[理學(xué)]第5章-剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、第第 五五 章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸FrM 一、力矩一、力矩復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1. 大小：大?。篗 = rFsin3. 作用于質(zhì)點(diǎn)上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。作用于質(zhì)點(diǎn)上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。MFr)FFF(rFrFrFrMnnii 2121力矩滿足疊加原理力矩滿足疊加原理2.方向：由右手螺旋定則確定。方向：由右手螺旋定則確定。注意：上式中注意：上式中F指的是與轉(zhuǎn)軸垂直平面指的是與轉(zhuǎn)軸垂直平面(轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面)上的力，上的力，若若F不再該平面上，可將不再該平面上，可將F分解為垂直于轉(zhuǎn)軸和平行于轉(zhuǎn)分解為垂直于轉(zhuǎn)軸和平行于轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)分力，力矩是指的是在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力軸

2、的兩個(gè)分力，力矩是指的是在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力F（平行平行于平面的力的投影）。于平面的力的投影）。pFrFF/OZ二、質(zhì)點(diǎn)的角動量二、質(zhì)點(diǎn)的角動量 vmrPrL sinsinmrvrPL 1.大?。捍笮。?.方向：方向：vmr 用右手螺旋定則確定。用右手螺旋定則確定。 mPLrOxyz三、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理三、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理dtLdM 質(zhì)點(diǎn)的角動量原理質(zhì)點(diǎn)的角動量原理 即：質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動量的變化率。即：質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動量的變化率。積分關(guān)系積分關(guān)系LLddtMLLtt 2121角動量定理：質(zhì)點(diǎn)角動量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的沖量矩角動量定理：質(zhì)點(diǎn)角動量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的沖量矩一

3、、一、 概念概念在受外力作用時(shí)不改變形狀和體積的物體稱剛體。在受外力作用時(shí)不改變形狀和體積的物體稱剛體。(2)剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成,每一個(gè)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元質(zhì)元,剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是的特點(diǎn)是,在外力作用下各質(zhì)元之間的相對在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。位置保持不變。1. 剛體剛體:mimi(1)(1)剛體是固體物件的理想化模型。剛體是固體物件的理想化模型。質(zhì)元質(zhì)元第一節(jié)第一節(jié) 剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動2. 剛體的運(yùn)動形式剛體的運(yùn)動形式: 剛體轉(zhuǎn)動時(shí)各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動剛體轉(zhuǎn)動時(shí)各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動, ,而且而且各

4、圓的圓心都在一條固定不動的直線上各圓的圓心都在一條固定不動的直線上, ,這條直線叫轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時(shí)間這條直線叫轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時(shí)間變化變化, , 則稱則稱定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動: 轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一。轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一。平動：平動：轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 在描述剛體的平動時(shí)在描述剛體的平動時(shí), ,可以用一點(diǎn)的運(yùn)可以用一點(diǎn)的運(yùn)動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來代表整個(gè)剛體的平動。代表整個(gè)剛體的平動。 剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是平動平動和繞某一轉(zhuǎn)軸和繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動的的結(jié)合結(jié)合。如圖。如圖,車輪的轉(zhuǎn)動。車輪

5、的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面: 取垂直于轉(zhuǎn)軸取垂直于轉(zhuǎn)軸 的平面為參考系的平面為參考系, 稱轉(zhuǎn)動平面。稱轉(zhuǎn)動平面。,vimi轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動, ,且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同. .一般用角量描述。一般用角量描述。1.特點(diǎn)特點(diǎn):ox轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向ZPrpo 2.角位移角位移1.角位置角位置2.定軸轉(zhuǎn)動的角量描述定軸轉(zhuǎn)動的角量描述dtd rv P點(diǎn)線速度點(diǎn)線速度轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面vrpo oX轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方

6、向Z4. 角加速度矢量角加速度矢量)s/rad(dtd2 3.角速度角速度 :方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則。方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則。當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時(shí)當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時(shí), , 與與 方向相反方向相反; ;當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時(shí)當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時(shí), , 與與 方向相同；方向相同； .當(dāng)角加速度是常量時(shí)：當(dāng)角加速度是常量時(shí)：)(02022 t 0 2210 tt)( 單位：單位：rad/s 角速度是矢量角速度是矢量 。P P點(diǎn)線加速度點(diǎn)線加速度 ra ran2 由于在定軸轉(zhuǎn)動中軸的由于在定軸轉(zhuǎn)動中軸的方位不變，故方位不變，故 只只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用標(biāo)量代替。可以用標(biāo)量代替。 ,將剛體看成

7、許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1 ; m2 mimn的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1 、r2、ri 、rn各質(zhì)點(diǎn)速率分別為各質(zhì)點(diǎn)速率分別為 v1 、v2 、vi、 vnoi1. 第第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量個(gè)質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量Zmi第二節(jié)第二節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一、剛體的角動量一、剛體的角動量iiLL2. 剛體的角動量剛體的角動量iiiivmriiimr2riviiiiivmrLiipr iiimrL 2 iii)mr( 2定義：定義： iiimrJ)(2-剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 JL 剛體的角動量剛體的角動

8、量 JL 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?的方向。的方向。與線量比較：與線量比較： JLmvp)(轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣性性轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量J)(平平動動慣慣性性慣慣性性質(zhì)質(zhì)量量miMM 2. 整個(gè)剛體受合外力矩：整個(gè)剛體受合外力矩：FiZmioirivi力矩的方向力矩的方向:二、剛體所受力矩二、剛體所受力矩設(shè)剛體受外力：設(shè)剛體受外力：F1、F2FiFn1. 當(dāng)質(zhì)元受合外力當(dāng)質(zhì)元受合外力Fi 時(shí)該力對轉(zhuǎn)軸的力矩時(shí)該力對轉(zhuǎn)軸的力矩 沿轉(zhuǎn)軸方向沿轉(zhuǎn)軸方向,并與矢徑并與矢徑 及及 成右手螺旋法則成右手螺旋法則 。rF定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動:iMM M定軸轉(zhuǎn)動中，定軸轉(zhuǎn)動中，M的方向可用正、負(fù)區(qū)分的方向可用正、負(fù)區(qū)分如：使

9、剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，如：使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，M 0使剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動，使剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動，M 0（代數(shù)和）（代數(shù)和）iiiFrM 分析：分析：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大阻力矩大。mlodmxdxx例例1 一勻質(zhì)細(xì)桿，長為一勻質(zhì)細(xì)桿，長為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m ，在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為 的的水平桌面上轉(zhuǎn)動，水平桌面上轉(zhuǎn)動， 求摩擦力的力矩求摩擦力的力矩 Mr。剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的作用力的力矩互相抵消力矩互相抵消jriri

10、jijFjiFdOijMjiM3.剛體的內(nèi)力矩剛體的內(nèi)力矩jiijMM結(jié)論：對于剛體所受力矩只需結(jié)論：對于剛體所受力矩只需考慮外力矩即可考慮外力矩即可221lglmlmgMr21rrdMMlxx0dg方向向下方向向下mlodmxdxxxgdmrFdMrr)(sinxxdglmxddm質(zhì)量線密度質(zhì)量線密度gdmdFr)(摩擦力微元摩擦力微元解：建立坐標(biāo)軸，在解：建立坐標(biāo)軸，在 處選處選 的線元的線元xdx三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 iiMMtddJ J JM 剛體轉(zhuǎn)動定律剛體轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體對于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等剛體對于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等

11、于剛體對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與在此合外力矩作用下所獲得于剛體對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。的角加速度的乘積。特例：特例： 平衡時(shí)，平衡時(shí)， = 0，M= 0 (合力矩為零）合力矩為零） iitdLd iiLdtddtLd 剛體定軸轉(zhuǎn)動：剛體定軸轉(zhuǎn)動： JM 應(yīng)用時(shí)注意：應(yīng)用時(shí)注意：M、 的正負(fù)號的正負(fù)號.iiirmJ21、分立剛體、分立剛體:轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個(gè)轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積的總和。的距離的平方的乘積的總和。mioiri2、連續(xù)剛體、連續(xù)剛體: dmrJ2dmor四、四、 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算

12、轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算 2 對質(zhì)量線分布的剛體：對質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd2 對質(zhì)量面分布的剛體：對質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度smdd2 對質(zhì)量體分布的剛體：對質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd dmrJ2R例例 1 .剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量233222211rmrmrmJ r1r2r3m1m2m3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸oRZ例例 2. 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m ，半徑為，半徑為 R 的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓

13、心。dmdmRJ2mdmR22mR解解: 解：解：設(shè)面密度為設(shè)面密度為 ，取半徑為，取半徑為 r 寬寬為為 dr 的薄圓環(huán)的薄圓環(huán)rdrdsdm 2 2402221212mRRrdrrdmrJR 例例3: 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 R、薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤、薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。平面垂直并通過盤心。rdrO解解:設(shè)棒單位長質(zhì)量設(shè)棒單位長質(zhì)量:1. 繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，按如圖繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，按如圖所示建立一維坐標(biāo)系所示建立一維坐標(biāo)系,2.繞一端的轉(zhuǎn)動慣量，按如圖繞一端的轉(zhuǎn)動慣量，按如圖所示建立一維坐標(biāo)系所示建立一維坐標(biāo)系dmxJ 21dmxJ22ox圖圖

14、=m/l,dxdxxll 2222121ml dxxl02231mldm=dxdm例例 4 質(zhì)量為質(zhì)量為m ，長為，長為 l 的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。ox圖圖(2)dmdx記住幾個(gè)典型的轉(zhuǎn)動慣量：記住幾個(gè)典型的轉(zhuǎn)動慣量：*圓環(huán)（通過中心軸）圓環(huán)（通過中心軸） J = mR2*圓盤、圓柱（通過中心軸）圓盤、圓柱（通過中心軸）*細(xì)棒（端點(diǎn)垂直軸）細(xì)棒（端點(diǎn)垂直軸）*細(xì)棒（質(zhì)心垂直軸）細(xì)棒（質(zhì)心垂直軸）221mRJ 231mLJA 2121mLJc Z五、五、 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì)轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì)

15、: 轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小轉(zhuǎn)動慣性大小的量度的量度; 轉(zhuǎn)動慣量不僅轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān)與剛體質(zhì)量有關(guān),而且與剛體而且與剛體轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置 及剛體的及剛體的質(zhì)量分布質(zhì)量分布有關(guān)有關(guān);轉(zhuǎn)動慣量具有轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性迭加性;J=J1+J2+J3 轉(zhuǎn)動慣量具有相對性轉(zhuǎn)動慣量具有相對性;ZCdZ 剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量體對通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘積。積。 平行軸定理：平行軸定理：J = Jc+ m d 2如圖一質(zhì)量為如圖一質(zhì)量為M

16、 長為長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為質(zhì)量皆為m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求求:桿轉(zhuǎn)到與水平方向成桿轉(zhuǎn)到與水平方向成角時(shí)角時(shí),桿的角加速度是多少桿的角加速度是多少?解解:設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正,系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 222312MlmllmJ 該系統(tǒng)所受的合力矩為該系統(tǒng)所受的合力矩為 cosmglcoslmgcoslMgM 22 cosgl )Mm()mM(41536 由

17、轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律: M=J 可得可得方向方向:指里。指里。lmg例例:mgMgm2m1 r例例2. 如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和和m2，且，且m1m2，定滑輪的半徑為定滑輪的半徑為r，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，輕繩與滑輪間，輕繩與滑輪間無滑動，滑輪軸上摩擦不計(jì)設(shè)開始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求無滑動，滑輪軸上摩擦不計(jì)設(shè)開始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求t時(shí)時(shí)刻滑輪的角速度刻滑輪的角速度 開始時(shí)系統(tǒng)靜止，故開始時(shí)系統(tǒng)靜止，故 t 時(shí)刻滑輪的角速度：時(shí)刻滑輪的角速度： Jrmmgrmm 22121 Jrmmgrtmmt 22121 (T1T2)rJ 且有：且有：ar

18、T2m2gm2a m1gT1m1a解方程組得：解方程組得：解：解：兩重物加速度大小兩重物加速度大小a相同，滑輪角加速度為相同，滑輪角加速度為 由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：隔離物體分析力方向如圖隔離物體分析力方向如圖轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：m1gT1T1T2T2m2gaa 注意：注意：21TT m rmm2m 2r例例3. 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m和和2m、半徑分別為、半徑分別為r和和2r的兩個(gè)均勻圓盤，的兩個(gè)均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為9mr2 / 2，大

19、小圓盤邊緣，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m的重物，如圖所的重物，如圖所示求盤的角加速度的大小示求盤的角加速度的大小 列方程列方程 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1 rg192mgT2T2T1T1mga2a1解：受力分析如圖解：受力分析如圖解聯(lián)立方程，得：解聯(lián)立方程，得： 練習(xí)練習(xí)1：如圖所示：如圖所示,有兩個(gè)質(zhì)量分別為有兩個(gè)質(zhì)量分別為 M1 、M2 ，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為慣量分別為 , 半徑分別為半徑分別為 R1 、R2 的勻質(zhì)定滑輪，的勻質(zhì)定滑輪

20、，輪緣上繞一細(xì)繩輪緣上繞一細(xì)繩, 其兩端掛著質(zhì)量分別為其兩端掛著質(zhì)量分別為m1 和和m2 的物體。若的物體。若m1 m2 , 忽略軸承處的摩擦忽略軸承處的摩擦, 且繩子與滑輪間無相對滑輪且繩子與滑輪間無相對滑輪, 求滑輪的求滑輪的角加速度及繩子的張力角加速度及繩子的張力T1 、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1 R1M2 R2解：解：隔離物體分析力隔離物體分析力m1gm2gT1T1T3T3T2T2由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律可列方程如下列方程如下:2222amTgm 1111amgmT 222223221 RMR)TT( 222111 RaRa 121111321

21、RMR)TT( 2222121211RM,RM12121121RgMM)m2(m)m2(m gmMM)m)MM(T122214 11112(mm22122RgMM)m) 1122(mm2(m gmMM)m)MM(T222224 11112(mmgMM)m)MM(T22234 11112212(mmmmm當(dāng)當(dāng) M 1，M2 質(zhì)量可以忽略時(shí)質(zhì)量可以忽略時(shí) T1= T2= T3rivimiZoi一、沖量矩一、沖量矩-力矩作用于剛體的時(shí)間累積效應(yīng)力矩作用于剛體的時(shí)間累積效應(yīng)21ttMdt定義定義:二、角動量定理二、角動量定理: : JL 1.剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量:2. 角動量定理角動量

22、定理:122121LLdtdtLddtMtttt dtLdM 轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩的沖量矩轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩的沖量矩,等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動物體角動量的增量。角動量也稱動量矩。動物體角動量的增量。角動量也稱動量矩。3. 角動量定理的意義角動量定理的意義:第三節(jié)第三節(jié) 對定軸的角動量守恒對定軸的角動量守恒三、角動量守恒定律三、角動量守恒定律:由角動量定理可知：由角動量定理可知：dtLdM1.1.角動量守恒有兩種情況角動量守恒有兩種情況: :注意注意: :當(dāng)剛體所受合力矩為零時(shí)即當(dāng)剛體所受合力矩為零時(shí)即M=0時(shí)時(shí),其角動量其角動量 L保持守恒。保持守恒。3.3.角動量守恒定律與動

23、量守恒定律、角動量守恒定律與動量守恒定律、 能量守恒定律一樣能量守恒定律一樣都是自然界的規(guī)律。都是自然界的規(guī)律。一是轉(zhuǎn)動慣量與角速度都不變一是轉(zhuǎn)動慣量與角速度都不變; ;二是兩者都變但二者的乘積不變。二是兩者都變但二者的乘積不變。恒量恒量 J（M=0時(shí)）時(shí)）2.2.0 iF0 iM 0 iF0 iM0 iF0 iM例：例：(i)1F2F(ii)1F2F2224874121Ml)l(MMlJ (2) 碰前棒作平動，對碰前棒作平動，對 O 點(diǎn)的角動量按質(zhì)心處理。故有點(diǎn)的角動量按質(zhì)心處理。故有MlvlMvL414 解：解：(1) 細(xì)棒繞細(xì)棒繞 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量(3) 設(shè)碰后的角速度為設(shè)碰

24、后的角速度為。碰撞中外力矩為零，角動量守恒，。碰撞中外力矩為零，角動量守恒， JMlv 41vl712 vlO4l例例1 光滑的水平桌面上有一個(gè)長為光滑的水平桌面上有一個(gè)長為 l，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，以速度以速度v運(yùn)動，與一固定于桌面上的釘子運(yùn)動，與一固定于桌面上的釘子O相碰，碰后細(xì)棒繞相碰，碰后細(xì)棒繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動，點(diǎn)轉(zhuǎn)動，(1) 細(xì)棒繞細(xì)棒繞 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；(2) 碰前棒對碰前棒對 O 點(diǎn)的角動量；點(diǎn)的角動量；(3) 碰后棒轉(zhuǎn)動的角速度碰后棒轉(zhuǎn)動的角速度。求：求：所以所以 例例2. 如圖所示，在半徑為如圖所示，在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的的具

25、有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為 處，人的質(zhì)量是處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的圓盤質(zhì)量的1/10開始時(shí)盤載人對地以角速度開始時(shí)盤載人對地以角速度 0勻速轉(zhuǎn)動，勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動相反方沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運(yùn)動，已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為向作圓周運(yùn)動，已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 。12R212MRRv R/2(1)人與盤視為系統(tǒng)，所受對轉(zhuǎn)軸合外力矩人與盤視為系統(tǒng)，所受對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)的角動量守恒為零，系統(tǒng)的角動量守恒 RRvv221 盤盤對對地地人人對對盤

26、盤人人對對地地解：解：0 ）（人人盤盤人對地人對地人人盤盤JJJJ R21求求 ：(1) 圓盤對地的角速度圓盤對地的角速度 (2) 欲使圓盤對地靜止，人應(yīng)沿著欲使圓盤對地靜止，人應(yīng)沿著 圓圓 周對圓盤的速周對圓盤的速 度度v的大小及方向？的大小及方向？ 由相對運(yùn)動有：由相對運(yùn)動有：且有且有:221MRJ 盤盤2220121MRRmJ 人人解方程組得：解方程組得：Rv2120 (2) 欲使盤對地靜止，則欲使盤對地靜止，則 為零即為零即02120 Rv解得：解得：Rv0221 RRvv221 盤盤對對地地人人對對盤盤人人對對地地0 ）（人人盤盤人對地人對地人人盤盤JJJJ 221MRJ 盤盤222

27、0121MRRmJ 人人將剛體看成許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1 、m2 mimn的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1、r2 ri rn221iikivmE整個(gè)剛體的動能整個(gè)剛體的動能kiikEE一、一、 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221JEk稱剛體的轉(zhuǎn)動動能稱剛體的轉(zhuǎn)動動能則第則第 i 個(gè)質(zhì)元的動能個(gè)質(zhì)元的動能 2221iirm221iiivm2221iiirm第四節(jié)第四節(jié) 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能質(zhì)量為質(zhì)量為m的不太大的整個(gè)剛體的重力勢能的不太大的整個(gè)剛體的重力勢能mygEPdmygdmmymgdcmgy一個(gè)不太大的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)一個(gè)不太大

28、的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能一樣。量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能一樣。結(jié)論：結(jié)論：mydmycCXYOz二、剛體的重力勢能二、剛體的重力勢能O-力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由1到到2時(shí)時(shí),力矩的功為力矩的功為21MdArdfdA rdcosf rdsinf Md 如圖力如圖力 f 作用于作用于P點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過微小角度點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過微小角度d ,P點(diǎn)對應(yīng)的線位移為點(diǎn)對應(yīng)的線位移為dr, 力所作的元功力所作的元功dr三、力矩的功三、力矩的功drpf當(dāng)力矩為常量時(shí)當(dāng)力矩為常量時(shí),功為功

29、為)(21MA對于同一轉(zhuǎn)軸對于同一轉(zhuǎn)軸,剛體中所有內(nèi)力矩功的總和為零。剛體中所有內(nèi)力矩功的總和為零。四四 、力矩的功率、力矩的功率:tANdd2.2.當(dāng)力矩與與角速度同向時(shí)當(dāng)力矩與與角速度同向時(shí), ,功和功率皆為正值功和功率皆為正值; ;反之為負(fù)。反之為負(fù)。單位時(shí)間內(nèi)力矩所做的功。單位時(shí)間內(nèi)力矩所做的功。注意注意: :tMddM1.1.當(dāng)額定功率一定時(shí)當(dāng)額定功率一定時(shí), ,力矩與轉(zhuǎn)速成反比力矩與轉(zhuǎn)速成反比; ;21MdA五、五、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理則在該過程中力矩的功為：則在該過程中力矩的功為：21MdA即即,合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所作的功合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所

30、作的功,等于剛體等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量-剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 設(shè)剛體初始時(shí)的角位置和角速度分別為設(shè)剛體初始時(shí)的角位置和角速度分別為1和和1，末態(tài)的末態(tài)的角位置和角速度分別為角位置和角速度分別為2和和2,21dJ21dddtJ2122JJA2121六、剛體系統(tǒng)的功能原理六、剛體系統(tǒng)的功能原理A外力外力 =（Ek2 +Ep2 ）-（Ek1 +Ep1）222121JmvEckcpmgyE當(dāng)含剛體的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有保守力內(nèi)力做功當(dāng)含剛體的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有保守力內(nèi)力做功時(shí)時(shí),在該過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒。在該過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒。例例2 一棒長一棒長 l，質(zhì)量，質(zhì)量 m，其質(zhì)量分布與，其質(zhì)量分布與 O 點(diǎn)距離成正比，將點(diǎn)距離成正比，將細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動，如圖，棒的初點(diǎn)轉(zhuǎn)動，如圖，棒的初始角速度為始角速度為 0，棒與桌面的摩擦系數(shù)為，棒與桌面的摩擦系數(shù)為 。求：求：(1) 細(xì)棒對細(xì)棒對O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。(2)細(xì)棒繞細(xì)棒繞O點(diǎn)的摩擦力矩。點(diǎn)的摩擦力矩。 (3) 細(xì)棒從以細(xì)棒從以0 開始轉(zhuǎn)動到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。開始轉(zhuǎn)動到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。解：解：O0 Zdm2021mlJ (1)（2）mglMf 32 （3）由角動量原理）由角動量原理00 JJMdtt glt