高斯求積公式ppt課件

1、高斯求積公式 引言 求積公式 高斯求積公式的系數(shù)和余項 舉例 引言n+1個節(jié)點的插值求積公式個節(jié)點的插值求積公式的代數(shù)精確度不低于的代數(shù)精確度不低于n求積公式求積公式,能不能在區(qū)間能不能在區(qū)間a,b上適當(dāng)選上適當(dāng)選擇擇n個節(jié)點個節(jié)點x1,x2,xn,使插值求積公式的代數(shù)精度高于使插值求積公式的代數(shù)精度高于n？ 答案是肯定的，適當(dāng)選擇節(jié)點，可使公式的精度最高達到答案是肯定的，適當(dāng)選擇節(jié)點，可使公式的精度最高達到2n+1，這就是所要介紹的高斯求積公式。，這就是所要介紹的高斯求積公式。為考慮一般性為考慮一般性,設(shè)求積公式為設(shè)求積公式為bankkkxfAdxxf0)()(是權(quán)函數(shù)0)()()()(1x

2、xfAdxxfxbankkk注意此時的代數(shù)精度最高為注意此時的代數(shù)精度最高為2n-1（一定理：（一定理： 求積公式求積公式 的代數(shù)精度的代數(shù)精度最高不超最高不超2n-1次。次。 證明：分別取證明：分別取 f(x)=1, x，x2，.xn 時代時代入公式，并讓其成為等式得入公式，并讓其成為等式得 A1 + A2 + + An =ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 . x1 rA1 + x2 rA2+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有上式共有 r 個個 等式，等式，2n個待

3、定系數(shù)個待定系數(shù)(變元變元),要想如上方程組有唯一解，應(yīng)有方程組中方要想如上方程組有唯一解，應(yīng)有方程組中方程的個數(shù)等于變元的個數(shù)程的個數(shù)等于變元的個數(shù),即即 r=2n,這樣求出這樣求出的解答應(yīng)的求積公式的代數(shù)精度至少是的解答應(yīng)的求積公式的代數(shù)精度至少是2n-1,下面證明代數(shù)精度只能是下面證明代數(shù)精度只能是2n-1. 如果事先已選定如果事先已選定a ，b中求積節(jié)點中求積節(jié)點xk如下如下ax1 x nb,上式成為上式成為n個未知數(shù)個未知數(shù) A1、.An的的n元線性方程組，此時要元線性方程組，此時要r=n 時時方程組有唯一解方程組有唯一解 bankkkxfAdxxfx1)()()( 事實上,取 2n

4、次多項式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2.(x-xn)2 代入求積公式,有左= 右= =0左右,故不成立等式,定理得證. 定義: 使求積公式達到最高代數(shù)精度2n-1的求積公式稱為Guass求積公式Guass求積公式的節(jié)點xk稱為Guass點,系數(shù)Ak稱為Guass系數(shù).因為Guass求積公式也是插值型求積公式,故有結(jié)論:插值型求積公式的代數(shù)精度d滿足：n-1 d2n-1baodxxgx)()(nkkkxgA1)(bankkkxfAdxxfx1)()()(定理: 若f(2n)(x)在a,b上連續(xù)，則高斯求積公式的余項為其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2).(x-xn)。高斯求

5、積公式的系數(shù)Ak恒為正,故高斯求積公式是穩(wěn)定的.Guass求積公式有多種,他們的Guass點xk, Guass系數(shù)Ak都有表可以查詢.dxxwxnfRbannn)()()!2()(2)2(常用的高斯求積公式常用的高斯求積公式1.Gauss - Legendre 求積公式 (1)其中高斯點為Legendre多項式的零點 Ln(x)=對于一般有限區(qū)間a,b，用線性變換x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它變成為-1,1。111)()(nkkkxfAdxxfnnnndxxdn)1(!212 n xk(n) Ak(n) Rn1 0 2 2 -0.5773503 1 +0.5773503 1 3 -0

6、.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 )(157501)6(f3472875)()8(f1237732650)()10(fGauss- Leg

7、endre 點及系數(shù)點及系數(shù)表表)(31f)(1351)4(f例題利用高斯求積公式計算例題利用高斯求積公式計算解令x=1/2 (1+t), 那么用高斯-Legendre求積公式計算.取n=5 積分精確值為I=ln2=0.69314718由此可見，高斯公式精確度是很高的101xdx111031tdtxdxI)5(5)5(5)5(2)5(2)5(1)5(1313131tAtAtAI69314719. 02.Gauss - Chebyshev 求積公式 (2)其中高斯點為Chebyshev 多項式Tn(x)的零點 Tn(x)=cos(narccos(x)1112)(1)(nkkkxfAdxxxfnA

8、nkxkk,2) 12(cos3.Gauss - Laguerre 求積公式 (3)4 .Gauss - Hermite 求積公式 (4)01)()(nkkkxxfAdxxfenkkkxfAdxxfxe1)()(2例題例題:分別用不同方法計算如下積分分別用不同方法計算如下積分,并做比較并做比較令I(lǐng)=各種做法比較如下：一、Newton-Cotes公式當(dāng)n=1時，即用梯形公式，I=0.9270354當(dāng)n=2時, 即用Simpson公式,I=0.9461359當(dāng)n=3時,I=0.9461090當(dāng)n=4時,I=0.9460830當(dāng)n=5時,I=0.9460831dxxx10sindxxx10sin94

9、569086. 0) 1 ()7()(2)0(2sin10fhfhffhdxxx 二二:用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式 令令h=1/8=0.125 三：用復(fù)化拋物線三：用復(fù)化拋物線 令令h=1/8=0.125946083305. 0) 1 ()6()2(2)7()(4) 0(3sin10fhfhfhfhffhdxxx 四、 Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.94608311774590

10、7. 0) 17745907. 0(21sin5555556. 0I 五、五、Gauss公式公式 令令x=(t+1)/2, 用用2個節(jié)點的個節(jié)點的Gauss公式公式 用用3個節(jié)點的個節(jié)點的Gauss公式公式 =0.9460831 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sinI1021sin8888889. 017745907.0)17745907.0(21sin5555556.0dtttI1112/)1sin(比較 此例題的精確值為0.9460831. 由例題的各種算法可知： 對Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時有7位有效數(shù)字。 對復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復(fù)化拋物線公式有6位有效數(shù)字。 用復(fù)合梯形公式，對積分區(qū)間0，1二分了11次用2049個函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。 用Romberg公式對區(qū)間二分3次，用了9個函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。 用Gauss公式僅用了3個函數(shù)值，就得到結(jié)果?？偨Y(jié)1：梯形求積公式和拋物線求積公式是低精度的方法，但對于光滑性較差的函數(shù)有時比用高精度方法能得到更好的效果。復(fù)化梯形公式和拋物線求積公式，精度較高，計算較簡，使用非常廣泛。2：