相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練含答案講解學(xué)習(xí)

1、精品文檔相似三角形分類提高訓(xùn)練一、相似三角形中的動點問題如圖,在 RtABC中，/ACB=90°, AC=3, BC=4,過點 B作射線 BB1/AC.動 點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，同時動點E從點C 沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運(yùn)動.過點 D作DHI± AB于H,過點E作 EF，AC交射線BB1于F, G是EF中點，連接 DG.設(shè)點D運(yùn)動的時間為t秒.(1)當(dāng)t為何值時，AD=AB,并求出此時 DE的長度；(2)當(dāng)4DEG與4ACB相似時，求t的值.2 .如圖，在 4ABC中，Z ABC= 90°, AB=6m, BC=8m,動點

2、P以2m/s的速度從 A點出發(fā)，沿 AC向點C 移動.同時，動點 Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動.當(dāng)其中有一點到達(dá)終點時，它們 都停止移動.設(shè)移動的時間為t秒.(1)當(dāng)t=2.5s時，求4CPQ的面積；求4CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時間 t (秒)的函數(shù)解析式；(2)在P, Q移動的過程中，當(dāng) 4CPQ為等腰三角形時，求出 t的值.精品文檔3 .如圖1,在 RtAABC中，Z ACB= 90°, AC= 6, BC= 8,點D在邊 AB上運(yùn)動，DE平分/ CDB交邊BC 于點E, EMXBD,垂足為 M, ENXCD,垂足為 N.(1)當(dāng) AD=CD 時，求證：D

3、E/AC;(2)探究：AD為何值時， 4BME與ACNE相似？4 .如圖所示，在 4ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,點P從A點出發(fā)，沿著 AB以每秒4cm的速度向B點運(yùn)動；同時點 Q從C點出發(fā)，沿 CA以每秒3cm的 速度向A點運(yùn)動，當(dāng)P點到達(dá)B點時，Q點隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為x.(1)當(dāng)x為何值時，PQ/ BC?(2) 4APQ與ACQB能否相似？若能，求出 AP的長；若不能說明理由.5 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果 P、Q同

4、時出發(fā)，用t (s)表示移動的時間(0 v t v 6)。(1)當(dāng)t為何值時，4QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時，以點 Q、A、P為頂點的三角形與 4ABC相似？二、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型6 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點A的坐標(biāo)為(2, 1),正比例函數(shù)y=kx的圖象與線 段OA的夾角是45。，求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式.7 .在4ABC中，AB=«, AC=4, BC=2,以AB為邊在C點的異側(cè)作 AABD,使 ABD為等腰直角三角形, 求線段CD的長.8.在4ABC中，AC=BQ / ACB=90°,點 M是AC上的一點，點 N是BC上的一點，沿 著直

5、線MN折疊，使得點 C恰好落在邊 AB上的P點.求證：MC: NC=AP: PB.9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標(biāo)為（1,3）,將矩形沿對角線 AC翻折B點落在D點的位置，且 AD交y軸于點E.那么D點的坐標(biāo)為（）三、構(gòu)造相似輔助線- 11.如圖：4ABC中, 求證：A2 DF10.已知，如圖，直線 y=-2x+2與坐標(biāo)軸交于 A、B兩點.以AB為短邊在第一象限做一個矩形 ABCD, 使得矩形的兩邊之比為 1 ： 2。求C、D兩點的坐標(biāo)。一A、X字型12 .四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項，且AC 平分 / DAB。求證:13 .

6、在梯形ABCD中，AB/ CD, AB= b, CD= a, E為AD邊上的任意一點,EF交BC于點F, 、DE 一 當(dāng)行-1時,當(dāng)定=*時，某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實:0+hEF=；a + 3bEF= r DE當(dāng)劉DSa + 2b=2時，ef=、；亡時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用EF/ AB,且a、b 和 k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明.AD是AB上一點，AD=AC, BC邊上的中線 AE交CD于F。14 .已知：如圖，在 4ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且 BE= EF= FC= 求 BN: NQ: QM.15 .證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離

7、等于該頂點對邊上中線長的三.（注：重心是三角形三條中線的交點）（2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊 對應(yīng)成比例.四、相似類定值問題16 .如圖，在等邊 4ABC中, 別交AC AB于點E、F.M、N分別是邊AB, AC的中點,1 13求證：十二.CE BP ABD為MN上任意一點,BD、CD的延長線分17 .已知：如圖，梯形分別交AD> BC于E、ABCD中，AB/DC,對角線 AC、BD 交于 O,過。作 EF/ABF。求證._L十上二工AB CD E0'圖1成立？若成立，試給出證明；若不成試說明 (要求圖2為 行證明 明)；18 .如圖

8、，在4ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個頂點分別在 4ABC 上。求證:19 .已知，在4ABC中作內(nèi)接菱形 CDEF設(shè)菱形的邊長為 a.求證:五、相似之共線線段的比例問題20 . (1)如圖1,點F在平行四邊形 ABCD的對角線BD上，一直線過點 P分別交BA, BC的延長線于點Q, S,交加，5于點凡7.求證：PQ PR= PS- PT(2)如圖2,圖3,當(dāng)點F在平行四邊形 ABCD的對角線 血或D?的延長線上時，F(xiàn)Q、FR= FS、FT是否21 .已知：如圖， AABC中，AB = AC, AD是中線，P是AD上一點，過 C作CF/ AB,延長2BP 交 AC于 E,

9、交 CF于 F.求證：BP = PE- PF .22 .如圖，已知 AABC中，AD, BF分別為BC, AC邊上的高，過 D作AB的垂線交 AB于E,交BF于G, 交AC延長線于Ho求證：DE2=EG?EH23 .已知如圖，P為平行四邊形 ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC CD的延長線、AB的 延長線分別相交于點 E、F、G、H.求證:PE PH24 .已知，如圖，銳角 4ABC中，ADXBC于D, H為垂心（三角形三條高線的交點）；在AD上有一點P,且/BPC為直角. 求證：PD = AD-DH。ED的延長線交CAED的延長線與 CB的延長六、相似之等積式類型綜合25 .

10、已知如圖，CD是RHABC斜邊AB上的高，E為BC的中點, 于F。求證：上二？F二上二二F26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點 M在CD上，DHLBM且 與AC的延長線交于點 E.求證：(1)4AEgCBM;(2)乩7讖=修327 .如圖，4ABC是直角三角形， ZACB=90)°, CD± AB于D, E是AC的中點, 線交于點F.(1)求證：EEP = FR.EC.(2)若G是BC的中點，連接 GD, GD與EF垂直嗎？并說明理由.28 .如圖，四邊形ABCD DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點 M , CG與AD相交于點N.求 證：的

11、-口N=5MN .29 .如圖，BDk CE分別是 ABC的兩邊上的高，過 D作 DG± BC于G,分別交CE及BA的延長線于.2F、H。求證：(1) DG=BG, CG (2) BG, CG= GF- GH七、相似基本模型應(yīng)用30/ABC和 DEF是兩個等腰直角三角形，/A=/D=90°, ADEF的頂點E位于邊BC的中點上.(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點 M, EF與AC交于點 N,求證：BEMsCNE;/(2)如圖2,將4DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得 DE與BA的延長線交于點 M, EF與AC 交于點N,于是，除(1)中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形 并證明

12、你的結(jié)論.31.如圖，四邊形 ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點 R為DE的中點，BR分另U交AC、CD于點P、Q.(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為 1除外)；(2)求 BP: PQ: QR.32.如圖，在 ABC中，AD± BC于 D, DE，AB于 E, DF，AC于 F。求證:AEAFAC.t=1 ,此時 CE=3DE=3+3-5=1如圖當(dāng)點D在點E左側(cè)，即:DE EGDE8 4BCA,此時 一BC CA答案：1.答案：解：（1） . /ACB=90, AC=3, BC=4AB=5X AD=AB, AD=5t0 三 t 三?時，DE=3t+3-5t=3-2t .

13、2若4DEG與4ACB相似，有兩種情況:一一DE EGDE8 4ACB,此時AC如圖，當(dāng)點 D在點E右側(cè)，即：t不時，DE=5t-(3t+3)=2t-3 .若4DEG與4ACB相似，有兩種情況：DE EG DE8 ACB,此時=,Ji C-L.Dt=rDE _ SG 蕊一演, t=E.6% 3 2即：求得: A DEG A BCA,此時342/-3 2即：巴二E,求得:433 9 17綜上，t的值為/或上或二或L.4 6 463.答案：解：（1）證明： AD=CD Z A= Z ACD. DE平分/CDB交邊BC于點EZ CDE=Z BDEZ CDB為ACDB的一個外角Z CDB=Z A+Z

14、ACD=2Z ACD Z CDB=Z CDE+Z BDE=2Z CDEZ ACD=Z CDEDE/ AC/ NCE土 MBE EMXBD, ENXCD, ABMEACNE,如圖A D I B Z NCE=Z MBEBD=CD又 Z NCE吆 ACD=Z MBE+Z A=90Z ACD=Z AAD=CDAD=BD=AB2.在 RtABC中，Z ACB= 90 ； AC=6, BC=8AB=10AD=5 Z NCE=Z MEB EMXBD, ENXCD,ABMEAENC,如圖 Z NCE=Z MEBEM / CD CDXAB.在 RtaABC中，NACB=90 ； AC=6, BC=8AB=10.

15、 /A=/A, /ADC=/ ACB AACD AABC AD他. =AC ABm AC1 6318AB W，一，.18 . A 一八一，綜上：AD=5或一時，ABME與ACNE相似.54 .答案：解（1）由題意：AP=4x, CQ=3x, AQ=30-3x, 0-5 AP _ AQ 皿_303汽當(dāng) pq/ BC 時，AC ,即：203010解得： ;40（2）能，AP= 9 cm 或 AP=20cmAP AQ % 30-3aAPQsCBQ,則C 品,即工° 玄 解得：工=5或工=10 （舍）此時：AP=" cmAP AQ3。-3 人APQsCQB,則 0口 C* ,即 3

16、K *10解得： 9 （符合題意）40此時：AP= " cm40故AP= 9 cm或20cm時，4APQ與 CQB能相似.5 .答案：解：設(shè)運(yùn)動時間為 t,則 DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t.（1）若QAP為等腰直角三角形，則 AQ=AP,即：6-t=2t, t=2 （符合題意） ，t=2時，4QAP為等腰直角三角形.（2） /B=/ QAP=90 AQ _AP 6T _ N當(dāng)QA24ABC時，工* 舌。，即：126 ,6£ =解得： 5 （符合題意）；AP AQ 2E當(dāng)PAgABC 時，,即：126 ,解得：£ : 3 （符合題意）.

17、6£ =當(dāng) 或時，以點Q、A、P為頂點的三角形與 4ABC相似.6.答案：解：分兩種情況第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點A作AB，OA,交待求直線于點 B,過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C,過點B作BD）± AC 則由上可知： OAB=ZOCA=ZD =90。由雙垂直模型知： OC2 ADBPC _ AC _ 0A 二一 A （2, 1） , 4GB =45 °OC= 2, AC= 1, AO=ABAD=OC= 2, BD= AC= 1 .D點坐標(biāo)為（2,3） .B點坐標(biāo)為（1, 3）此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：y = 3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點

18、A作AB, OA,交待求直線于點 B,過點A作平行于x軸的直線交y軸于點C,過點B作BD）± AC 則由上可知： OAB=ZOCA=ZD =90。由雙垂直模型知： OC2 ADBPC _ AC _ 0A一 二 A （2, 1） ,=45 °OC= 1, AC= 2, AO=ABAD=OC= 1 , BD= AC= 2 .D點坐標(biāo)為（3, 1） .B點坐標(biāo)為（3, - 1）1此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：y = 3 xE二口7 .答案：解：情形一:年正二當(dāng)上di白=90連接CD,過點D作AC邊上的高線DE 交CA的挺快 線于典E.,: *鉗=34* SC=A* BG"二-

19、 _dCB=9Q 二又QELf 2月引？力等密直角三角形，丁3CB=_E=對 1 j£H_EQ=90： »及"一上扛>=90：-上宜中仁=_ m 二"仞當(dāng)漢如./. AE=BC=2 DE=HC=5丁在 &3DEC 中,CZ> Jr-KE二=jV15 .一a情形二：C BF=訶，氏 *重接8,過點小作HC邊上的富展好.交CB的逑蕓境于點出二S 展BC-2./.UCH-典'又二DJCF.上H3Q為等皆百整三需形., HD=AB. -dC&ijF*9。' . SC-FmA 90T * _ 笈4二一二430-90 =

20、/.一且4C-FfiD-二 LDB-CBA:.DF-HC=2. BFC4#二在 R:一DFC 中.CA，F(xiàn)SyF二，,若壟，三二時工-連接8，過點D作例:過上我高緞DR交6的 迤長線于盧M 過戶一4卞直線PD邊上的高建一4 交也于點G< 鉆=二點* ac“ 5。:3，/. AC2+BC2-ABF ZCff-90D *又; DE-CEt ”即為等震直角三角形-:、ad=bd zr p= g(r , .A0&y二 QqA 90 : 40£U-/BD尸=90" A/.aD=_BDPy:.二0«門至 豈戶門吊，二 AQ=DP DQ=BP-8.答案：證明：方法

21、方法二：如圖,過M作MDAB于D,過N作NE，AB于E人加0由雙垂直模型，可以推知 PMDsNPE,則二:PR連接PC,過點 P作PD± AC于D,貝U PD/BC 根據(jù)折疊可知MNLCP - 2 2+P PCN=90 ,° / PCN+Z CNM=90. / 2= Z CNM / CDP=Z NCM=90 ° . PDC MCN. MC: CN=PD DCPD=DA. MC： CN=DA DC PD/BC. DA: DC=PA PB. MC： CN=PA PBPD _ PM礪一兩根據(jù)等比性質(zhì)可知MD PD FM 丁=,而 MD=DA, NE=EB PM=CM,

22、PN=CN, . . MC: CN=PA PB FE t NE PN9.答案：A解題思路：如圖過點D作AB的平行線交BC的延長線于點 M,交x軸于點N,則/ M= / DNA=90 , 由于折疊，可以得到 ABCADC,又由B (1, 3)/ CDA=Z B=90 .BC=DC=1 AB=AD=MN=3 / 1+/ 2=90 ° / DNA=90 °Z 3+Z 2=90 °/ 1=7 3ADMCAAND, CM DM CD 1 一西一國一石一百 設(shè) CM=x,則 DN=3x, AN=1 + x, DM = 與1以 .3x+ =34x=過點C作x軸的平行線交y軸于G

23、,過點D作y軸的平行線交x軸于F,交GC的延長線于E。 直線y= - 2x+ 2與坐標(biāo)軸交于 A、B兩點 A (1,0), B (0,2)OA=1, OB=2, AB=5 . AB: BC=1:2BC=AD= / ABO+Z CBG=90 ,° / ABO+Z BAO=90 °/ CBG=Z BAO又 / CGB4 BOA=90 . OABsGBCQA GS 1 - ZZ 二一 CB GC 2.GB=2, GC=4GO=4C (4,4)同理可得 ADFsBAO,得QA DF1=二一.DF=2, AF=4-. 0F=5.'. D (5,2)OB AF 211.答案：證

24、明：(方法一)如圖延長AE至I M使得EM=AE,連接CM,. BE=CE Z AEB=Z MECABE/ A CEM. CM=AB, Z 1 = Z BAB / CMZ M=Z MAD, Z MCF=Z ADF AMCF AADFCF _CM,. CM=AB, AD=ACCF _ CM AB . DFWAC（方法二）過D作DG/ BC交AE于G則AB&MDG, ACEFADGFAB _ BE CF _ CSv AD=AC, BE=CECF5F12.答案:BE AB過點D作DF/ AB交AC的延長線于點 F,則/ 2=/ 3. AC 平分 Z DABZ 1 = Z 2Z 1 = Z 3

25、AD=DF . /DEF=/BEA, Z2=Z3ABEAA DEFBE _A8 AD=DFBE _ AB.AC為AB、AD的比例中項，一上一AD _ AC即.L 一又/ 1 = 72AACD AABCAD _ AC _ CDBC2 _ BE13.答案：解：EF = -一- it 4-1證明:過點E作PQ/ BC分另IJ交BA延長線和DC于點P和點Q AB / CD, PQ/ BC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PB= EF= CQ,DQ_DEIF又ABnb, CD= aAP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EF：. -工 -EF =i-rl14.答案：解:連接M

26、F. M是AC的中點，EF= FCr1 .MF/AE 且 MF= -AE.1.ABENABFM.-. BN: BM = BE: BF= NE: MFBE= EF，BN: BM=NE: MF 2= 1:2, BN： NM = 1:1 設(shè) NE= x,則 MF = 2x, AE=4x. AN= 3x / MF/ AE.'. ANAQAMFQ/. NQ： QM=AN: MF=3:2BN: NM= 1:1 , NQ: QM=3:2，BN: NQ: QM = 5:3:215.答案：證明：（1）氨1如圖1, AD、BE為 ABC的中線，且 AD> BE交于點 O過點C作CF/ BE,交AD的

27、延長線于點 F CF/ BE且E為AC中點/ AEO= / ACF / OBD= / FCD, AC= 2AE / EAO= / CAFAAEO AACFSO _AE.- 一二. D 為 BC的中點，/ ODB= / FDCABODACFDBO=CFEQ A一二BO _2.同理，可證另外兩條中線三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的如圖2, AD為 ABC的角平分線過點C作AB的平行線CE交AD的延長線于E貝U / BAD=Z E,AD為 ABC的角平分線/ BAD=Z CAD/ E=/CADAC= CE CE/ ABABAD ACEDAB _ BD，二二".SAB _ BD

28、二則四邊形 MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且 4DPQ等邊三角形.BP+CQ= MN, DP=DQ=PQM、N分別是邊 AB, AC的中點MN =2 BC= PQ. DP/AB, DQ / ACACDPACFB BDQ BECDP _ CP DQ_ BQ，市二府，否二菽DP DQ CP 8Q _SC + PQ _3 DP= DQ= PQ= - BC= - AB1113+ - 2 AB ( CE ) = 2二十二了一二17 .答案：證明： EF/AB, AB/DC EF/DC. .AO&MCD, DOE DBAEQ _AE EO _ DE，近二詬，而二赤EQ EO AE DE .

29、+ = +=.-上-二二11 _ 1.，二一匚二18 .答案：證明：EF/ CD, EH / AB .小皿,"EH=" -4=4 _三二二二3 二t, ?AAFEAADC, ACEHACABAE _ EF CE _ EH而二五 AC=AB ? EF= EH產(chǎn) _EF 理 UE +AE+=一二-政19.答案：證明： EF/ AC, DE/ BC “FERCH, /蒸。=43。, ?ABFEABCA, AEDAABCBE _ EF DE _AE,ZT茄，元二冠EF 產(chǎn) BE 產(chǎn) _ 兒BE _ .工？+就一商十下一月二 一 EF= DE= a1 1 _ 120 .答案：(1)證

30、明：在平行四邊形 ABCD中，AD/ BC, / DRP=/ S, / RDB之 DBS ADRPA BSP FR DP =，匚；匚L同理由AB/ CD可證PTgPQBPT _ DP 二”PR PT(2)證明：成立，理由如下：在平行四邊形 ABCD中，AD / BC,Z PRD=Z S, Z RDP之 DBSADRPA BSPPR _ DP同理由 AB/ CDMffiAPTDAPQBPT_DP_.PQPPR _ PT. 'PSPQ,FQ FR=PS FTB D21 .答案：證明：V AB=AC, AD 是中線，AD±BC,BP=CPZ 1=Z2又 Z ABC=Z ACBZ 3

31、=Z4, CF/ ABZ 3=Z F/ 4=Z F 又 Z EPCW CPF EPS CPF理二些PC PF bP=PE，PF |即證所求22 .答案：證明：.DUAB/兩。門十/7?口心=90。.EAD+ZDBA Qn。.= yu. AEDDBA. BED=ZDEA：.AADEA DBEAS _ DE.而一詬DE2=J-BF± ACHGF+H = 90.BGE-ZEBG _ Qn 日 ABGE=ZHGF 一 <?U I L. N酩矢NH；ABED=ZDEA：.A BEG A HEABEEGEHAE.應(yīng) BE =DE2=EG&bull;EHG D23.答案：證明:四邊形

32、ABCD為平行四邊形 .AB/ CD, AD/ BC/ 1 = Z2, / G=Z H, / 5=/ 6APAHA PCGPH PA. PG =7c又/ 3=/4AAPEACPFPE FA- =PE _ PH24.答案：證明：如圖，連接 BH交AC于點E,B D CH為垂心 BEX AC / EBC-+Z BCA=90 ° ADXBCT D / DAC+Z BCA=90 °/ EBC=Z DAC又 / BDH=Z ADC=90ABDH AADCBD _ AD. DH DC ,即 SD - DC - AD- DH ./ BPC為直角，AD± BC，PD2= BD&a

33、mp;middot;DC PD2= AD&middot;DH25 .答案：證明： CD> RtA ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點CE=EB=DE/ B=Z BDE=Z FDA / B+Z CAB=90 ,° / ACD+Z CAB=90 °/ B=Z ACD/ FDA=Z ACD / F=Z F. "DAs FCDFD_AD匚一二 / ADC=Z CDB=90 ； / B=/ACDAACD ACBDAD _ AC，二二-工CFD _ AC即二尸26 .答案：證明：（1） Z ACB= Z ADC= 90°/ A+ / ACD= 90

34、°/ BCM+ /ACD= 90 °/ A= / BCM同理可得： /MDH=/MBD / CMB= / CDB+ / MBD= 90 % / MBD/ ADE= / ADC+ / MDH = 90 °+ Z MDH/ ADE= / CMBAAEDACBMAE AD由上問可知：CB CM ,即ASCMmCE故只需證明AC CDAD CS ipm. /A=/A, /ACD=/ABCAACD AABCAD_CD，而二就，即工，7七FD_FB_27 .答案：（1）將結(jié)論寫成比例的形式，F(xiàn)口 ,可以考慮證明 FDBsFCD （已經(jīng)有一個公共角/F）鼻ACD中，E是AC的中點DE=AEZ A= Z ADE / ADE=Z FDB/ A=/ FDB而 /