（整理版）談“約會型”概率問題的求解

1、談“約會型概率問題的求解由兩個(gè)量決定的概率問題，求解時(shí)通過坐標(biāo)系，借助于縱、橫兩軸產(chǎn)生公共區(qū)域的面積，結(jié)合面積產(chǎn)生問題的結(jié)論，我們稱此類問題為“約會型概率問題；“約會型概率問題的求解，關(guān)鍵在于合理、恰當(dāng)引入變量，再將具體問題“數(shù)學(xué)化，透過數(shù)學(xué)模型，產(chǎn)生結(jié)論。請看以下幾例：例1、甲、乙兩人約定在晚上7時(shí)到8時(shí)之間在公園門口會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘，這時(shí)即可離去，那么兩人見面的概率是多少？解：以軸和軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會地點(diǎn)的時(shí)間，那么兩人能見面的充要條件是，如圖由于的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，可能會面的時(shí)間由圖中陰影局部所表示，記“兩人能見面為事件因此，兩人見面的概率

2、點(diǎn)評：顯然，“以軸和軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會地點(diǎn)的時(shí)間很關(guān)鍵，由這一句，將一個(gè)實(shí)際問題引入了數(shù)學(xué)之門，進(jìn)一步分析會發(fā)現(xiàn)：要見面必須滿足，于是，結(jié)論也就順其自然的產(chǎn)生了。例2、a、b兩列火車都要在同一車站的同一停車位停車分鐘，假設(shè)它們在下午一時(shí)與下午二時(shí)隨機(jī)到達(dá)，求這兩列火車必須等待的概率；解：以軸和軸分別表示a、b兩列火車到達(dá)的時(shí)間兩列火車必須等待，那么，如圖由于的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，可能等待的時(shí)間由圖中陰影局部所表示，記“兩列火車必須等待為事件因此，這兩列火車必須等待的概率是點(diǎn)評：此題與例1相同，“火車必須等待，那么它們的到達(dá)時(shí)間差必須不大于分鐘，于是，將a、b兩列火車到達(dá)

3、車站的時(shí)間分別用表示，結(jié)論很快產(chǎn)生。例3、解：如圖，方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示小強(qiáng)的到達(dá)時(shí)間，縱坐標(biāo)表示小明離開家的時(shí)間，由于區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的，因此，符合幾何概型的條件；由題意，只要點(diǎn)落在陰影局部內(nèi)，就表示小強(qiáng)能見到小明，即事件發(fā)生，所以，由得，即小強(qiáng)能見到小明的概率是。點(diǎn)評：與前兩例很相似，但又有很大不同；兩人的出發(fā)時(shí)間不同，如何將“相見轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子？深入分析會發(fā)現(xiàn)是小強(qiáng)到的時(shí)間，是小明離家時(shí)間，要相見必須，于是產(chǎn)生了一個(gè)不等式組，結(jié)合圖形，分析面積產(chǎn)生結(jié)論。例4、水池的容積是，向水池注水的水龍頭a和水龍頭b水的流速都是/小時(shí)，它們在一晝夜內(nèi)隨機(jī)開小時(shí)，求水池不溢出水的概

4、率。解：設(shè)水龍頭a開小時(shí)，水龍頭b開小時(shí)，當(dāng)然，水池不溢出水，那么記“水池不溢出水為事件，那么所占區(qū)域面積為，整個(gè)區(qū)域的面積為由幾何概型的概率公式，得即水池不溢出水的概率約為。點(diǎn)評：由兩個(gè)龍頭引出兩個(gè)變量、，再抓住“流速相等且都在一晝夜內(nèi)隨機(jī)開小時(shí)，于是符合“約會型，可仿照“約會型進(jìn)行求解。例5、某同學(xué)到公共汽車站等車上學(xué)，可乘坐路、路， 路車分鐘一班，路車分鐘一班，求這位同學(xué)等車不超過分鐘的概率。解：設(shè)橫軸表示路車的到站時(shí)間，縱軸表示路車的到站時(shí)間，記“分鐘內(nèi)乘坐路車或路車為事件，那么所占區(qū)域面積為 整個(gè)區(qū)域的面積為那么，等車不超過分鐘的概率即這位同學(xué)等車不超過分鐘的概率約為。點(diǎn)評：此題兩路

5、公共汽車的到站時(shí)間恰好是兩個(gè)變量，再抓住兩車的的到站時(shí)間間隔，即可以轉(zhuǎn)化為“約會型概率，再仿照“約會型概率進(jìn)行求解。例6、在一條長為的線段上，1任取兩點(diǎn)，求它們到中點(diǎn)距離平方和小于1的概率；2任取三點(diǎn)，求它們到中點(diǎn)距離平方和小于1的概率；解：1設(shè)線段上兩點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離分別為，記“它們到中點(diǎn)距離平方和小于1”為事件a，那么事件a：，由于因此，即到中點(diǎn)距離平方和小于1的概率為2設(shè)線段上三點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離分別為，記“它們到中點(diǎn)距離平方和小于1”為事件b，那么事件b：，由于因此，即到中點(diǎn)距離平方和小于1的概率為點(diǎn)評：第一小問涉及的問題有一定的難度，首先引入兩個(gè)變量，再將兩個(gè)變量“橫、縱化有一定的技巧