那么那么 在在(a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)( a 2 時(shí)，方程時(shí)，方程 xn+ yn = zn 又又有沒(méi)有整數(shù)解呢？有沒(méi)有整數(shù)解呢？p這是不可能的。我對(duì)這個(gè)命題有這是不可能的。我對(duì)這個(gè)命題有一個(gè)美妙的證明，這里空白太小，一個(gè)美妙的證明，這里空白太小，寫不下寫不下(約約 1637 年年)。p歐拉歐拉1770年提出年提出 n = 3 的證明，但的證明，但其中有一點(diǎn)錯(cuò)誤。其中有一點(diǎn)錯(cuò)誤。p高斯完成歐拉的證明高斯完成歐拉的證明.費(fèi)馬(Fermat,1601？-1665 )

7、 費(fèi)馬大定理p狄利克雷狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),德國(guó)人德國(guó)人p1828 年，獨(dú)立地證明了年，獨(dú)立地證明了 n = 5。p1832 年，解決了年，解決了 n = 14 的情況。的情況。p柯西柯西Cauchy (1789-1857)、拉梅、拉梅Lam (1795 - 1870)p1847年，兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家分別表示他們證明了費(fèi)馬年，兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家分別表示他們證明了費(fèi)馬大定理。大定理。p5 月月 24 日，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)禧湢栔赋隼泛涂挛鞯娜?，德?guó)數(shù)學(xué)家?guī)禧湢栔赋隼泛涂挛鞯姆椒ㄊ切胁煌ǖ模瑥亩较⒘硕说臓?zhēng)論。方法是行不通的，從而平息了二人的爭(zhēng)論。p,2無(wú)整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)

8、nnnzyxn費(fèi)馬大定理p2019 年年 5 月，懷爾斯長(zhǎng)一百頁(yè)月，懷爾斯長(zhǎng)一百頁(yè)的證明，在雜志的證明，在雜志中發(fā)中發(fā)表。表。p2019 年年 6 月月 27 日，懷爾斯獲日，懷爾斯獲得價(jià)值五萬(wàn)美元的得價(jià)值五萬(wàn)美元的沃爾夫斯凱沃爾夫斯凱爾獎(jiǎng)金爾獎(jiǎng)金。xn + yn = zn,(n 2)無(wú)整數(shù)解無(wú)整數(shù)解(1637)這是真這是真的的(2019) 作業(yè) P134: 5、6、7、8、10、11-（2）、12、14P134 P134 習(xí)題習(xí)題1212.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè), 1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf.

9、3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一實(shí)實(shí)根根例例6 6 設(shè)設(shè)f(x)f(x)在在a, ba, b上可微，且上可微，且ab0ab0，求證：，求證：)( )()()(1 ffabfbafba (ab)證明證明 令

10、令,)()(xxfx xxg1)( a, b同號(hào)，故同號(hào)，故x=0不在不在(a, b)內(nèi)內(nèi);(x),g(x)在在(a, b)內(nèi)可微。內(nèi)可微。,)()()(2xxfxfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西中值定理),( )()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()( gagbgab造造技技巧巧：注注：常常見見的的一一些些函函數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu) )()(),(1ffba 使使）證證（xxfxF)()( 0)()(),(2 ffba使使）證證（)()(xfexFx 0)()()(xfexfexFxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）證證（)()(x

11、fexFx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）證）證（)()()()()(xgxfxgxfxF )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxF Z 考考慮慮 1 1、如果、如果)(xf在在,ba連續(xù)，在連續(xù)，在),(ba可導(dǎo)，可導(dǎo)，c為介于為介于 ba,之間的任一點(diǎn)，那么在之間的任一點(diǎn)，那么在),(ba（ ）找到兩點(diǎn)）找到兩點(diǎn) 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）無(wú)法確定能）無(wú)法確定能 . .2、證明

12、、證明bbabaaba ln解答解答2o 對(duì)對(duì)f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba .111,baab )(1lnln)(1babbabaa 1o 由所要證明的不等式選定一函數(shù)由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x) 及定義區(qū)及定義區(qū)間間: 令令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .2 、證明：的的零零點(diǎn)點(diǎn)。的的兩兩個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)間間一一定定有有可可微微，證證明明設(shè)設(shè))()()()(xfxfxfxf 2121, 0)()(xxxfxf 證：設(shè)證：設(shè))()(xfexFx 令令)()()(xfxfxF （內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)。在在顯顯然然),(,)(1212xxxxcxF 0)(21 xFxF又又0)(),12 Fxx使使（0)()( ffe0)()( ff補(bǔ)充補(bǔ)充1. 0)(),(),()(),(,)( fbab