湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學院單招數(shù)學模擬試題(附答案解析)

1、、選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，共40分.1 .若復數(shù)邑的實部與虛部相等，則實數(shù) a () A2i(A)1(B) 1(C)2(D) 2一，2 f (x)2 .已知 f(x 1) 一(L,f(1) 1 (x N*),猜想 f(x)的表達式為().f(x) 24.2.1.2A. f(x) -B. f(x) C. f(x) D. f(x) 22x 1x 12x 13 .等比數(shù)列an中，a1 0,則a %"是a'3 a6”的B(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件4 .從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A, B, C,

2、D四項不同的工作，每人承擔一項.若甲、乙二人均不能從事A工作，則不同的工作分配方案共有B(A) 60種(B) 72 種(C) 84 種(D) 96種5 .已知定義在R上的函數(shù)f(x)的對稱軸為x 3,且當x 3時，f(x) 2x 3 .若函數(shù)f(x)在區(qū)間(k 1,k) (k Z)上有零點，則k的值為A(A) 2 或 7(B) 2 或 8(C) 1 或 7(D) 1 或 8x (0,6 .已知函數(shù)f(x) log2x 2log 2(x c),其中c 0 .若對于任意的f (x) 1 ,則c的取值圍是D1(A) (0,41,1 4,)。(相Word文檔7 .已知函數(shù)f (x) ax3 bx2 2

3、(a 0)有且僅有兩個不同的零點x1A.當 a 0時，x1 x2 0, x1x20 B.當 a 0時，x1 x2 0, x1x2 0C.當 a 0 時，x1 x2 0x1x20 D.當 a 0時，x1x20, x1x208 .如圖，體 ABCD A1B1c1D1中，P為底面ABCD上的動點，PE AC于E ,且PA PE ,則點P的軌跡是A(A)線段(C)橢圓的一部分(B)圓弧 (D)拋物線的一部分第II卷(非選擇題共110分)二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9 .設(shè)等差數(shù)列an的公差不為0 ,其前n項和是a .若S2 S3, Sk 0 ,則k 522 6310 .(x2

4、一)6的展開式中x的系數(shù)是160 x11 .設(shè)a 0.若曲線y Jx與直線x a, y 0所圍成封閉圖形的面積為 a2,則 a .12 .在直角坐標系xOy中，點B與點A( 1,0)關(guān)于原點。對稱.點P(x°, y°)在拋物線y2 4x上，且直線 AP與BP的斜率之積等于2,則x0 1 J213 .數(shù)列an的通項公式an ncosn 1,前n項和為Sn,則S2012 _2301814 .記實數(shù) x1,x2,L ,xn 中的最大數(shù)為 maxx1,x2,L , xn,最小數(shù)為 minx1,x2,L ,xn.設(shè) ABC的三邊邊長分別為a,b, c ,且a b c ,定義 ABC的

5、傾斜度為a b cat max , , 一 min,b c ab(i )若 ABC為等腰三角形，則t 1(ii)設(shè)a 1,則t的取值圍是. 1,5)2三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演 算步驟.15 .(本小題共14分)已知函數(shù) f(x) mln x (m 1)x (m R).(I)當m 2時，求曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線方程；(n)討論f(x)的單調(diào)性；(18)(共 14 分)解：(I)當f (x) - 1 x(III)若f(x)存在最大值M ,且M 0 ,求m的取值圍.m 2時，f (x) 2ln x x.x 2 .x所以f (1

6、) 3.又 f(1) 1,所以曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線方程是y 1 3(x 1),即 3x y 2 0.(n)函數(shù)f(x)的定義域為(0,),m . (m 1)x mf (x) 一 m 1 xx當m0 0時，由x 0知f (x) m x0恒成立,此時f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減.當m> 1時，由x 0知f (x) mx此時f (x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.當 0 m 1 時，由 f (x) 0,得 x m-，由 f (x) 0 ,得 x m- 1 m1 m此時f (x)在區(qū)間(0,工一)單調(diào)遞增，在區(qū)間(上一,)單調(diào)遞減. 1 m1 m(III)由(n)知函數(shù)f

7、(x)的定義域為(0,),當m00或m>1時，f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)，此時函數(shù)f (x)無最大值.當0 m 1時，f(x)在區(qū)間(0,上一)單調(diào)遞增，在區(qū)間(-,)單調(diào)遞減, 1 m1 m所以當0 m 1時函數(shù)f(x)有最大值.最大值 M f ( m ) mln m m. 1 m1 m. .m e因為M 0 ,所以有mln m 0 ,解之得m .1 m1 ee所以m的取值圍是(,1).1 e16.(本小題滿分13分)，一一一* 一 ，一 冗已知函數(shù)f(x) sin x acosx的一個零點是 一.4(I)數(shù)a的值;(n)設(shè) g(x) f(x) f( x) 273sinxcosx,求

8、 g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(I)解：依題息，得 f(一) 0,1分4即 sin a cos- 0,3 分4422解得a 1 .5分(n)解：由(I)得 f (x) sin x cosx .6 分g(x) f(x) f( x) 2 3 sin xcosx(sin x cosx)( sin x cosx) V3sin 2x7分(cos2 x sin2 x) 73sin 2x8分cos2x V3sin 2x9 分2sin(2 x -) .10分6,冗冗兀由 2k 冗一2x 2k 冗一，262,口 冗冗,r一八得女冗一x ku, k Z .12分36. 兀兀 .一.所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 &qu

9、ot;冗-,ku -, k Z .13分3617.（本小題滿分13分）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b 10=145.（1）求數(shù)列bn的通項公式bn;（2）設(shè)數(shù)列an的通項an=log a（1+ ；）（其中a>0且a力）記$是數(shù)列an的前n項和，試比較 bn,1Sn與一 logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.3(1)解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得(2)證明：由bn=3n2知bi 110(10 1),10bl d21451 ,一 一 , " bn=3 n 23Sn=log a(1+1) + lOg a(1+ )+ -+log a(1+ 1) 43n 2= l

10、og a (1+1)(1+ 1) - (1+ -)2 4 3n 2. 11 .而 一 logabn+1=log a 3：3n 1 ,于是，比較 S 與一 logabn+1331 1(1+1)(1+ )(1+)與3.37 的大小.4 3n 21取 n=1 ,有(1+1)= 38 V4 V3 1 1一.12 2a取 n=2 ,有(1+1)(1+ -)3/8/7 3/3 2 14推測：(1+1)(1+ 1)-(1+)>V3nn (*)4 3n 2*.-當n=1時，已驗證()式成立.假設(shè)門=女也)時()式成立,即(1+1)(1+ - ) - (1 +413k_2)><13k 1 3,

11、111則當 n = k+1 時，(1 1)(1 -)(1 )(1 4 3k 23(k 1) 23k 1)3k3k(3k23 3k 1)3 (3 3k 4)33k 1_ 3_2(3k 2)3 (3k 4)(3k 1)2(3k 1)2,3k 1 (3k 2) 3 3k 43k 19k 4 c20(3k 1)3 3(k 1) 1.111* 從而(1 1)(1 -)(1 )(1 ) 3(k 1) 1 ,即當 n=k+1 時，()式成立4 3k 2 3k 1,由知，()式對任意正整數(shù)n都成立.1.于ZE,當 a>1 時，Sn> log abn+1318.(本小題滿分13分)1 .，當 0 v

12、 a v 1 時，Sv log abn+13已知函數(shù) f(x) ax In x , g(x)eax 3x ,其中 a R .(I)求f (x)的極值;(n)若存在區(qū)間 M ,使f(x)和g(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求 a的取 值圍.18.(本小題滿分13分)(I)解：f(x)的定義域為(0,),e ，1 ax 1c 八且 f (x) a - .2分x x當a 0時，f (x) 0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞減.從而f(x)沒有極大值，也沒有極小值.，人，、1當a 0時，令f (x) 0,得x a(-a).1從而f(x)的極小值為f () 1 ln a ;沒有極大值.5分a(n)解：g

13、(x)的定義域為R,且g (x) aeax 3.6分當a 0時，顯然g (x) 0,從而g(x)在R上單調(diào)遞增.一 .1由(I)得，此時f(x)在(一，)上單調(diào)遞增，符合題意.8分a當a 0時，g(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，不合題9分一一13當 a 0時，令 g(x) 0,得 x0-ln(-).a ag(x)和g (x)的情況如下表:x(,x。)x。(%,g (x)0g(x：當3 a 0時，x0 0,此時g(x)在(x0,)上單調(diào)遞增，由于 f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，不合題意.11分當a 3時，x0 0,此時g(x)在( ，x0)上單調(diào)遞減，由于f(x)在(0,)上

14、單調(diào)遞減，符合題意.綜上，a的取值圍是(，3)U(0,).13分19.(本小題滿分14分)22如圖，橢圓 與 與 1(a b 0)的左焦點為F ,過點F的直線交橢圓于 A, B a b兩點.當直線AB經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為 60 .(I )求該橢圓的離心率;(II)設(shè)線段 AB的中點為G , AB的中垂線與 GFD的面積為S, OED (。為原點)的面積為19.(本小題滿分14分)(I)解：依題意，當直線 AB經(jīng)過橢圓的頂點(0,b)時，其傾斜角為設(shè) F ( c,0),b則-tan 60 點. c將 b 73c 代入 a2 b2 c2,解得a 2c . . c 1所以橢圓的離心率為

15、 e - .a 2(n)解：由(i),橢圓的方程可設(shè)為4分22與匕1.5分4c 3c60 .1 分設(shè) A(x1,y1), B(x2,y2) .其代入依題意，直線 AB不能與x,y軸垂直，故設(shè)直線 AB的方程為y k(x c),將3x2 4y2 12c2,整理得(4k2-2_22 23)x 8ck x 4k c12c2 0.7 .分_,2nrt8ck則 x x2,2 -，4k 3yiy2 k(x1 x2 2c)6ck4k2 3 '4ck2G(F3ck).4k 3因為所以因為所以所以GD AB,3ck可 k4ck22 xd4k 3 GFDA OED ,SiS22|GD|2|OD|2(3ck

16、2)2xDck24 k2(4ck24k2 3(3ck)2(ck2)2色的取值圍是(9,S2)(20)(本小題共13分)ck2 )24k2 3(kl)24k2 3(3ck )24k2 39c2k4 9c2k2c2k414分設(shè)A是由n個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作:11.分13-A AaL ,a,L ,an).其中 a(i 1,2,L ,n)稱為數(shù)組A的“元” j稱為d的下標.如果數(shù)組S中的每個“元”都是來自數(shù)組A中不同下標的“元”，則稱S為A的子數(shù)組.定義兩個數(shù)組A (ai,a2,L冏)， B (bib,L ,bn)的關(guān)系數(shù)為 C(A, B)詡。a2b2 L anbn.1 1(I)若A (1,)，B (1,1,2,3),設(shè)S是B的含有兩個兀的子數(shù)組，求 2 2C(A,S)的最大值；,B (0,a,b,c),且 a2 b2 c2 1 , S為 B 的含有個“元”的子數(shù)組，求C(A,S)的最大值.(20)(共 13 分)解：(I)依據(jù)題意，當 S ( 1,3)時，C(A,S)取得最大值為2.(II)當0是S中的“元”時，由于A的三個“元”都相等，及B中a,b,c三個“元”的對、3 0-稱性，可以只計算 C(A,S) (a b)的最大值，其中a b c 1. 3由(a b)2 a2 b2 2ab 2(a2 b2) 2(a