第四篇2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第四篇回歸教材，糾錯(cuò)例析，幫你減少高考失分點(diǎn)要點(diǎn)回扣易錯(cuò)警示查缺補(bǔ)漏 欄目索引要點(diǎn)回扣1.求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來(lái)列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開(kāi)偶次方根、被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對(duì)數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時(shí)，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏.對(duì)抽象函數(shù)，只要對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同.(1,1)(1，)2.用換元法求解析式時(shí)，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問(wèn)題.問(wèn)題2已知f(cos x)sin2x，則f(x)_.1x2(x1,1)3.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)

2、函數(shù).4.判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響.f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù).奇5.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“”和“或”連接，可用“及”連接，或用“，”隔開(kāi).單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.(，0)，(0，)6.弄清函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|).(3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)0.“f(0)0”是“

3、f(x)為奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件.A.(，)上的減函數(shù)B.(，)上的增函數(shù)C.(1,1)上的減函數(shù)D.(1,1)上的增函數(shù)解析由題意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，函數(shù)y1lg(1x)是增函數(shù)，函數(shù)y2lg(1x)是減函數(shù)，故f(x)y1y2是增函數(shù).選D.答案D7.求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù).(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù).(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù).(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù).(5)換元法(特別注意新元的范圍).(6)分離常數(shù)法：適合于一次分式.8.函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換(1)平移變換

4、：左右平移“左加右減”(注意是針對(duì)x而言)；上下平移“上加下減”.(2)翻折變換：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|).(3)對(duì)稱(chēng)變換：證明函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，即證圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖象上；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x0 (y軸)對(duì)稱(chēng)；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y0(x軸)對(duì)稱(chēng).(1,2)10.二次函數(shù)問(wèn)題(1)處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向，二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系.(2)若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函

5、數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形.問(wèn)題10若關(guān)于x的方程ax2x10至少有一個(gè)正根，則a的取值范圍為_(kāi).11.(1)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)已知a0且a1，b0且b1，M0，N0.則loga(MN)logaMlogaN，logaMnnlogaM，loglogmnaanNNm(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對(duì)有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)yax的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).問(wèn)題11函數(shù)y|log2|x1|的遞增區(qū)間是_.作圖可知正確答案為0,1)，2，).0,1)，2，)12.冪函數(shù)y

6、x(R)(1)若1，則yx，圖象是直線.當(dāng)0時(shí)，yx01(x0)圖象是除點(diǎn)(0,1)外的直線.當(dāng)01時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象是下凸的.(2)增減性：當(dāng)0時(shí)，在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx是增函數(shù)；當(dāng)0時(shí)，在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx是減函數(shù).12x113.函數(shù)與方程(1)對(duì)于函數(shù)yf(x)，使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn).事實(shí)上，函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根.(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此時(shí)這個(gè)c就是方程f(x)0的根.反之不成立.問(wèn)題13

7、已知定義在R上的函數(shù)f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函數(shù)yg(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)0在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有實(shí)數(shù)根()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析f(x)(x2)(x1)g(x)3x4，f(1)031410.又函數(shù)yg(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn).因此方程f(x)0在(1,2)內(nèi)必有實(shí)數(shù)根.B14.求導(dǎo)數(shù)的方法(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yxyuux.如求f(axb)的導(dǎo)數(shù)，令uaxb，則(f(axb)f(u)a.問(wèn)題14f(x)e2x，則f(x)_.2e2x15.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf

8、(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f(x)0.解析由x25x60知x|x3或x2.令ux25x6，則ux25x6在(，2)上是減函數(shù)， 的單調(diào)增區(qū)間為(，2).212log (56)yxx 答案(，2)易錯(cuò)點(diǎn)2分段函數(shù)意義理解不準(zhǔn)確A.1 B.0C.1 D.2錯(cuò)因分析不理解分段函數(shù)的意義，誤認(rèn)為應(yīng)將x2 016，代入log2(1x)，或者認(rèn)為得不到f(2 016)的值.解析f(2 016)f(2 015)f(2 014)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 010)f(0)0.答案B錯(cuò)因分析只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變

9、化情況，忽視對(duì)定義域的臨界點(diǎn)處函數(shù)值的要求.易錯(cuò)點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)求解討論不全面例4函數(shù)f(x)mx22x1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(，1 B.(，01C.(，0)1 D.(，1)錯(cuò)因分析解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有分類(lèi)討論不全面、函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)，如忽視對(duì)m0的討論，就會(huì)錯(cuò)選C.當(dāng)m0時(shí)，若0，即m1時(shí)，x1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，若0，顯然x0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)mx22x10有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，即mf(0)0，即m0.故選B.答案B易錯(cuò)點(diǎn)4混淆“過(guò)點(diǎn)”和“切點(diǎn)”例5求過(guò)曲線y3xx3上的點(diǎn)(2，2)的切線方程.錯(cuò)因分析混淆過(guò)一點(diǎn)的切

10、線和在一點(diǎn)處切線，錯(cuò)誤認(rèn)為(2，2)一定是切點(diǎn).解設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則點(diǎn)P處的切線方程是點(diǎn)A在切線上，又點(diǎn)P在曲線C上，由、，解得x02或x01.當(dāng)x02時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，切線方程是9xy160.當(dāng)x01時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，切線方程是y20.綜上，過(guò)點(diǎn)A的曲線C的切線方程是：9xy160或y20.易錯(cuò)點(diǎn)5極值點(diǎn)條件不清例6已知f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值為10，則ab_.錯(cuò)因分析把f(x0)0作為x0為極值點(diǎn)的充要條件，沒(méi)有對(duì)a，b值進(jìn)行驗(yàn)證，導(dǎo)致增解.解析f(x)3x22axb，由x1時(shí)，函數(shù)取得極值10，得當(dāng)a4，b11時(shí)，f(x)3x28x11(3x

11、11)(x1).在x1兩側(cè)的符號(hào)相反，符合題意.當(dāng)a3，b3時(shí)，f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號(hào)相同，所以a3，b3不符合題意，舍去.綜上可知a4，b11，ab7.答案7易錯(cuò)點(diǎn)6函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準(zhǔn)確例7函數(shù)f(x)ax3x2x5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_.錯(cuò)因分析誤認(rèn)為f(x)0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f(x)0的情況.解析f(x)ax3x2x5的導(dǎo)數(shù)f(x)3ax22x1，易錯(cuò)點(diǎn)7計(jì)算定積分忽視細(xì)節(jié)A.2ln 2 B.2ln 2C.ln 2 D.ln 2答案D查缺補(bǔ)漏1.(2014北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()B項(xiàng)，函數(shù)y(x1

12、)2在(，1)上為減函數(shù)，在1，)上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，函數(shù)ylog0.5(x1)在(1，)上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤.答案AC3.下列各式中錯(cuò)誤的是()A.0.830.73 B.log0.50.4log0.50.6C.0.750.1lg 1.4解析構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決，對(duì)于A，構(gòu)造冪函數(shù)yx3，為增函數(shù)，故A對(duì)；對(duì)于B、D，構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)ylog0.5x為減函數(shù)，ylg x為增函數(shù)，B、D都正確；對(duì)于C，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y0.75x，為減函數(shù)，故C錯(cuò).C4.a是 的零點(diǎn)，若0 x0a，則f(x0)的值滿(mǎn)足()A.f(x0)0 B.f(x0)0C.f(x0)0 D.f(x0)的符號(hào)不確定

13、122logxf xx 解析函數(shù) 在(0，)上是單調(diào)遞增的，這個(gè)函數(shù)有零點(diǎn)，這個(gè)零點(diǎn)是唯一的，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,知在(0，a)上，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值小于零，即f(x0)0. 1222log2logxxfxxx B5.(2014天津)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(0，)B.(，0)C.(2，)D.(，2) 212log (4)f xx解析因?yàn)?在定義域上是減函數(shù)，12logyt所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2).D6.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是()解析從導(dǎo)函數(shù)圖象上可以看出函

14、數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)，(0，)，故函數(shù)圖象最有可能是選項(xiàng)A中的圖象.答案AA.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)?，)由圖象知只有D正確.答案D8.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(，0上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(x)0的x的取值范圍是_.解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|).因?yàn)閒(x)0，f(2)0.所以f(|x|)f(2).又因?yàn)閒(x)在(，0上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以|x|2，所以2x1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有一個(gè).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，).答案(1，)10.(2014江蘇)已