2[1].2.圓錐曲線的參數(shù)方程

1、1.1.橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程一、知識(shí)回顧222()()xaybr問題:圓的參數(shù)方程是什么?是怎樣推導(dǎo)出來的?122rbyraxsincos:rbyrax令)(sincos:為參數(shù)得rbyrax問題問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓你能仿此推導(dǎo)出橢圓 的參數(shù)方程嗎？的參數(shù)方程嗎？12222byax12222byax122byaxsincosbyax令)(sincos為參數(shù)byax這就是橢圓的參數(shù)方程這就是橢圓的參數(shù)方程 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連接為大圓上的任意一點(diǎn)，連接OA,與小

2、圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的的軌跡參數(shù)方程軌跡參數(shù)方程. OAMxyNB分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)相同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過的坐標(biāo)可以通過引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系. 設(shè)設(shè)XOA=OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, M(x, y), 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡參數(shù)

3、方程參數(shù)方程. . sinbycosax)( 為參數(shù)為參數(shù) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. . 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連接為大圓上的任意一點(diǎn)，連接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的的軌跡參數(shù)方程軌跡參數(shù)方程. 1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓的參是橢圓的參 數(shù)方程數(shù)方程.co

4、sxasinyb2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分分別是橢圓的長半軸長和短半軸長別是橢圓的長半軸長和短半軸長. ab另外另外, 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù)的取值范圍是的取值范圍是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸cos ,sin .xbYya焦點(diǎn)在 軸OAMxyNB知識(shí)歸納知識(shí)歸納橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :12222byax橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :)(sinbycosa為為參參數(shù)數(shù) xxyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2)(sinycos為為

5、參參數(shù)數(shù) rrx的幾何意義是的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程與與橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程中中參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義MOXYN(x,y)(sincos為參數(shù)ayax)(sincos為參數(shù)byaxABOXYNM(x,y) 為為OX軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與OM重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度 并非并非為為OX軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與與OM重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度是是AOX=,不是不是MOX=.【練習(xí)【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy2

6、2116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx練習(xí)練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是是參數(shù)參數(shù)) ，則此橢圓的長軸長為（，則此橢圓的長軸長為（ ），短軸長為），短軸長為（ ），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ），離心率是），離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線到直線 l：x+

7、2y-10=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.22204936xymxy000,M(,)mxy消元，利用，求出及切點(diǎn)0025xymdM(3cos ,2sin ),設(shè)|3cos4sin -10|5d則小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的

8、距離最小.分析分析23cos()2sinxy橢圓參數(shù)方程為：為參數(shù)34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中滿足05d當(dāng)=0時(shí), 取最小值，0098coscos,2sin2sin55此時(shí)339 8M( , )210055 5Mxy時(shí)，點(diǎn)與直線的距離取最小值。例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內(nèi)接矩形面積求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值的最大值.22221(0)xyabab解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形當(dāng)時(shí)，最大。所以橢圓內(nèi)接矩形面積

9、的最大值為所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab.2sin2ab2ab例例3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:解 由橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P(3cos ,2sin)PAB即求點(diǎn)到直線的距離的最大值。,ABCABPS面積一定 需求 S最大即可132xy直線AB的方程為：22|cossin6 |23d6662 sin()1413,d當(dāng)=時(shí)有最大值 面積最大.4322P這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)2360 xy2.2.雙曲線的參數(shù)方程雙曲

10、線的參數(shù)方程aoxy)MBABA雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程探究：雙曲線探究：雙曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程22221xyabb12,Oa bC C以原點(diǎn) 為圓心，為半徑分別作同心圓1,ACOAOxOA設(shè) 為圓上任意一點(diǎn)，作直線設(shè)為始邊，為終邊的角為1AC過點(diǎn) 作圓 的切線AA與x軸交于點(diǎn)A ,22.CC過圓與x軸的交點(diǎn)B作圓的切線BB與直線OA交于點(diǎn)B過點(diǎn)A ,B分別作y軸,x軸的平行線A M,BM交于點(diǎn)M.aoxy)MBABA雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程b( , )M x y設(shè)( ,0),( , ).A xB b y則1AC點(diǎn) 在圓上A(acos ,asin ).OAAAOA AA

11、又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：又點(diǎn)B在角 的終邊上，tan.yb由三角函數(shù)定義有：tanyb1seccos記secxaxaMybsec()tan點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是為為參參數(shù)數(shù)AA=(x-acos ,-asin )sec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)

12、質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.aoxy)MBABAb雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過過點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？OBMAxy.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)（asec ,b

13、tan為）,b將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，點(diǎn)B的橫坐cta2標(biāo)n為）.ba設(shè) AOx= ,則tan.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可見，平行四邊形的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無關(guān)。tan(sec ).bybxaMAa 則直線的方程為： 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 sec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b2222221secta

14、n1xyab注意：雙曲線：的參數(shù)方程實(shí)質(zhì)是由三角恒等式而代換得來的sec()tanyaxb為參數(shù)2a222yx-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b為離心角注意:雙曲線還有什么參數(shù)方程?1()1xtttytt 為參數(shù)()ttttxeetyee 為參數(shù)3.3.拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程xyoM(x,y)22.(1)ypx設(shè)拋物線的普通方程為tan .(2)yx由三角函數(shù)的定義可得(1),(2), x y由解出，(1)()這就是拋物線不包括頂點(diǎn)的參數(shù)方程1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 則為參數(shù)有拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程22tan()2tanpxpy得到

15、為參數(shù)(0,0)0t ，由參數(shù)方程表示的點(diǎn)正好就是拋物線的頂點(diǎn)當(dāng)時(shí)2(,2()2)xpttyptt 為當(dāng)時(shí)，參數(shù)方程就參數(shù)表示拋物線。t參數(shù) 表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。M拋物線上任意點(diǎn) （x,y)MOX220)ypx p拋物線（的參數(shù)方程為：22()2xpttypt 為參數(shù)t參數(shù) 的幾何意義-拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn) 與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。22(0)?xpy p思考：怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線 的參數(shù)方程22tan()2tanxpyp為參數(shù)tan,(,)tt 如果令22()2xpttypt為參數(shù)t參數(shù) 的幾何意義-拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn) 與原點(diǎn)

16、連線的斜率。22(0)xpy p拋物線 的參數(shù)方程為：22()2xpttypt為參數(shù)拋物線的參數(shù)方程22()2xpttypt 為參數(shù)t拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線參數(shù) 的幾的斜率何意義：的倒數(shù)。220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 為參數(shù)t拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原參點(diǎn)數(shù) 的幾何意義：連線的斜率。22(0)xpy p22()2xpttypt為參數(shù)拋物線的參數(shù)方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 為參數(shù)xyoBAM2,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例、如圖 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且并于相交于點(diǎn)，

17、求點(diǎn)的軌跡方程。( , ),M x y解：設(shè)點(diǎn)211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t,OAOB2,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例、如圖 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且并于相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px t

18、tpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2),AMxptypt222(2,2)MBptxpty,A M B且三點(diǎn)共線，221221(2)(2)(2)(2)xptptyptxypt121 2()20.(3)y ttpt tx即：(1),(2)(3),()20yypxx將代入得到:2220(0)xypxx即M這就是點(diǎn)的軌跡方程22211(2)(2)OAptpt由例可得:22222(2)(2)OBptpt21121p tt,?A BAOB在例題中，點(diǎn)在什么位置時(shí)，的面積最小？最小值探：是多少究12AOBSOA OB22221p tt2221222ptt2221 2122(1) (1)p

19、 t ttt22122()4ptt24p12tt 當(dāng)且僅當(dāng)，,A Bx即當(dāng)點(diǎn)關(guān)于 軸對稱時(shí)，AOB的面積最小，24.p最小值為21212121212121221()2, ,11xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt 、若曲線為參數(shù) 上異于原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別是則弦所在直線的斜率是（ ）、， 、， 、， 、c練習(xí)：練習(xí)：22111222(2,2),(2,2)MptptMptpt解：設(shè)112222122222M Mptptkptpt121tt20022( 1,0)MyxMPM MP、設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，給定點(diǎn)，點(diǎn) 為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn) 的軌跡方程。練習(xí)：練習(xí)：( , )P x y解：設(shè)22Myx為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，22,2)Mptpt可設(shè) （00( 1,0)MPM M又定點(diǎn)，點(diǎn) 為線段的中點(diǎn)，2212(22ptxtpty為參數(shù)）, tP消參數(shù)得點(diǎn) 的軌跡方程：2.2pypx練習(xí)練習(xí)41、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線在曲線 上變化