（整理版）等比數列2

1、 等比數列一【課標要求】1通過實例，理解等比數列的概念；2探索并掌握等差數列的通項公式與前n項和的公式；3能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。體會等比數列與指數函數的關系等比數列與等差數列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點?？陀^性的試題考察等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式等根底知識和根本性質的靈活應用，對根本的運算要求比擬高，解答題大多以數列知識為工具預測高考對本講的考察為：1題型以等比數列的公式、性質的靈活應用為主的12道客觀題目；2關于等比數列的實際應用問題或知識交匯題的解答題也是重點；3解決問題時注意數學思想的應用，象通過逆推思想、函

2、數與方程、歸納猜測、等價轉化、分類討論等，它將能靈活考察考生運用數學知識分析問題和解決問題的能力三【要點精講】1等比數列定義一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：數列對于數列123都是等比數列，它們的公比依次是2，5，。注意：“從第二項起、“常數、等比數列的公比和項都不為零2等比數列通項公式為：。說明：1由等比數列的通項公式可以知道：當公比時該數列既是等比數列也是等差數列；2等比數列的通項公式知：假設為等比數列，那么。3等比中項如果在中間插入一個數，使成等比數列，那么叫做的等比中項兩

3、個符號相同的非零實數，都有兩個等比中項4等比數列前n項和公式一般地，設等比數列的前n項和是，當時， 或；當q=1時，錯位相減法。說明：1和各三個可求第四個；2注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；3應用求和公式時，必要時應討論的情況。四【典例解析】題型1：等比數列的概念例1“公差為0的等差數列是等比數列；“公比為的等比數列一定是遞減數列；“a,b,c三數成等比數列的充要條件是b2=ac；“a,b,c三數成等差數列的充要條件是2b=a+c a1個 b2個 c3個 d4個1中未考慮各項都為0的等差數列不是等比數列；2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當首項a1<

4、;0時，an<0，那么an>an，即an+1>an，此時該數列為遞增數列；3中，假設a=b=0，cr，此時有，但數列a,b,c不是等比數列，所以應是必要而不充分條件，假設將條件改為b=，那么成為不必要也不充分條件。點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關等比數列的一些重要結論，為此我們要注意一些有關等差數列、等比數列的重要結論。例21：假設數列an的前n項和sn=an+b(a1)，那么數列an是等比數列；2：假設數列an的前n項和sn=an2+bn+c(a0)，那么數列an是等差數列；3：假設數列an的前n項和sn=nan，那么數列an a0個 b1個 c2個 d3個解析：

5、1得，a1=a+b，當n2時，an=snsn1=(a1)·an1。假設an是等比數列，那么=a，即=a，所以只有當b=1且a0時，此數列才是等比數列。2得，a1=a+b+c，當n2時，an=snsn1=2na+ba，假設an是等差數列，那么a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當c=0時，數列an才是等差數列。3得，a1=a1，當n2時，an=snsn1=a1，顯然an是一個常數列，即公差為0的等差數列，因此只有當a10；即a1時數列an才又是等比數列。sn與an的關系，它們是an=，正確判斷數列ana。題型2：等比數列的判定例3等比數列中，那么其前3項的和的取值范圍是(d ) 【

6、解1】：等比數列中 當公比為1時， ； 當公比為時， 從而淘汰應選d；【解2】：等比數列中 當公比時，； 當公比時， 應選d；【考點】：此題重點考察等比數列前項和的意義，等比數列的通項公式，以及均值不等式的應用；【突破】：特殊數列入手淘汰；重視等比數列的通項公式，前項和，以及均值不等式的應用，特別是均值不等式使用的條件；點評：此題主要考查等比數列的概念和根本性質，推理和運算能力。例4浙江文設為數列的前項和，其中是常數 i 求及； ii假設對于任意的，成等比數列，求的值解當， 經驗，式成立， 成等比數列，即，整理得：，對任意的成立， 題型3：等比數列的通項公式及應用例5一個等比數列有三項，如果把

7、第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數列，如果再把這個等差數列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數列，求原來的等比數列解析：設所求的等比數列為a，aq，aq2；那么2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數列為2，6,18或，。點評：第一種解法利用等比數列的根本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數列、等比數列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。例6(山東卷文)等比數列的前n項和為， 對任意的 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上. 1求r的值；11當b=2時，記 求數列的前項和解:因為對任意的

8、,點，均在函數且,當時, 當時,又因為為等比數列, 所以, 公比為, 所以2當b=2時，, 那么 相減,得所以求的基此題型,并運用錯位相減法求出一等比數列與一等差數列對應項乘積所得新數列的前項和.例71安徽卷文數列 的前n項和，數列的前n項和求數列與的通項公式；設，證明：當且僅當n3時，【思路】由可求出，這是數列中求通項的常用方法之一，在求出后，進而得到，接下來用作差法來比擬大小，這也是一常用方法【解析】(1)由于當時, 又當時數列項與等比數列,其首項為1,公比為 (2)由(1)知由即即又時成立,即由于恒成立. 因此,當且僅當時, 點評：對于等比數列求和問題要先分清數列的通項公式，對應好首項和

9、公比求出最終結果即可例81設an為等差數列，bn為等比數列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分別求出an及bn的前10項的和s10及t10；2在1與2之間插入n個正數a1，a2，a3，an，使這n2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數b1，b2，b3，bn，使這n2個數成等差數列.記ana1a2a3an，bnb1b2b3bn.求數列an和bn的通項；當n7時，比擬an與bn的大小，并證明你的結論。3an是由非負整數組成的數列，滿足a10，a23，an1anan12an22，n3，4，5，求a3；證明anan22，n3，4，5，；求an的通項公式及其前n項和sn。解析：1an為等差數

10、列，bn為等比數列，a2a42a3，b2b4b32a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差為d，s1010a1由b11，b3知bn的公比為q或q當q時，當q時，。2設公比為q，公差為d，等比數列1，a1，a2，an，2，等差數列1，b1，b2，bn，2。那么a1a11·q a21·q·1·q2 a31·q·1·q2·1·q3又an21·qn12得qn12，anq·q2qnqn1，2，3又bn21n1d2 n1d1b1

11、b11d b2b2b11d12d bn1d1ndnanbn，當n7時證明：當n7時，2358·an bn×7，anbn設當nk時，anbn，那么當nk1時，又ak+1·且akbk ak1·kak1bk1又k8，9，10 ak1bk10，綜上所述，anbn成立.3解：由題設得a3a410，且a3、a4均為非負整數，所以a3的可能的值為1，2，5，10假設a31，那么a410，a5，與題設矛盾假設a35，那么a42，a5，與題設矛盾假設a310，那么a41，a560，a6，與題設矛盾.所以a32.用數學歸納法證明：當n3，a3a12，等式成立；假設當nkk3

12、時等式成立，即akak22,由題設ak1akak12·ak22，因為akak220，所以ak1ak12，也就是說，當nk1時，等式ak1ak12成立；根據和，對于所有n3，有an+1=an1+2。解：由a2k1a2k112，a10，及a2ka2k12，a23得a2k12k1，a2k2k1，k1，2，3，即ann1n，n1，2，3，。所以sn點評：本小題主要考查數列與等差數列前n項和等根底知識，以及準確表述，分析和解決問題的能力。題型5：等比數列的性質例91在各項都為正數的等比數列an中，首項a13，前三項和為21，那么a3a4a5 a33 b72 c84 d1892上海，12在等差數

13、列an中，假設a100，那么有等式a1+a2+an=a1+a2+a19nn19，nn成立.類比上述性質，相應地：在等比數列bn中，假設b91，那么有等式 成立解析：1答案：c；解：設等比數列an的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4應選c。2答案：b1b2bnb1b2b17nn17，nn*；解：在等差數列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a1

14、9，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，假設a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相應地等比數列bn中，那么可得：b1b2bnb1b2b17nn17，nn*。點評：此題考查了等比數列的相關概念及其有關計算能力。例101設首項為正數的等比數列，它的前n項和為80，前2n項和為6560，且前n項中數值最大的項為54，求此數列的首項和公比q。2在和之間插入n個正數，使這個數依次成等比數列，求所插入的n個數之積。3設等比數列an的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等于偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數列l(wèi)gan的前多少

15、項和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解析：1設等比數列an的前n項和為sn，依題意設：a10，sn=80 ，s2n=6560。 s2n2sn ，q1；從而 =80，且=6560。兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。a1=q10 即q1,從而等比數列an為遞增數列，故前n項中數值最大的項為第n項。a1qn-1=54,從而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。qn-1=8154=27 q=3。a1=q1=2故此數列的首為2，公比為3。2解法1：設插入的n個數為，且公比為q，那么。解法2：設插入的n個數為，。3解法一設公比為q,項數為2m,mn*，依題意有：，化簡得，設數列l(wèi)gan前

16、n項和為sn，那么sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可見，當n=時，sn最大，而=5,故lgan的前5項和最大，解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg，數列l(wèi)gan是以lg108為首項，以lg為公差的等差數列，令lgan0，得2lg2(n4)lg30，n，由于nn*,可見數列l(wèi)gan的前5項和最大。點評：第一種解法利用等比數列的根本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數

17、列、等比數列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數列的性質，與“首末項等距的兩項積相等，這在解題中常用到。題型6：等差、等比綜合問題例11公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為。()求數列的首項和公比；()對給定的，設是首項為，公差為的等差數列求數列的前10項之和解析：()依題意可知：，()由()知,，所以數列的首項為,公差，,即數列的前10項之和為155。點評：對于出現等差、等比數列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。五【思維總結】1等比數列的知識要點可類比等差數列學習1掌握等比數列定義q常數nn，同樣是證明一個數列是等比數列的依據，也可由an·an2來判