“時(shí)代杯”2008年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題

1、“時(shí)代杯”2008年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題（初中組）(2009年2月28日下午14001600)題號(hào)一二三總分167101112131415得分注意事項(xiàng)：1 本試卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分考試時(shí)間120分鐘2 用鋼筆或圓珠筆（藍(lán)色或黑色）直接答在試卷上3 答卷前將密封線(xiàn)內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚 密 封 線(xiàn)姓名 學(xué)校 考號(hào) 一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的每題6分，共36分）1計(jì)算1222324252629921002的值是（ ）A5050 B5050 C100 D1002 “龜兔賽跑”講述了這樣的故事：龜兔同時(shí)出發(fā)，沿直線(xiàn)向同一目標(biāo)奔跑，領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起

2、來(lái)，停下來(lái)睡了一覺(jué)當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到了終點(diǎn)，. 用s1，s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（ ）sssss1s1s1s1s2s2s2s2t t t t O O O O A B C D3同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子1次，兩枚骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率是（ ）A B C D4觀(guān)察表一，尋找規(guī)律表二、表三分別是從表一中選取的一部分，則xy的值為（ ）A45 B46 C48 D4901231357258113711151519x152317y表一 表二 表三F 5如圖，DEF的邊長(zhǎng)分別為1，2，正六邊形網(wǎng)格是

3、由24個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成，以這些正三角形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)ABC，使得ABCDEF如果相似比 =k，那么k的不同的值共有（ ）E D A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)（6將 BC 沿弦BC折疊交直徑AB于點(diǎn)D，若AD4，DB5，則BC的長(zhǎng)是（ ）A3 B8 C D2C BD A 二、填空題（每題6分，共24分）7若不等式組 的解集是1x1，則 (ab)2009的值是 ABC8如圖，在一條筆直的公路上有三個(gè)小鎮(zhèn)A、B、C，甲車(chē)從A出發(fā)勻速開(kāi)往C，乙車(chē)從B出發(fā)勻速開(kāi)往A若兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)甲車(chē)到達(dá)B時(shí)，乙車(chē)離A還有40km；當(dāng)乙車(chē)到達(dá)A時(shí)，甲車(chē)正好到達(dá)C.已知BC50km，則A、B兩鎮(zhèn)相距 km.

4、9已知p，q都是正整數(shù)，方程7x 2px2009q0的兩個(gè)根都是質(zhì)數(shù)，則pq_（10長(zhǎng)方形ABCD中，AB1，AD，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作圓交BC于點(diǎn)EC A D BE 在A(yíng)E 上找一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P的B的切線(xiàn)平分長(zhǎng)方形的面積設(shè)此切線(xiàn)交AD于點(diǎn)S，交BC于點(diǎn)T，則ST的長(zhǎng)為_(kāi) 三、解答題（每題18分，共90分）11已知二次函數(shù)yx22axb2和yx22bxc2的圖象與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，問(wèn)函數(shù)yx22cxa2的圖象與x軸是否相交？為什么？12一個(gè)長(zhǎng)40cm、寬25cm、高50cm的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器（厚度忽略不計(jì)），盛有深為acm (a50)的水現(xiàn)在容器里放入棱長(zhǎng)為10cm的立方體鐵塊（鐵

5、塊的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?13設(shè)a，b，c是整數(shù)，使得 是一個(gè)有理數(shù)求證： 是一個(gè)整數(shù)14設(shè)n為自然數(shù)，在A(yíng)BC內(nèi)給定n個(gè)點(diǎn)用一些除端點(diǎn)外沒(méi)有公共點(diǎn)的線(xiàn)段連結(jié)這些點(diǎn)及A、B、C，將ABC分成 t 個(gè)小的三角形（1）用含n的代數(shù)式表示t；（2）證明t為定值，與線(xiàn)段的連法無(wú)關(guān)15如圖，在A(yíng)BC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于點(diǎn)O過(guò)點(diǎn)O作OPAC，OQAB，P、Q為垂足C AD BE F O P Q 求證：DP=DQ2008年“時(shí)代杯”江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題參考答案一、選擇題（每題6分，共36分）1B2D3C4D5C

6、6A二、填空題（每題6分，共24分）718200933710三、解答題（每題18分，共90分）11解：不相交 3分由題設(shè)，得a2b20，b2c20 9分則a2b2c2，所以c2a2015分從而知函數(shù)yx22cxa2的圖象與x軸不相交 18分12解：由題設(shè)，知水箱底面積S40×251000(cm2)水箱體積V水箱=1000×5050000（cm3），鐵塊體積V鐵=10×10×101000（cm3）.3分（1）若放入鐵塊后，水箱中的水深恰好為50cm時(shí)，1000a100050000, 得 a49（cm）所以，當(dāng)49a50時(shí)，水深為50cm（多余的水溢出） 6

7、分（2）若放入鐵塊后，水箱中的水深恰好為10cm時(shí)，1000a100010000, 得 a9（cm） 9分所以，當(dāng)9a49時(shí)，水深為 = (a+1) cm.12分（3）由（2）知，當(dāng)0a9時(shí)，設(shè)水深為x cm，則1000x1000a100x得x（cm） 17分答：當(dāng)0a9時(shí)，水深為 cm；當(dāng)9a49時(shí)，水深為（a+1）cm；當(dāng)49a50時(shí)，水深為50 cm 18分13證法一：令k，k為有理數(shù), 得(akb)+(bkc)0.3分因?yàn)閍，b，c是整數(shù)，k為有理數(shù)，所以akb=0，bkc =0，從而a=k2c, b=kc6分于是 =·c. 9分又 k4+k2+1= (k4+k2+1)-k2

8、 = (k2+k+1) (k2-k+1)， 15分則 (k2k1)ck2ckcc acb. 因?yàn)閍+cb為整數(shù)，所以為整數(shù). 18分證法二：. 6分因?yàn)槭怯欣頂?shù)，所以b2ac0，即b2ac. 9分所以 12分 15分acb.因?yàn)閍cb為整數(shù)，所以為整數(shù). 18分14解：（1）t =2n+16分（2）由題設(shè)得，t個(gè)三角形的內(nèi)角和t，ABC的內(nèi)角和，9分以給定的n個(gè)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的周角之和n·2 12分由于t個(gè)三角形的內(nèi)角和等于A(yíng)BC的內(nèi)角和與以n個(gè)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的周角之和，所以 t=+n·2，得 t =2n+1故結(jié)論成立 18分15證法一：如圖1，取OB中點(diǎn)M，OC中點(diǎn)N.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DMOC，DMOC，DNOB， DNOB.在RtBOQ和RtOCP中，QMOB，PNOC 所以DMPN，QMDN 6分QMDQMOOMD2ABOFOB，PNDPNOOND2ACOEOC因?yàn)锳BOACO，F(xiàn)OBEOC，所以QMDPND 15分C AD BE F O P Q M NC AD BE F O P Q NM 于是QMDDNP，從而DQ=DP18分圖2圖1證法二：如圖2，在直線(xiàn)BF上取點(diǎn)M，使QM=BQ，在直線(xiàn)CA上取點(diǎn)N，使PN=CP連接CM，BN，OM，ON所以DQ=