（整理版）一招通解“二面角”和“點到平面的距離”

1、一招通解“二面角和“點到平面的距離求“二面角與“點到平面的距離“統(tǒng)一求解公式，讓你一招通解兩類問題，定理：如下列圖，假設銳二面角的大小為，點a為平面內(nèi)一點，假設點a到二面角棱cd的距離為，點a到平面的距離ah=d，那么有。說明：中含有3個參數(shù)，其中任意2個可求第3個值。其中是指二面角的大小，d表示點a到平面的距離，m表示點a到二面角棱cd的距離。值得指出的是：可用來求解點到平面的距離，也可用于求解相關的二面角大小問題。其優(yōu)點在于應用它并不強求作出經(jīng)過點a的二面角的平面角abh，而只需點a到二面角棱的距離，與二面角大小，即可求解點a到平面的距離，或兩種“距離即可求二面角的大小。這樣便省去了許多作

2、圖過程與幾何邏輯論證，簡縮了解題過程。還要注意，當點a到平面的距離d與點a到二面角棱cd的距離m求解二面角的大小時，假設所求二面角為銳二面角，那么有；假設所求二面角為鈍二面角，那么下面舉例說明該公式在解題中的應用。例1. 全國卷i理科20題如下列圖，四棱錐p-abcd，pbad，側(cè)面pad為邊長等于2的正三角形，底面abcd為菱形，側(cè)面pad與底面abcd所成的二面角為120°。1求點p到平面abcd的距離；2求面apb與面cpb所成二面角的大小。分析：如上圖，作po平面abcd，垂足為o，即po為點p到平面abcd距離。第1問要求解距離po，只需求出點p到二面角p-ad-o的棱ad

3、的距離，及二面角p-ad-o的大小即可。第2問要求解二面角a-pb-c的大小，只需求出點c到二面角a-pb-c棱pb的距離及點c到半平面apb的距離即可。解：1如上圖，取ad的中點e，連結(jié)pe。由題意，pead，即。又二面角p-ad-o與二面角p-ad-b互補，所以二面角p-ad-o的大小為60°，即。于是由公式知：點p到平面abcd的距離為。2設所求二面角a-pb-c的大小為，點c到平面pab的距離為d。連接be，那么bead三垂線定理，ad平面peb，因為adbc，所以bc平面peb，bcpb，即點c到二面角棱pb的距離為2，即m=2。又因為pe=be=，peb=120°

4、;，所以在peb中，由余弦定理可求得pb=3。取pb的中點f，連結(jié)af，因為pa=ab=2，那么afpb，所以，即。又易求得，點p到平面abc的距離：。根據(jù)等體積法，有，即，所以，代入公式。又由于面pbc面peb，所以所求二面角a-pb-c為鈍二面角，所以點評：對于這個高考試題，許多考生反映第2問求解困難，失分較為嚴重。究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時存在計算障礙。利用公式求解，省去了許多繁難的作圖過程與邏輯論證，其優(yōu)勢顯而易見。例2. abcd是邊長為4的正方形，e、f分別是ab、ad的中點，gc垂直于abcd所在的平面，且gc=2，求點b到平面efg

5、的距離。分析：欲求點b到平面gef的距離，直接求解較困難。為此我們令平面gef作為某二面角的一個半平面，當然二面角的另一個半平面即為平面bef，為此我們只需找到該二面角的平面角及點b到二面角棱ef的距離即可。解：如下列圖，過b作bpef，交ef的延長線于p，連結(jié)ac交ef于h，連結(jié)gh，易證ghc就是二面角g-ef-c的平面角。又，這就是點b到二面角c-ef-g棱ef的距離因為gc=2，所以，gh=，在rtgch中，于是由得所求點b到平面gef的距離：。例3. 斜三棱柱abc-a1b1c1的側(cè)面a1acc1與底面abc垂直，abc=90°，bc=2，且aa1a1c，aa1=a1c。求

6、頂點c與側(cè)面a1abb1的距離。分析：如下列圖所示，解答好此題的關鍵是找到底面abc的垂線a1d，找到了底面的垂線a1d，就可根據(jù)三垂線定理，作出側(cè)面a1abb1與底面abc所成二面角的平面角a1de，求出二面角a1-ab-c的平面角大小，就可依據(jù)公式找到點d到平面a1abb1的距離d，進而根據(jù)d為ac中點，也就不難求出點c到側(cè)面a1abb1的距離。解：如上圖，在側(cè)面a1acc1內(nèi)，作a1dac，垂足為d，因為aa1=a1c，所以d為ac的中點。又因為aa1a1c，a1d=ad=。因為側(cè)面a1acc1底面abc，其交線為ac，所以a1d面abc。過d作deab，垂足為e，連接a1e，那么由a1d面abc，得a1eab三垂線定理，所以a1ed為側(cè)面a1abb1與面abc所成二面角的平面角。由，abbc，得edbc，又d是ac的中點，bc=2，所以de=1，故a1ed=60°。于是由公式知，點d到側(cè)面a1abb1的距離。又點d為ac的中點，故而點c到側(cè)面a1abb1的距離為點d到側(cè)面a1abb1距離的2倍，于是知點c到側(cè)面a1abb1的距離為。點評：