隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望望第一頁(yè)，共13頁(yè)。解解的分布律的分布律先求先求2XY 2XY p4102p31pp 4p則有則有( )E Y42124)(10pppp 422212221)1(0pppp 421iiix p 第1頁(yè)/共13頁(yè)第二頁(yè)，共13頁(yè)。(1)(1)若若X X是離散是離散(lsn)(lsn)型隨機(jī)變量，且型隨機(jī)變量，且 X X 的概率分布的概率分布為為 ，iipxXP , 2 , 1 i.)()()( iiipxgXgEYE(2)(2)若若X X是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)(su j bin

2、 lin)，且其概，且其概率密度為率密度為 f(x) f(x)， 則則.d)()()()( xxfxgXgEYE則則第2頁(yè)/共13頁(yè)第三頁(yè)，共13頁(yè)。解解X- -2- -100.1P 10.20.30.4例例4.3 4.3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) X (su j bin lin) X 的概率分布如下：的概率分布如下： 求求)13( XE, ,2EX. . 41) 13() 13(iiipxXE 4122iiipxEX.14 . 043 . 012 . 021 . 05 .14 . 013 . 002 . 011 . 04 第3頁(yè)/共13頁(yè)第四頁(yè)，共13頁(yè)。解解例例4.

3、4 4.4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) X (su j bin lin) X 的概率密度的概率密度為拉普拉斯分布為拉普拉斯分布 ，|e21)(xxf x xxxfXEd)()( xxxde21|.0 xxfxXEd)()(22 xxxde21|2 02dexxx.2 第4頁(yè)/共13頁(yè)第五頁(yè)，共13頁(yè)。解解例例4.5 4.5 游客乘電梯游客乘電梯(dint)(dint)從底層到電視塔頂層觀光，從底層到電視塔頂層觀光，電梯電梯(dint)(dint)于每個(gè)整點(diǎn)的第于每個(gè)整點(diǎn)的第5 5分鐘、分鐘、2525分鐘和分鐘和 55 55分鐘從分鐘從底層起行假設(shè)有一游客在早上底層起行假設(shè)

4、有一游客在早上8 8點(diǎn)的第點(diǎn)的第X X分鐘到達(dá)底層等分鐘到達(dá)底層等候電梯候電梯(dint)(dint)，且，且X X在在0,600,60上均勻分布，求該游客等上均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 6055,655525,55255,2550,5XXXXXXXXY以以Y Y 表示游客表示游客(yuk)(yuk)的等候時(shí)間，的等候時(shí)間，則則故故 25550d601)25(d601)5()(xxxxYE 55256055(min)335d601)65(d601)55(xxxx第5頁(yè)/共13頁(yè)第六頁(yè)，共13頁(yè)。(1) (1) 若若(X,Y)(X,Y)是離散是離散(lsn)(lsn)型

5、隨機(jī)變量，且其聯(lián)合分布律型隨機(jī)變量，且其聯(lián)合分布律為為 ，ijjipyYxXP , 2 , 1, ji則則.),(),()( jiijjipyxgYXgEZE(2) (2) 若若(X,Y)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)(su j bin lin)，聯(lián)，聯(lián)合概率密度為合概率密度為f(x,y)f(x,y)，則，則 yxyxfyxgYXgEZEdd),(),(),()(第6頁(yè)/共13頁(yè)第七頁(yè)，共13頁(yè)。0XY1 013130011013解解 23 ii jijEXx p 1110 0 00 0 11 0 1333 0EY 類類似似計(jì)計(jì)算算得得， 0.E XY

6、第7頁(yè)/共13頁(yè)第八頁(yè)，共13頁(yè)。1 1xy 1312d123ln23xxxx.43 解解例例4.7 4.7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)(X,Y)(su j bin lin)(X,Y)的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度為概率密度為 其其他他 , 0 1,1 , 23),(23xxyxyxyxf. )1(),(XYEYE求求 xxyyxx131d23d yxyxfyYEdd),()( 13dln2123xxx第8頁(yè)/共13頁(yè)第九頁(yè)，共13頁(yè)。1 1xy xxyyxx1341d23d yxyxfxyXYEdd),(1)1( 1224d)1(12123xxxx 162d)11(43xxx.5

7、3)511(43 解解例例4.7 4.7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)(X,Y)(su j bin lin)(X,Y)的聯(lián)的聯(lián)合概率密度為合概率密度為 其其他他 , 0 1,1 , 23),(23xxyxyxyxf. )1(),(XYEYE求求第9頁(yè)/共13頁(yè)第十頁(yè)，共13頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì) E(C)=C E(C)=C，其中，其中(qzhng)C(qzhng)C是是常數(shù)。常數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh) (xngzh) 設(shè)設(shè)X X、Y Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);E(XY)=E(X)E(Y);性質(zhì)性質(zhì) 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X);性質(zhì)性

8、質(zhì) E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); niiniiXX11)(EE:推廣推廣(諸諸Xi 獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí))注意注意:E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立推廣：推廣：)(EE11 niiiniiiXkXk第10頁(yè)/共13頁(yè)第十一頁(yè)，共13頁(yè)。 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)(y )車站沒(méi)有旅客下車就不停車. 以X表示停車的次數(shù), 求E(X) (設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量(su j bin lin) 站站無(wú)無(wú)人人下下車車第第站站有有人人下下車車第第iiXi, 0, 110, 2 , 1 , i則有則有1021XXXX 例例4.84.8解解由題意由題意(t y), 有有第11頁(yè)/共13頁(yè)第十二頁(yè)，共13頁(yè)。則有則有1021XXXX 由題意由題意(t y)，有，有,1090P20