《信號(hào)與系統(tǒng)》講義教案-第6章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析

1、第6章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析 33第6章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析6.0 引言 與拉氏變換是連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的推廣相對(duì)應(yīng)，Z 變換是離散時(shí)間傅立葉變換的推廣。 Z 變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當(dāng)然，Z 變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。6.1 雙邊Z變換6.1.1 雙邊Z變換的定義前面討論過，單位脈沖響應(yīng)為hn的離散時(shí)間LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)輸入的響應(yīng)yn為 (6.1)其中 (6.2)式(6. 2)就稱為hn的雙邊Z變換。 當(dāng)z=時(shí)，Z變換就轉(zhuǎn)變?yōu)楦盗⑷~變換。因此一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)的雙邊Z變換定義為： (6.3)式中z是一個(gè)復(fù)變量。而xn與它的雙邊z變換之間

2、的關(guān)系可以記做 6.1.2 雙邊Z變換的收斂域xn的雙邊Z變換為一無窮級(jí)數(shù)，因此存在級(jí)數(shù)是否收斂的問題，即一方面并非所有信號(hào)的Z變換都存在；另一方面即使某信號(hào)的Z 變換存在，但并非Z平面上的所有點(diǎn)都能使X(z)收斂。那些能夠使X(z)存在的點(diǎn)的集合，就構(gòu)成了X(z)的收斂域，記為ROC。只有當(dāng)式(6.3)的級(jí)數(shù)收斂，才存在。存在或級(jí)數(shù)收斂的充分條件是 (6.4) 在xn給定的條件下，式(6.4)級(jí)數(shù)是否收斂取決于z的取值。在z復(fù)平面上，使式(6.4)級(jí)數(shù)收斂的z取值區(qū)域就是X(z)的收斂域。6.1.3 零極點(diǎn)圖如果X(z)是有理函數(shù)，將其分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式分別因式分解可以得到： (6.5)

3、則由其全部的零極點(diǎn)即可表示出，最多相差一個(gè)常數(shù)因子。在 Z 平面上表示出全部的零極點(diǎn)，即構(gòu)成的幾何表示零極點(diǎn)圖。如果在零極點(diǎn)圖上標(biāo)出ROC，則該零極點(diǎn)圖可以確定一個(gè)信號(hào)。在 Z 平面上將零點(diǎn)、極點(diǎn)表示出來即為零極點(diǎn)圖。圖 6.1 零極點(diǎn)圖例6.1 有序列，由式（6.1.3）式，它的為：要使收斂，就必須滿足，即，因此可得 (6.6)當(dāng)在0到1之間取值時(shí)，其零極點(diǎn)圖和ROC如圖6.2所示：圖 6.2 例6.1的收斂域例6.2 設(shè)，那么當(dāng)，即時(shí)，上使是收斂的，可得 (6.7)當(dāng)在0到1取值時(shí)，其零極點(diǎn)圖和ROC如下圖所示：圖 6.3 例6.2的收斂域例6.1和

4、例6.2的結(jié)論是應(yīng)該熟記的，在以后的學(xué)習(xí)將經(jīng)常用到。例6.3 設(shè)一個(gè)信號(hào)是兩個(gè)實(shí)指數(shù)序列之和于是其z變換為可得它ROC為。例6.4 信號(hào)的Z變換為 ，ROC：圖 6.4 例6.4的收斂域6.1.4收斂域的特征ROC的特征：性質(zhì)1：的ROC是Z平面內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。性質(zhì)2：ROC內(nèi)不包含任何極點(diǎn)。性質(zhì)3：如果是有限長序列，那么ROC就是整個(gè)z平面，可能除去和/或。性質(zhì)4：如果是一個(gè)右邊序列，并且的圓位于ROC內(nèi)，那么的全部有限值都在這個(gè)ROC內(nèi)。性質(zhì)5：如果是一個(gè)左邊序列，而且的圓位于ROC內(nèi)，那么滿足的全部值都一定在這個(gè)ROC內(nèi)。性質(zhì)6：如果是一個(gè)雙邊序列，而且的圓位于這個(gè)ROC內(nèi)，那么該

5、ROC一定是由包括在內(nèi)的圓環(huán)組成的。性質(zhì)7：如果的變換是有理的，那么它的就被極點(diǎn)所界定，或者延伸至無限遠(yuǎn)。性質(zhì)8：如果的變換是有理的，而且若是右邊序列，那么ROC就位于平面內(nèi)最外層極點(diǎn)的外邊；也就是半徑等于極點(diǎn)中最大模值的圓的外邊。而且若是因果序列（即為等于0的右邊序列），那么也包括。性質(zhì)9：如果的變換是有理的，而且若是左邊序列，那么ROC就位于平面內(nèi)最里層的非零點(diǎn)的里邊；也就是半徑等于中除去的極點(diǎn)中最小模值的圓的里邊，并且向圓內(nèi)延伸到可能包括。特別是若是反因果序列(即為等于0的左邊序列)，ROC那么也包括。例6.5 討論信號(hào)的Z變換。 (6.8)在時(shí)，兩部分收斂域無公共部分，表明此時(shí)不存在。

6、當(dāng)時(shí)，ROC為。如圖所示。圖 6.5 例6.5的收斂域 6.2 雙邊Z變換的性質(zhì)Z變換的許多性質(zhì)與離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)相似，其推論方法也相同。主要討論其ROC的變化。1、 線性若 ，ROC: ；，ROC: 則 ，包括 (6.9)如果在線性組合過程中出現(xiàn)零極點(diǎn)相抵消，則ROC可能會(huì)擴(kuò)大。2、 時(shí)移若 ，ROC: 則 ，ROC: （6.10)但在和可能會(huì)有增刪。當(dāng)信號(hào)時(shí)移可能會(huì)改變其因果性，故ROC在，有可能改變。3、Z域尺度變換若 ，ROC: 則 ，ROC: (6.11)因?yàn)闀r(shí)收斂，則時(shí)，收斂。所以。當(dāng)時(shí)，即為移頻特性。若是一般復(fù)數(shù)，則的零極點(diǎn)不僅要將的零極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，而且在徑向有

7、倍的尺度變化。4、時(shí)域反轉(zhuǎn)若 ，ROC: 則 ，ROC: （收斂域邊界倒置） (6.12)信號(hào)在時(shí)域反轉(zhuǎn)，會(huì)引起的零極點(diǎn)分布按倒量對(duì)稱發(fā)生改變。如果是的零/極點(diǎn)，則就是的零/極點(diǎn)。即：與的零極點(diǎn)呈共軛倒量對(duì)稱。圖 6.6給出了其示意圖。圖6.6零極點(diǎn)呈共軛倒量對(duì)稱 例如，的ROC為：，則的ROC為：。5、時(shí)域內(nèi)插 若 ，ROC: 則 ， ROC： （6.13）6、共軛對(duì)稱若 ，ROC: 則 ，ROC: （6.14）當(dāng)是實(shí)信號(hào)時(shí)，于是有。表明如果有復(fù)數(shù)零極點(diǎn)，必共軛成對(duì)出現(xiàn)。7、卷積性質(zhì)，ROC包括： （6.15）如果在相乘時(shí)出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消的情況則ROC可能擴(kuò)大。該性質(zhì)是LTI系統(tǒng)Z變換分析法的

8、理論基礎(chǔ)。8、Z域微分若 ，ROC: 則 ，ROC: （6.16）利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函數(shù)的反變換或具有高階極點(diǎn)的的反變換。例6.6 求下面的反變換:，解：因?yàn)?所以 例6.7 求下面的反變換: ，解：因?yàn)?，所以 9、初值定理若 ，則 （6.17）10、終值定理若 ，除了在可以有單階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則 （6.18）下圖為極點(diǎn)的位置與信號(hào)終值之間的關(guān)系：圖6.7 極點(diǎn)的位置與信號(hào)終值之間的關(guān)系6.3常用信號(hào)的雙邊Z變換表6.1 幾個(gè)常用的Z變換對(duì)信號(hào)變換ROC1續(xù)表6.1 幾個(gè)常用的Z變換對(duì)6.4雙邊Z反變換我們先來推導(dǎo)雙邊Z變換的反變換：因?yàn)?所以 則 令，從時(shí)，

9、 Z 沿著ROC內(nèi)半徑為 r 的圓周變化一周。所以反變換的定義為 （6.19）其中 C 是 ROC 中逆時(shí)針方向的圓周。求解雙邊Z反變換通常使用部分分式展開法和冪級(jí)數(shù)展開法。一、部分分式展開法當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，可將其展開為部分式 （6.20）步驟：1.求出的的所有極點(diǎn)；2.將展開為部分分式；3.根據(jù)總的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC；4.利用常用變換對(duì)和z變換性質(zhì)求出每一項(xiàng)的反變換。例6.8 將展開為部分分式有： 所以二、 冪級(jí)數(shù)展開法 由的定義，將其展開為冪級(jí)數(shù)，有 （6.21）展開式中項(xiàng)的系數(shù)即為。當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，可

10、以通過長除的方法將其展開為冪級(jí)數(shù)。例如：，由式（6.21）可得。6.4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.4.1 系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)卷積性質(zhì) （6.22）式中分別是系統(tǒng)輸入、輸出和單位脈沖響應(yīng)z的變換。稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。只要單位圓是在的ROC內(nèi)，將在單位圓上求值（即），就變成系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。6.4.2 系統(tǒng)函數(shù)與線性常系數(shù)差分方程考慮一個(gè)LTI系統(tǒng)，其輸入、輸出滿足下列線性方程 （6.23） 兩邊取z變換，并利用線性和時(shí)移性質(zhì)可得 于是有 （6.24）的ROC需要通過其它條件確定，如：（1）系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。（2）系統(tǒng)是否具有零初始條件等。例6.9 假設(shè)關(guān)于一個(gè)LTI系統(tǒng)給出下列信息：

11、1、若系統(tǒng)的輸入是，那么輸出是。其中a是實(shí)數(shù)。2、若,那么輸出是。求該系統(tǒng)的差分方程。解:由第一條信息，所給出的信號(hào)的z變換是于是可得：因?yàn)槭翘卣骱瘮?shù)，于是有：解得：，所以即： 因此該系統(tǒng)的差分方程為：6.4.3系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性LTI系統(tǒng)的特性可以由或描述，因而也可以由連同ROC來表征。稱為系統(tǒng)函數(shù)。1、因果性如果LTI系統(tǒng)因果，則時(shí)，所以，的ROC是最外部極點(diǎn)的外部，并且包括。2、穩(wěn)定性若LTI系統(tǒng)穩(wěn)定，則，則的傅立葉變換存在。表明單位圓在的ROC內(nèi)。即的ROC必包括單位圓。因此，因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)其的全部極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，反之亦然。當(dāng)是關(guān)于Z的有理函數(shù)時(shí)，因果性要求的分子階數(shù)不能高

12、于分母階數(shù)。例6.10 已知一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為試確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。若，用z變換確定上述系統(tǒng)的輸出。解：的變換為所以極點(diǎn)為，收斂域?yàn)?。的變換為所以于是得：6.4.4 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)圖與頻率響應(yīng)的幾何求值當(dāng)ROC包括時(shí)，Z變換在單位圓上的情況就是，因此也可以利用零極點(diǎn)圖對(duì)其進(jìn)行幾何求值。其方法與拉氏變換時(shí)類似：考查動(dòng)點(diǎn)在單位圓上移動(dòng)一周時(shí)，各極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量的長度與幅角變化的情況，即反映系統(tǒng)的頻率特性。 （6.25）， （6.26） （6.27）由零極點(diǎn)圖所做的矢量，如圖6.8所示。圖6.8 零極點(diǎn)圖的矢量示意圖例6.11 一階系統(tǒng)：,其，則當(dāng)時(shí)，ROC包括單位圓。相應(yīng)的頻率響應(yīng)為，

13、模記為 顯然， 取決于的變化。 圖6.9 時(shí)的矢量示意圖 圖6.10 時(shí)的矢量示意圖當(dāng)時(shí)，在處最大，時(shí)，最小，呈單調(diào)變化 圖6.11 時(shí)頻率響應(yīng)的模特性圖和相位特性圖當(dāng)時(shí)，頻率響應(yīng)的模特性圖和相位特性圖為 圖6.12 時(shí)頻率響應(yīng)的模特性圖和相位特性圖可以看出：越小，極點(diǎn)靠原點(diǎn)越近，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)越平緩，系統(tǒng)的衰減越快，上升越快。越大，極點(diǎn)靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。6.5 系統(tǒng)的方框圖表示6.5.1 系統(tǒng)的互聯(lián)1、 級(jí)聯(lián)，ROC包括： （6.28）2、 并聯(lián)，ROC包括： （6.29）3、 反饋聯(lián)接：，ROC包括： （6.30） （a）

14、級(jí)聯(lián) （b）并聯(lián) （c）反饋聯(lián)接圖6.13 系統(tǒng)的互聯(lián)6.5.2 由線性常系數(shù)差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示由線性常系數(shù)差分方程描述的LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，可以將其因式分解或展開為部分分式。不同的分解對(duì)應(yīng)不同系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，下面介紹由系統(tǒng)函數(shù)來設(shè)計(jì)LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)。1、 級(jí)聯(lián)型將因式分解 （6.31）其中是二階（或一階）系統(tǒng)函數(shù)。由此即可得系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)：圖6.14 系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)2、 并聯(lián)型將展開為部分分式 （6.32）圖6.15 系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)6.6 單邊Z變換6.6.1單邊Z變換舉例我們先給出單邊Z變換的定義： （6.33）單邊Z變換是雙邊Z變換的特例，也就是因

15、果信號(hào)的雙邊Z變換。因此單邊Z變換的ROC一定是最外部極點(diǎn)的外部，并包括。所以在討論單邊Z變換時(shí),不再強(qiáng)調(diào)其ROC。它的反變換也一定與雙邊Z變換的反變換一致： （6.34）如果信號(hào)不是因果序列，則其與不同。例6.12 分析信號(hào)的Z變換。，；     ，顯然 。例6.13 分析信號(hào)的Z變換。，；    ，顯然 ，這是因?yàn)樵诘牟糠謱?duì)雙邊Z變換起作用，而對(duì)單邊Z變換不起作用所致。6.6.2單邊Z變換性質(zhì)單邊Z變換除了時(shí)移特性與雙邊Z變換略顯不同外，其它性質(zhì)與雙邊Z變換的情況是一致的，只要所涉及的信號(hào)是因果信號(hào)。

16、時(shí)移特性：如果 則 （6.35）證明： 同理可得： （6.36） （6.37）單邊Z變換在將線性常系數(shù)差分方程變換為代數(shù)方程時(shí)，可以自動(dòng)將方程的初始條件引入，因而在解決增量線性系統(tǒng)問題時(shí)特別有用。6.6.3利用單邊Z變換分析增量線性系統(tǒng)我們用一個(gè)例子來說明單邊Z變換在分析增量線性系統(tǒng)時(shí)的應(yīng)用。例6.14 已知某離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出方程為，當(dāng)輸入信號(hào)為時(shí)，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。已知。解： 方程兩邊同時(shí)求單邊Z變換，則有， 所以 習(xí)題六6.1設(shè)信號(hào)為為利用（6.3）式求該信號(hào)的變換，并標(biāo)出對(duì)應(yīng)的收斂域。6.2設(shè)xn是一個(gè)絕對(duì)可和的信號(hào)，其有理變換為。若已知在有一個(gè)極點(diǎn)，能夠是(a) 有限長信號(hào)嗎？

17、（b）左邊信號(hào)嗎？ （c）右邊信號(hào)嗎？ （d）雙邊信號(hào)嗎？6.3已知利用部分分式展開求下面的反變換： 6.4 求出下列每個(gè)序列的變換，畫出零極點(diǎn)圖，指出收斂域，并指出序列的傅立葉變換是否存在。（a）（b）6.5有一矩形數(shù)列設(shè)（a） 求信號(hào)，并直接計(jì)算它的z變換。（b） 注意到 利用表6.1求的變換。6.6考慮穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的下列系統(tǒng)函數(shù)，不用求反變換，試判斷是否是因果的系統(tǒng)。（a）（b） （c）6.7關(guān)于一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為，變換為的LTI系統(tǒng)S，已知下列5個(gè)事實(shí)：1是實(shí)序列。2是右邊序列。34有兩個(gè)零點(diǎn)5的極點(diǎn)中有一個(gè)位于圓上的一個(gè)非實(shí)數(shù)位置。試回答下列兩個(gè)問題：（a） S是因果的嗎？ （b）S是穩(wěn)定的嗎？6.8 （a）求由差分方程 表示的因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（b） 若為 用z變換求。6.9考慮