汽車租賃問題

1、承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則 .我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反 競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲?/p>

2、整的全名）：參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：日期：年 月日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）2013高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：汽車租賃問題摘要本文研究的是汽車租賃的問題。擁有94輛可供出租的汽車和10個(gè)代理點(diǎn)的 某公司想根據(jù)第二天早晨汽車租賃的需求量和前一天晚上各代理點(diǎn)擁有的汽車 數(shù)確立一個(gè)調(diào)度分配汽車的方法，使得運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低。針對(duì)這個(gè)問題，我

3、們作以下研究，并在分析中得出結(jié)論。首先，我們利用 Excel的求和，求出汽車的總需求量等于當(dāng)前的總擁有量（供等于求） ，所以汽 車的總數(shù)量剛好能滿足要求。擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能轉(zhuǎn)移出多余的車 輛，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還要從別的代理點(diǎn)重新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛， 這樣會(huì)使 轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多，因此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出，不可能某 個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的。第一種方法是在分析中得出結(jié)果，最后再利用簡(jiǎn)單的 求和求解；第二種是把它化為規(guī)劃問題，利用 Lingo求解。運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值 W，最小值為163.761歐元。當(dāng)代理點(diǎn)5轉(zhuǎn)運(yùn)出3輛汽車到代理點(diǎn)4; 543輛代理點(diǎn)9轉(zhuǎn)運(yùn)出2輛汽車到代理點(diǎn)

4、1; 912輛代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車帶代理點(diǎn)3; 933輛代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車帶代理點(diǎn)10: 9101輛代理點(diǎn)8轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車到代理點(diǎn)10; 8104輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)3; 231輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出5輛汽車到代理點(diǎn)6; 265輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)7。271輛關(guān)鍵字:汽車租賃Excel運(yùn)轉(zhuǎn)成本最小Lingo一、問題重述汽車租賃業(yè)被稱為“朝陽(yáng)產(chǎn)業(yè)”，它因?yàn)闊o(wú)須辦理保險(xiǎn)、無(wú)須年檢維修、車 型可隨意更換等優(yōu)點(diǎn)，以租車代替買車來(lái)控制企業(yè)成本的管理方式， 正慢慢受到 國(guó)內(nèi)企事業(yè)單位和個(gè)人用戶的青睞。無(wú)論是從中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)的走向趨勢(shì)還是 微觀的社會(huì)基礎(chǔ)來(lái)看，汽車租賃行業(yè)都有著無(wú)比

5、光明的發(fā)展前途。中國(guó)汽車租賃業(yè)于1989年起源于北京，到2008年6月底，中國(guó)13個(gè)中心 城市的汽車租賃企業(yè)已經(jīng)發(fā)展到 800多家，但運(yùn)營(yíng)車輛僅4.5萬(wàn)輛，其中80%的 企業(yè)運(yùn)營(yíng)車輛不足50輛。面對(duì)汽車租賃業(yè)如此光明的市場(chǎng)前景，汽車租賃公司 該如何安排經(jīng)營(yíng)，才能使自己獲得最大利潤(rùn)，在汽車租賃行業(yè)中具有一席之地， 這是汽車租賃公司迫切關(guān)注的問題。所以我們對(duì)汽車租賃公司各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào) 度分配汽車進(jìn)行分析，并且建立模型，解決運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低問題。有一小型汽車租賃公司，該公司有94輛可供出租的汽車，分布于10個(gè)代理 點(diǎn)中.每個(gè)代理點(diǎn)的位置都將以地理坐標(biāo) X和Y的形式給出，單位為英里.假 定兩個(gè)代理點(diǎn)之間

6、的距離約為它們之間歐氏距離 （即最短距離）的1.3倍.下表給 出了各個(gè)代理點(diǎn)的位置坐標(biāo)，以及第二天早晨汽車租賃的需求量和前一天晚上各 個(gè)代理點(diǎn)擁有的汽車數(shù).表1車輛租賃代理點(diǎn)信息代理點(diǎn)12345678910X0201830353355112Y坐標(biāo)02010120252710015汽車需求量10681197157912當(dāng)前擁有量813481221411157假定汽車運(yùn)轉(zhuǎn)的成本為每輛車每英里 0.50歐元，請(qǐng)找出如何在各個(gè)代理點(diǎn)之 間調(diào)度分配汽車才能夠滿足各處的需求，并且使運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低.問題分析隨著汽車租賃行業(yè)的蓬勃發(fā)展，要想在在汽車租賃行業(yè)中具有一席之地， 這 是汽車租賃公司迫切關(guān)注的問題。所以

7、我們對(duì)汽車租賃公司各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào)度 分配汽車進(jìn)行分析，并且建立模型，解決運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低問題。我們利用Excel的求和，求出汽車的總需求量等于當(dāng)前的總擁有量 （供等于 求），所以汽車的總數(shù)量剛好能滿足要求。擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能出多 余的車輛，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還要從別的代理點(diǎn)從新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多，因此此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出不 可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的。利用兩代理點(diǎn)間的距離（兩點(diǎn)間距離的1.3倍）計(jì)算出運(yùn)轉(zhuǎn)成本，運(yùn)用Excel計(jì)算或Lingo求解。三、模型的假設(shè)和約定1、假定兩個(gè)代理點(diǎn)之間的距離約為它們之間歐氏距

8、離 （即最短距離）的1.3倍2、假設(shè)汽車的轉(zhuǎn)運(yùn)成本僅與距離有關(guān)，不考慮汽車在轉(zhuǎn)運(yùn)途中的損耗。3、題目所給的各代理點(diǎn)的位置都是真實(shí)可靠的。4、假設(shè)汽車只從多的代理點(diǎn)往少的代理點(diǎn)轉(zhuǎn)運(yùn)。5、若代理點(diǎn)的擁有量和需求量相等時(shí)，該代理點(diǎn)將不再參與汽車的轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)。四、符號(hào)的說明及名詞的定義X代理點(diǎn)的橫坐標(biāo)Y代理點(diǎn)的縱坐標(biāo)M總運(yùn)轉(zhuǎn)成本W(wǎng)總運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值Xj （第二問）從I代理點(diǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)到J代理點(diǎn)的車輛數(shù)Cij代理點(diǎn)I和代理點(diǎn)J之間的歐氏距離Lj代理點(diǎn)I和代理點(diǎn)J之間的距離Tj （第一問）從代理點(diǎn)I到代理點(diǎn)J運(yùn)轉(zhuǎn)的車輛數(shù)Smn轉(zhuǎn)運(yùn)出的代理點(diǎn)m到各轉(zhuǎn)運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)n的距離五、模型的建立從所要解決的問題和模型的假設(shè)條件

9、出發(fā)， 我們建立了 一個(gè)模型并對(duì)其進(jìn)行 求解。首先將該汽車租賃公司10個(gè)代理點(diǎn)的位置在圖中標(biāo)識(shí)（利用 Excel）, 如下圖所示：車輛租賃代理點(diǎn)分布圖4035302520151050代理點(diǎn)7- 代理點(diǎn)6- 代理點(diǎn)2- 代理點(diǎn)10代理點(diǎn)4-代理點(diǎn)8代理點(diǎn)3代理點(diǎn)1代理點(diǎn)9代理點(diǎn)5卜I 4liIIII0510152025303540模型一：(1)問題的分析:利用Excel求出該公司的汽車總擁有量和汽車總需求量，還有各 個(gè)代理點(diǎn)的擁有量與需求量的差，表格如下圖所示：代理點(diǎn)需求量當(dāng)前擁有量擁后量-需求量1108-226137384-44118-359123672-571514-187114991561

10、0127-5總計(jì)94940由表格中分析得到：該公司的汽車總需求量與汽車總擁有量相等，代理點(diǎn) 1 需轉(zhuǎn)移進(jìn)2輛，代理點(diǎn)2需轉(zhuǎn)移出7輛，代理點(diǎn)3需轉(zhuǎn)移進(jìn)4輛，代理點(diǎn)4需轉(zhuǎn) 移進(jìn)3輛，代理點(diǎn)5需轉(zhuǎn)移出3輛，代理點(diǎn)6需轉(zhuǎn)移進(jìn)5輛，代理點(diǎn)7需轉(zhuǎn)移進(jìn) 1輛，代理點(diǎn)8需轉(zhuǎn)移出4輛，代理點(diǎn)9需轉(zhuǎn)移出6輛，代理點(diǎn)10需轉(zhuǎn)移5輛。擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能出多余的車輛，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還 要從別的代理點(diǎn)從新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多， 因此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的(證明見 附錄1)。各代理點(diǎn)的進(jìn)與出如下圖所示：(2)公式推導(dǎo):Co Xi X j

11、2 Yi (i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ; j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)2Yj ；10 10M i 1 j 1(i=2,5,8,9; j=1,3,4,6,7,10(3)模型建立:10W min i 1101.3cJTij 0.5 ；(i=2,5,8,9; j=1,3,4,6,7,10利用Excel求出I代理點(diǎn)到J代理點(diǎn)之間的歐氏距離 Cj，結(jié)果 如下圖所示各代理點(diǎn)之間的歐式距離 cj代理 點(diǎn)123456789101028.2842720.5912632.310993541.4004827.4590611.180341115.13275228.28427010

12、.1980412.806252513.9283916.5529518.0277621.9317118.68154320.5912610.19804012.1655319.7230821.213221.400931312.2065616.76305432.3109912.8062512.1655301313.3416629.1547625.0798722.4722128.160265352519.7230813025.0798740.3608731.622782436.24914641.4004813.9283921.213213.3416625.07987028.0713431.7647633

13、.3016532.57299727.4590616.5529521.4009329.1547640.3608728.0713401727.6586312.36932811.1803418.027761325.0798731.6227831.7647617011.66195.83095291121.9317112.2065622.472212433.3016527.6586311.6619017.492861015.1327518.6815416.7630528.1602636.2491432.5729912.369325.83095217.492860利用Excel篩選出各轉(zhuǎn)運(yùn)出的代理點(diǎn) m(

14、m=2,5,8,9)到各轉(zhuǎn)運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)n (n=1,3,4,6,7,10 )的歐氏距離Smn ;結(jié)果如下表所示：代理點(diǎn)1346710228.2842710.1980412.8062513.9283916.5529518.6815453519.723081325.0798740.3608736.24914運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)811.180341325.0798731.76476175.83095291112.2065622.4722133.3016527.6586317.49286運(yùn)出的 代理點(diǎn)其中用紅色標(biāo)注的是從代理點(diǎn) M到代理點(diǎn)N的最小距離，用黃色標(biāo)注的是從 代理點(diǎn)N到代理點(diǎn)M的最小值。再結(jié)合代理點(diǎn)

15、的轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)出分布圖，分析出：當(dāng)代理點(diǎn)5轉(zhuǎn)運(yùn)出3輛汽車到代理點(diǎn)4; 5 43輛代理點(diǎn)9轉(zhuǎn)運(yùn)出2輛汽車到代理點(diǎn)1; 9 12輛代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車帶代理點(diǎn)3; 934輛代理點(diǎn)8轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車到代理點(diǎn)10; 8 10 4輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)10; 2101輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出5輛汽車到代理點(diǎn)6; 265輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)7。271輛運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值WW 1.3 0.5 13 3 11 2 12.21 4 5.83 4 18.68 1 13.93 6 16.55 1 解得：W 163.761 （歐元）模型二：線性規(guī)劃問題(1)問題分析：擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能出多余的車輛

16、，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還 要從別的代理點(diǎn)從新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多， 因此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的(證明見 附錄1)。各代理點(diǎn)的進(jìn)與出的車輛數(shù)如下圖所示：(運(yùn)進(jìn) 運(yùn)出的 車輛數(shù)) 代理點(diǎn)1 (2)3 (4)4 (3)6 (5)7 (1)10 (5)2 (7)28.2842710.1980412.80625 13.9283916.5529518.681545 (3)3519.723081325.0798740.3608736.249148 (4)11.180341325.07987 :31.76476175.8309529 (6)

17、1112.2065622.47221 :33.3016527.6586317.49286運(yùn)出的代理點(diǎn)運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)(2)公式推導(dǎo)與模型建立:目標(biāo)函數(shù):28.28427 k#35 x5i + 11.18034 X8i + 11 X9i10.19804 x23+ 19.72308 X53 + 13 x83+ 12.20656 x93Min 12.80625 x24 + 13 x54 25.07987 4 + 22.47221 x9413.92839 x26 + 25.07987 x56 +31.76476 x86 +33.30165 x9616.55295 x27 +40.36087 x57 + 1

18、7 x87 + 27.65863 x9718.68154+36.24914+ 5.830952+17.49286x 210x 510x 810x1 910約束條件:X21X 23X24X 26X 27X2107X51X 53X54X 56X 57X5103X81X 83X84X 86X 87X8104X91X 93X94X 96X 97X9106X21X 51X81X 912X23X 53X83X 934X24X 54X84X 943X26X 56X8X 965X27X 57X87X 971X210X 510X810X5910Xij 0且 Xj Z (i=2,5,8,9 ; j=1,3,46,

19、7,10)(3)模型求解：利用Lingo求解(程序見附錄2),結(jié)果如下表所示:X210.00000019.29279X510.00000025.81477X810.00000011.84225X912.0000000.000000X231.0000000.000000X530.0000009.331290X830.00000012.45535X933.0000000.000000X240.0000000.000000X543.0000000.000000X840.00000021.92701X940.0000007.657440X265.0000000.000000X560.00000010.

20、95773X860.00000027.48976X960.00000017.36474X271.0000000.000000X570.00000023.61417X870.00000010.10044X970.0000009.097160X2100.0000003.197200X5100.00000020.57105X8104.0000000.000000X9101.0000000.000000W運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值234.829 1.3 0.5152.6388各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào)度分配汽車的方法是:當(dāng)代理點(diǎn)5轉(zhuǎn)運(yùn)出3輛汽車到代理點(diǎn)4; 543輛代理點(diǎn)9轉(zhuǎn)運(yùn)出2輛汽車到代理點(diǎn)1; 912輛代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)

21、運(yùn)出4輛汽車帶代理點(diǎn)3; 933輛代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車帶代理點(diǎn)10: 9101輛代理點(diǎn)8轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車到代理點(diǎn)10; 8104輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)3; 231輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出5輛汽車到代理點(diǎn)6; 265輛代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)7。271輛模型一與模型二進(jìn)行對(duì)比：模型二的運(yùn)轉(zhuǎn)成本比較低，所以我們最后采用模 型二的方法。六、模型評(píng)價(jià)(1)模型優(yōu)點(diǎn)：1、運(yùn)用了一些圖形與表格，用數(shù)形結(jié)合法來(lái)進(jìn)行分析，使模型思路更 清晰，更有說服力；2、通過利用數(shù)學(xué)工具和Lingo嚴(yán)格的對(duì)模型求解，具有科學(xué)性；3、本文用的數(shù)學(xué)方法都比較簡(jiǎn)單易懂，方便方案的利用；4、合理的假設(shè)，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，

22、抽象問題具體化；、運(yùn)用兩種方法進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，優(yōu)化方案。(2)模型的缺點(diǎn):1、論文文字不夠嚴(yán)謹(jǐn)，有待提高；2、方法一的最終結(jié)果是在結(jié)合分析的基礎(chǔ)上得到的，太過于理想化;七、參考文獻(xiàn)1歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福林，陳傳璋，數(shù)學(xué)分析，北京：高等教育出版社, 2007。2王正東，數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：科學(xué)出版社，2004。3胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)習(xí)題，北京：清華大學(xué)出版社，2004。4周華任，運(yùn)籌學(xué)解題指導(dǎo)，北京：清華大學(xué)出版社，2006。5姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003。6胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，20087楊啟帆，數(shù)學(xué)建模，北京：高等教育出版社，2005年。八、附錄附錄1：證明一個(gè)猜想：要是運(yùn)轉(zhuǎn)成本低，代理點(diǎn)只能轉(zhuǎn)進(jìn)，或轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的。如上圖所示：假如 AB=X1 BC=X2 CA=X3且X