B智巧趣題教師版

1、智巧趣題 教學目標數(shù)學問題中有許多趣題，它們充分地體現(xiàn)了數(shù)學思維和方法的神奇魅力，學習這些趣題，并掌握其中的數(shù)學原理，有利于我們思維的拓展，同時激發(fā)對數(shù)學的興趣。學海導航知識要點本講主要考察學生對于所學知識的活學活用能力，注意觀察生活中的各類事實，學會用數(shù)學方法巧解各類問題。旨在鍛煉學生的靈活思考、創(chuàng)新思考的能力，鼓勵學生多多動手、動腦，從解決問題的過程中感受學習的樂趣。例題精講【例1】 (超常、超常3)集市上有位賣魚的老人，3條魚5元，這時來了3個人，準備一起買者3 條魚，可是每人都是2元的錢，賣魚的老人又沒有零錢找，最后三個人覺得6元買3條魚也挺值就每人出2元買了. 賣魚的老人越想越覺得不

2、合適，怎么能多收1元呢？于是他坐車去追買魚人，追上時賣魚的老人說：“多收你們1元，坐車用4角，還剩6角，退給你們每人2角.”可是3個人怎么算也不對，每人出2元，又退了2角，等于每人出1元8角，共5元4角，再加上坐車的4角，一共5元8角，怎么少2角呢？ 你知道為什么嗎？ 【分析】 其實沒少.應當5元4角加上退回的6角共6元.(超常2、超常1)3人去餐館吃飯，每人出10元，結帳時共花25元，找回5元，用剩下的5元買了2元的水果，剩下3元每人退1元，結果一算賬：每人實際出9元，共27元，加上賣水果的2元，共29元，怎么少了1元呢？【分析】 27元包括25元的餐費和2元的水果，再加上退的3元共30元.

3、【例2】 (超常、超常3)用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅。如果煎個餅需要分鐘（假定正反面各需分鐘），問煎個餅至少需要幾分鐘？【分析】 先煎第一個餅和第二個餅的正面用分鐘，再煎第一個餅的反面和第三個餅的正面用分鐘，接著煎第二個餅和第三個餅的反面用分鐘，共用分鐘。（超常2）用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅。如果煎個餅需要分鐘（假定正反面各需分鐘），問煎個餅至少需要幾分鐘？【分析】 是奇數(shù)，所以如果兩個兩個地煎，最后肯定會剩下一個，結合上題煎個餅的例子，可以先兩個兩個地煎好個，最后的個再用分鐘煎完，因此一共需要分鐘。（超常1）（年月日“數(shù)學大王”邀請賽三年級第題）烤燒餅時，第一面需要烤分鐘

4、，第二面需要烤分鐘，而烤燒餅的架子上一次最多只能放個燒餅。要烤個燒餅至少需要分鐘。【分析】第一次烤的正面和的正面，需要分鐘；第二次烤的反面和的正面，需要分鐘；第三次烤的反面和的反面，需要分鐘；所以要烤個燒餅至少需要分鐘?！纠?】 (超常)一個人帶著一只狐貍、一只鵝和一些玉米渡河，每次只能帶一樣，可是人不在時，狐貍要吃鵝，鵝要吃玉米.那么應該怎樣渡河呢？ 【分析】 先帶鵝過河，自己劃船回來，第二次帶狐貍過去，再把鵝帶回來，第三次帶玉米過河，自己劃船，第四次再把鵝帶過去即可.（超常3）有3個商人和3個隨從在河岸邊,他們都想過河,只有一艘船,沒有船夫,而且船一次只能載2個人.任何時候船過了河,只要這

5、6個人沒過完,都得人回來接,怎么才能順利過河呢?要求任何時候都不得隨從數(shù)目大于商人數(shù)目,防止他們劫財.【分析】 第1次：1商1從過河，商回， 第2次：2從過河，1回，第3次：2商過河，1商1從回， 第4次：2商過河，從回， 第5次：2從過河， 第6次：再回，接最后一個隨從過河。（超常2）小王騎牛趕牛過河。共有甲、乙、丙、丁頭牛，甲牛過河需分，乙牛過河需 分，丙牛過河需分，丁牛過河需分。每次只能趕兩頭牛過河。問要把這頭牛都趕到對岸去，最少需幾分？【分析】 為了使總時間最少，則過河時用時多的牛要一起趕，返回時要騎用時少的牛，所以在趕牛時要先把用時少的牛趕到對岸去，這樣返回時就可以騎回來。具體方法如

6、下：先將甲、乙兩頭牛趕到對岸，用時分鐘，然后騎甲牛回來，再趕丙、丁兩頭牛區(qū)對岸，騎乙牛回來，最后騎甲、乙兩頭牛到對岸，整個過程一共用時（分鐘）。（超常1）有4個人要過一座橋。他們都站在橋的某一邊，要讓他們在17分鐘內全部通過這座橋。這時是晚上。他們只有一個手電筒。最多只能讓兩個人同時過橋。不管是誰過橋，不管是一個人還是兩個人，必須要帶著手電筒。手電筒必須要傳來傳去，不能扔過去。每個人過橋的速度不同，兩個人的速度必須以較慢的那個人的速度過橋。 第一個人：過橋需要1分鐘； 第二個人：過橋需要2分鐘； 第三個人：過橋需要5分鐘； 第四個人：過橋需要10分鐘。比如，如果第一個女人與第4個女人首先過橋，

7、等她們過去時，已經過去了10分鐘。如果讓第4個女人將手電筒送回去，那么等她到達橋的另一端時，總共用去了20分鐘，行動也就失敗了。怎樣讓這4個女人在17分鐘內過橋？還有別的什么方法？【分析】 第一個人,第二個人先過橋-用時2分鐘第一個人回來送手電-用時1分鐘第三個人,第四個人再過橋-用時10分鐘第二個人回來送手電-用時2分鐘第一個人,第二個人最后過橋-用時2分鐘共用了17分鐘?！纠?】 (超常、超常3)一個人帶著兩只桶去溝邊取水，一只桶可盛3千克水，另一只可盛5千克水，現(xiàn)在要取4千克水，應該怎樣??？【分析】 先把盛3千克水的小桶盛滿水，倒進盛5千克的大桶里，把小桶盛滿水，再倒入大桶里，因為大桶里

8、已經有3千克的水，當?shù)節(jié)M5千克時，小桶還剩下1千克的水把大桶里的水全倒掉，然后把小桶里的1千克水倒進大桶里，再把小桶裝滿水倒入大桶里，這時大桶里正好有4千克水（超常2）有大、中、小個瓶子，最多分別可裝入水克，克和克，現(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望通過水在個瓶子間的流動使得中瓶和小瓶上標出裝克水的刻度線，問最少倒幾次水？【分析】 次，詳見下表（單位：克）：大中?。ǔ?）今有升果汁一瓶，要用升和升的兩種容器分成升一份的兩份果汁，怎么分？【分析】設個容器分別為（升）、（升）、（升）。（升的容器）（升的容器）（升的容器）原來倒水到，使倒?jié)M倒水到，使倒空倒水到，使倒?jié)M倒水到，使倒空倒水到，使倒?jié)M倒水到，使倒?jié)M

9、倒水到，使倒空倒水到，使倒空倒水到，使倒?jié)M倒水到，使倒空【例5】 (超常)有顆珍珠，其中有一顆假珍珠，但外觀和真的一樣，看不出來是假的，只是假珍珠比真珍珠輕一些，你能利用天平不用砝碼，只稱兩次就找出假的珍珠嗎？怎樣稱呢？【分析】 如果每次在每個托盤里只放一顆珍珠的話，那么天平低的那一顆是假的，9顆珍珠，可能需要稱四次才行如果每個托盤中每次稱兩顆，那么如果不平衡，取輕的一側托盤中的兩顆珍珠再稱，分別置于兩個托盤內，較低一側的為假的但是這樣也有可能要稱三次，不合要求那么第一次在左右兩托盤各放置3顆珍珠： 如果不平衡，那么較高的一側的3顆中有一顆是假的從中任取兩顆分別放在兩托盤內： 如果不平衡，較低

10、的一側的那顆珍珠是假的；如果平衡，剩下的那顆是假的； 如果平衡，剩下的三顆中必有一顆為假的從中任取兩粒分別放在兩托盤內：如果不平衡，較高的一側的那顆珍珠是假的；如果平衡，剩下的那顆是假的所以只需要稱兩次就可以找出假的珍珠（超常3、超常2、超常1）有10箱鋼珠，每個鋼珠重10克，每箱600個如果這10箱鋼珠中有1箱次品，次品鋼珠每個重9克，那么，要找出這箱次品最少要稱幾次？【分析】 解決這個問題有一個巧妙的方法：將10箱鋼珠分別編為110號，然后從1號箱中取1個鋼珠，從2號箱中取2個鋼珠從10號箱中取10個鋼珠，共取出個鋼珠，將這些鋼珠放到天平上稱，本來應重550克，如果輕了()克，那么第號箱就

11、是次品這是因為每個次品鋼珠比正品輕1克，那么輕了克說明取出的55個鋼珠中有個是次品，那么是從第號箱中取出的，說明第號箱就是次品在這個方法中，第10號箱也可以不取，這樣共取出45個鋼珠，如果重450克，那么第10號箱是次品；否則，輕幾克幾號箱就是次品【例6】 (超常)將一根繩子對折、對折再對折，然后從繩子中間剪一刀，則繩子被剪成多少段？【分析】 繩子對折、對折再對折后共被對折成（段），在繩子中間剪一刀相當于在原來的繩子上剪了刀，所以共被剪成段。（超常3）將一根繩子對折次后從中間剪一刀，則繩子被剪成多少段？【分析】 繩子對折次后被對折成（段），在繩子中間剪一刀相當于在原來的繩子上剪了刀，所以共被剪

12、成（段）。（超常2、超常1）將一根繩子對折次后從中間剪一刀，繩子被剪成多少段？【分析】 對折次后被對折成段，所以共被剪成段?！纠?】 （超常、超常3）在一塊黑板上將重復次得到位數(shù)，先刪去這個數(shù)中從左至右數(shù)所有位于奇數(shù)位上的數(shù)，再刪去所得數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，依此類推，最后刪去的是哪個數(shù)字？【分析】 每次留下的應該是位上的數(shù)字，所以最后剩下的是第位數(shù)，所以最后刪的是。（超常2、超常1）把，這個數(shù)均勻排成一個大圓圈，從開始數(shù)：隔過劃掉，隔過劃掉，這樣每隔一個數(shù)劃掉兩個數(shù)，轉圈劃下去，問：最后剩下哪個數(shù)？【分析】 若正好有個數(shù)，則最后剩下的應該是第一個數(shù)，所以當劃掉個數(shù)時，此時剩下的數(shù)正好是，

13、接下來的第一個數(shù)就應該是最后留下的數(shù)，為?！纠?】 （超常、超常3、超常2、超常1）（年第五屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽五年級年級決賽第題）在下面?zhèn)€圓圈中分別填入數(shù)字，（已填出）。從開始順時針走步進入下一個圓圈，這個圓圈中若填（），則從這個圓圈開始順時針走步進入另一個圓圈。依次下去，走次恰好不重復地進入每個圓圈，最后進入的一個圓圈中寫。請給出兩種填法。【分析】因為從開始一共要走步，最后一個填入的數(shù)字是；因為，所以數(shù)字在數(shù)字的對面；嘗試后可得如下填法。【補充】柳卡趣題：在十九世紀的一次國際數(shù)學會議期間，有一天，正當來自世界各國的許多著名數(shù)學家晨宴快要結束的時

14、候，法國數(shù)學家柳卡向在場的數(shù)學家提出困擾他很久、自認“最困難”的題目：“某輪船公司每天中午都有一艘輪船從哈佛開往紐約，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中所花的時間來去都是七晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上。問今天中午從哈佛開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來?”問題提出后，果然一時難住了與會的數(shù)學家們。盡管為此問題大家進行過廣泛的探討與激烈的爭論，但直到會議結束竟還沒有人真正解決這個問題。這個有趣的數(shù)學問題，被數(shù)學界稱為“柳卡趣題”?！痉治觥?“柳卡問題”也是一類相遇問題。如果設每艘輪船的速度是x海里晝夜，一艘輪船剛與迎面駛來的輪船

15、相遇時，同下一艘即將相遇的輪船間剛好相差一晝夜的航程(想一想，為什么)，即為x海里。因此，同下一輪船相遇的時間應是x÷(x+x)=05(晝夜)，也就是說一艘輪船可以在一晝夜遇到兩艘從迎面駛來的輪船。那么，七晝夜一共可以遇到7×2=14(艘)從對面開來的輪船，加上出港時遇到的一艘，一共15艘輪船?！狙a充】（年第三屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽四年級第題）圖中有個圍棋子圍成一圈，現(xiàn)將同色的相鄰兩子之間放入一個白子，在不同色的相鄰兩子之間放入一個黑子，然后將原來的個棋子拿掉，剩下新放入的個棋子，如圖，這算一次操作，如果繼續(xù)這樣操作下去，這一圈的

16、個子中最多有個是黑子?！痉治觥咳粢霈F(xiàn)個黑子，則前一次操作時，所有的棋子必須是黑白相隔；因為有個棋子，所以不可能出現(xiàn)黑白相隔的情況，所以也不可能出現(xiàn)個黑子的情況；如圖所示，經過次操作，圖出現(xiàn)了個黑子；所以這一圈的個子中最多有個是黑子。課后精練【練習1】 (超常、超常3、超常2、超常1)有個人去買蔥，他問多少錢一斤.賣蔥的人說：“元斤”.買蔥的人說：“我想全買了，不過要從中間切開秤，蔥葉角斤，蔥白角斤，你賣不賣？” 賣蔥的人一想：“角+ 角=元”正好，他就全賣了.但是后來發(fā)現(xiàn)自己賠了，同學們，你們知道為什么嗎？【分析】 蔥葉角斤，蔥白角斤相當于元錢買斤蔥，賣蔥的人當然賠了.【練習2】 （超常、超

17、常3）（年第屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽小學組初賽第題）媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗茶壺要用分鐘，燒開水要用分鐘。洗茶壺要用分鐘，洗茶杯要用分鐘，拿茶葉要用分鐘。小明估算了一下，完成這些工作要分鐘，為了使客人早點喝上茶，按你認為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？【分析】 先洗水壺用分鐘，接著燒開水用分鐘，在等待開水的過程中，同時洗茶杯、拿茶葉。水開了就沏茶，總共用了分鐘。又因為燒開水的分鐘不能減少，燒水前必須洗水壺，所以用分鐘是最少的。（超常2、超常1）小紅放學回家，想讓爸爸、媽媽下班就能吃上晚飯。她準備做大米飯和炒雞蛋，有兩個爐灶。估計一下，洗鍋要用分鐘，洗米要用分鐘，做大米飯要用分鐘，打

18、雞蛋要用分鐘，洗炒勺要用分鐘，燒油要分鐘，炒雞蛋要分鐘。你認為最合理安排需要幾分鐘能做好飯菜？【分析】 做大米飯的時間最長，因此我們應該考慮在煮大米飯的同時做其他事情以節(jié)省時間，做大米前洗鍋和洗米是必須的，所以至少需要（分鐘）。【練習3】 (超常)紅藍墨水各一瓶，用一根滴管從紅墨水中吸一滴滴到藍墨水中，攪拌后，從藍墨水中吸一滴滴到紅墨水中.這時紅墨水中的藍墨水多還是藍墨水中的紅墨水多？ 【分析】 如果算紅藍墨水的混合比例算不出來.我們可以這樣想 如果紅墨水中混進藍墨水，那么這些藍墨水必然擠占了同樣體積的紅墨水.所以紅墨水中的藍墨水和藍墨水中的紅墨水一樣多.（超常3）（年月日第三屆小學“希望杯”

19、全國數(shù)學邀請賽四年級第試第題）小華和爸爸分享“紅、黑甜品”（紅豆沙加芝麻糊）。方法是：小華先將兩勺紅豆沙倒進盛載芝麻糊的碗中，攪勻后再取回兩勺放入原先盛載紅豆沙的碗中，混成后，爸爸問小華：“如果混合前紅豆沙與芝麻糊的體積一樣，那么混合后紅豆沙含芝麻糊的分量與芝麻糊含紅豆沙的分量比較，哪一個多？”。小華的正確答案是?！痉治觥恳驗榛旌锨凹t豆沙與芝麻糊的體積一樣；所以混合后紅豆沙含芝麻糊的分量與芝麻糊含紅豆沙的分量一樣多。（超常2）甲組有26個男生，乙組有20個女生，從甲乙兩組中各選出相同數(shù)量的人交換，這樣交換10次后，甲組中女生的人數(shù)多還是乙組中男生的人數(shù)多？ 【分析】 一樣多.（超常1）欣欣喝一

20、杯牛奶，第一次喝了這杯牛奶的，用水加滿；第二次又喝了杯里的，又用水加滿；第三次又喝了杯里的，又用水加滿；之后她把這一杯全部喝完。想想欣欣喝的牛奶多還是水多？【分析】首先整體上欣欣喝了杯牛奶；欣欣加了次水，每次都是整個杯子，一共加了杯水，所以欣欣一共喝了杯水；所以欣欣喝的牛奶和水一樣多。【練習4】 (超常、超常3、超常2、超常1)甲乙兩人從相距千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲帶著一條狗，甲出發(fā)時狗開始在甲乙兩人之間來回奔跑，即碰到乙就掉頭跑，碰到甲就再掉頭跑，如此往復，直至甲、乙相遇為止.如果狗的速度等于甲乙兩人的速度和，掉頭時間忽略不計，那么狗跑了多少千米？【分析】 狗跑的時間與甲乙兩人的時間相同，速度等