求極限的方法畢業(yè)論文

1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書課題名稱求極限的方法和技巧指導(dǎo)教師姓名工作單位一、主要內(nèi)容：通過運(yùn)用極限的定義以及相關(guān)定理、 性質(zhì)來計(jì)算極限并通過例題的歸納總結(jié)出一些常見的求極限的方法和技巧。一、基本要求（基本技術(shù)要求與數(shù)據(jù)）根據(jù)極限性質(zhì)和相關(guān)定理巧妙的運(yùn)用相關(guān)技巧計(jì)算出極限的值。三、論文（設(shè)計(jì)）工作起始日期：自2012年11月15日起，至2013年4月30日止四、進(jìn)度與應(yīng)完成的工作：第一階段：閱讀書籍、查找資料（2012年11月15日一2012年12月31日）第二階段：系統(tǒng)設(shè)計(jì)、論文初稿（2013年1月1日一3月10日）第三階段：論文修改及電子檔送檢（2013年3月11日一3月20日）第四階段：論文定

2、稿、打印（2013年3月21日一4月15日）第五階段：論文答辯準(zhǔn)備及答辯（2013年4月16日一4月28日）五、主要參考文獻(xiàn)、資料1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析M.第三版.北京：高等教育出版社,2001.2 吳良森，毛羽輝數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（多變量部分）M.北京：科學(xué)出版社，2004.3 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.第二版.武漢：崇文書局，2009.4 費(fèi)定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解M.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版，2005.目錄摘要 5Astract: 6一、引言 7二、相關(guān)定義與定理 7三、極限的幾個(gè)重要性質(zhì) 101、收斂數(shù)列的一些性質(zhì) 102、函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì) 10四、極限的方法

3、與技巧及舉例說明 111、積分定義法求極限 112、對(duì)數(shù)法求極限 113、利用等價(jià)無窮小求極限 124、利用兩個(gè)重要極限求極限 125、利用數(shù)列與級(jí)數(shù)的關(guān)系求極限 136、利用泰勒展開式求極限 137、單調(diào)有界定理 14&遞推關(guān)系法 159、先求和后求限 1510、利用不等式 1611、洛必達(dá)法則 1612、中值定理法 1713、兩邊夾法則 1814、利用極限的四則運(yùn)算法則求極限 1815、施篤茲（stolz）定理 1916、Euler 常數(shù)法 19五、總結(jié) 20參考文獻(xiàn) 20致謝 21求極限的方法與技巧龍麗麗摘 要 :極限概念是高等數(shù)學(xué)中很重要的概念之一， 其它所有的 重要的數(shù)學(xué)概念

4、如導(dǎo)數(shù)、定積分都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上的。因此極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算。 由于極限概念的高度抽象， 致使 我們很難用極限定義本身去求極限， 又由于極限運(yùn)算分布于整個(gè)高等 數(shù)學(xué)的始終， 許多重要的概念是由極限定義的， 所以掌握極限的方法 非常重要。反過來，我們也可以利用這些概念來求一些極限，所以極 限的方法是十分繁多的。 針對(duì)這種情況， 本文通過例題總結(jié)、歸納了 常見的求極限的方法及一些技巧。 有關(guān)命題與結(jié)論在文中有詳細(xì)地說 明。關(guān)鍵詞：極限; 方法; 技巧。Skills and methods of limitLONG liliAbstract : The limiting concep

5、t is one of the very important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in advanced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtai

6、n limit by the concept of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore

7、 there are various ways to obtain limits. From above descriptions, common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.Keywords: limit ， method，skill .引言在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極

8、限是一個(gè)重要概念，求數(shù)列與函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的 基本運(yùn)算。如函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分及級(jí)數(shù)的收斂等都是在極限理論的基礎(chǔ) 上建立的。求極限的主要方法有：定義法、四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、 兩邊夾法則 、單調(diào)有界定理、利用兩個(gè)重要極限等。除這些常規(guī)方法外還有很多技巧，這些技巧隱含在函數(shù)的相關(guān)理論中，對(duì)這些技巧進(jìn)行歸納探討并就應(yīng)用范圍進(jìn)行分 析。二、相關(guān)定義與定理定義1設(shè)an為數(shù)列，a為定數(shù)。若對(duì)任意的正數(shù)，總存在正整數(shù)N ,使得當(dāng)n N時(shí)有I an a| ,則稱數(shù)列 兔 收斂于a,定數(shù)a稱為數(shù)列 的極 限，并記作niman a，或 anan讀作“當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，務(wù)的極限等于a或務(wù)趨于a ” .若數(shù)

9、列沒有極限, 則稱an不收斂,或稱an為發(fā)散數(shù)列.定義2 設(shè)f為定義在a,上的函數(shù),A為定數(shù).若對(duì)任意的0，存在正數(shù)M a ,使得當(dāng)x M時(shí)有| f (x) A則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于 時(shí)以A為極限，記作Jim f (x) A,或 f (x) A x.定義3設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某空心鄰域U 0 Xo；內(nèi)有定義,A是一個(gè)確定 常數(shù)若 0,0,總存在x,滿足0 x' X。,且| f(x) Ao，貝U稱當(dāng)x x0時(shí)，f(x)以A為極限，記為lim f (x) A .x X0定義4設(shè)函數(shù)f(x)在U 0 a,內(nèi)有定義,A是一個(gè)確定的常數(shù)，若0,0,使當(dāng)a x a 時(shí)，都有f(x) A ,則稱函數(shù)f(x

10、)在x趨于a +時(shí)右極限存在,并以A為右極限記作lim f(x) A.有時(shí)也記 ax af (a 0) lim f (x).x a定理1單調(diào)有界定理在實(shí)系數(shù)中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.定理2柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列an收斂的充要條件是：對(duì)任給的0,存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n,m N時(shí)有an am.這個(gè)定理從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。定理3致密性定理有界數(shù)列必存在收斂子列。定理4施篤茲定理 設(shè)數(shù)列yn單調(diào)遞增趨于，lim xn1 xn A.(可n Yn 1 Yn以為無窮)，則lim蟲 A .nYn定理5 3 有界變差數(shù)列收斂定理若數(shù)列Xn滿足條件：要條件是：任給 0,存在正數(shù),使得對(duì)任何x ,x

11、定理7 設(shè)f為定義在U 0X。上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限lim f x存在.x x0定理8拉格朗日中值定理4設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:xn 1xn 2M n 2,3 則稱xn為有界變差數(shù)列，且有界變差數(shù)列一定收斂。lim f x存在的充x x)定理6柯西準(zhǔn)則設(shè)函數(shù)f在U0 X。；內(nèi)有定義.(1) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2) f在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使1f (f b f a)b a.定理9積分第一中值定理設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則至少存在a ,b ,使得bf x dx f b a .a定理10推廣的積分第一中值定理 若f與g都在a,b上連續(xù),且g x在a,b上

12、不變號(hào),則至少存在一點(diǎn)a,b ,使得x g x dxagx dx.定理11歐拉定理5序列Xn1丄123因此有公式11 1 T1C In nn式中C2 3n(當(dāng)g x 1時(shí)，既為定理9).當(dāng)n 時(shí)，n 01In n n 1,2收斂. n0.577216稱為歐拉常數(shù),且定理12級(jí)數(shù)收斂定理若級(jí)數(shù)Un收斂,則nim Un 0n 1n定理13歸結(jié)原則設(shè)函數(shù)f在U° x0.內(nèi)有定義.lim f x存在的充要 'x x條件是：對(duì)任何含于U0 X0；'且以x0為極限的數(shù)列xn ,極限nim f xn都存在且相等.注1歸結(jié)原則也可簡(jiǎn)敘為：lim f(x) A 對(duì)任何人x0 n 有x

13、xlim f xnA.n注2歸結(jié)原則是聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)的橋梁.三、極限的幾個(gè)重要性質(zhì)1、收斂數(shù)列的一些性質(zhì)(1) 唯一性若數(shù)列an收斂,則它只有一個(gè)極限.(2) 有界性若數(shù)列an收斂，則an為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì) 一切正數(shù)n有anM .(3) 保號(hào)性 若 nim ana 0 (或 a 0)任何 a'0,a (或 a'a,0 )存在正數(shù)N ,使得當(dāng)n N時(shí)有an a'(或ana').(4) 保不等式性 設(shè)an與b.均為收斂數(shù)列.若存在正數(shù)N。，使得當(dāng)n No 時(shí)有 anbn，則 lim anlim bnnn(5) 迫斂性 設(shè)數(shù)列an, bn都以a為極限，且

14、Hm bn0 ,若數(shù)列c.滿足：存在正數(shù)No,當(dāng)n No時(shí)有a. c. bn,則數(shù)列cn收斂，且lim c.a .n(6) 四則運(yùn)算法則若a.與bn為收斂數(shù)列，則a.b.,a.b.,a.b.且有 limanbnlimanlim bn,lim(an-bn)liman.limbn.nnnnnn特別當(dāng) bn為常數(shù) c時(shí)有 lim(a.c) lim a.c, lim ca.clima.nnnn若再假設(shè)bn0及l(fā)im bn0，貝U空 也是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im色lim an / lim bn.n nbnnbnn n n n2、函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì)(1) 唯一性 若極限lim f x存在,則此極限是唯一的.X

15、 x(2) 局部有界性 若極限lim f x存在，則f在x的某空心鄰域U 0 x內(nèi)有x X)界.(3) 局部保號(hào)性若極限lim f x A 0,則對(duì)任意正數(shù)r，存在x0的某空X x心鄰域U0 x0 ,使對(duì)x U0 x0，恒有f x r 0.(4) 保不等式6性若lim f x A , lim g x B有0x U X0；XX。XX)成立,則 AB,即 lim f x lim g x .X X0X X)7(5)迫斂性設(shè) lim f x lim gX x0x x0x A ,在空心鄰域U0Xo內(nèi)有，則 lim h X A.X X0(6)若 lim fX Xox A Iim f xX X0lim f

16、xX Xo注極限的性質(zhì)是在某一鄰域內(nèi)研究的而數(shù)列極限的性質(zhì)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi) 研究的.四、極限的計(jì)算方法與技巧及舉例說明在上面我們講了極限的定義、定理及相關(guān)性質(zhì)，我們可以利用一些性質(zhì)來歸納極限的計(jì)算方法及所隱含的技巧。1、積分定義法求極限求F求 lim nn/ 1令 y=則 In y = - nn i 1nIn丄ni，而n 1. iIn y= ln = -1n i 1 n此題結(jié)合了對(duì)數(shù)法.2、對(duì)數(shù)法求極限X . X例 求極限 lim c03X . XX yabc30,b 0,c 0 .,則InXXX1 , a bcInx30olnXXX.1 . a b c y lim In0 x3X . XX .

17、a +b c 1 lim.一 a0331= In a Inb In c3xxIn a b In b c In cIn 3 abc.3、利用等價(jià)無窮小求極限f x設(shè)當(dāng)x X)時(shí)，f和g均為無窮小量，若lim1 ,則稱f和g是當(dāng)x X)x x)g x故有tan x sin x；3sin x=x叫1cosx2xx.一23x例求 lim tanx s3nxx 0sin x解由于 tan x sin xsin x 1cosxcosx ，而sin x xx 0 ， 1 cos x2xx0 ， sin x3 x3 x0，時(shí)的等價(jià)無窮小量.記作xg x42注 在利用等價(jià)無窮小量代換求極限時(shí)， 應(yīng)注意：只有對(duì)所

18、有極限式中相乘或相 除的因式才能用等價(jià)無窮小量來替代，而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨 意替代。4、利用兩個(gè)重要極限求極限重要極限:lim 竺1;lim 1x 0 xxe此種方法主要利用類似于兩個(gè)重要極x限中的函數(shù)形式的特點(diǎn)來求極限的.如第一個(gè)極限結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為叫江1；第二個(gè)重要極限結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為lim1 e.在每一個(gè)極限中處變量形式是致的.sin(x例(1)求limx 2cosxsin(x -)limMx 1 2cos x3sin y1 cosy '一 3sinysin ylimy2y(2)求 lim 1x、;x13sin y.sin 2解原式 limxlimx5、利用數(shù)列與級(jí)數(shù)的關(guān)

19、系求極限對(duì)于數(shù)列an對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)an如果能判斷此級(jí)數(shù)是收斂的，由級(jí)數(shù)收斂2的柯西準(zhǔn)則可以知道nim an 0，此方法的關(guān)鍵是求出的極限為 0.換句話說，若個(gè)數(shù)列的極限不是0就不能用此方法.例計(jì)算limn1(ln ln n)lnn解因?yàn)椋↖nIn n）lnn(elnlnln nln n(elnn)lnlnln nlnlnln nn當(dāng)n充分大時(shí)（In In n） n2，于是1 1ln ln n n2 '故由 丄收斂可知1一收斂，所以n=1 nn 2 ln ln nlimn1(ln ln n)lnn6、利用泰勒展開式求極限若一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式比較復(fù)雜時(shí)，我們將它展成泰勒展試，若能展成，這樣將一

20、個(gè)表達(dá)式很復(fù)雜的函數(shù)化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)無窮小量的和，而多項(xiàng)式的計(jì)算是較簡(jiǎn)單的，從而此法能簡(jiǎn)化求極限的運(yùn)算X2例求極限limX 0cosx e 2解 本題可用洛必達(dá)法則求解（較繁瑣），在這里可應(yīng)用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為x4，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（取 n 4）：240 X5彳X Xcosx 1-224X2X2X4X2COSX40 X5 .因而求得12x400cosx e4x=0。120 x51127、單調(diào)有界定理通常根據(jù)所求極限式的特征，估計(jì)其上下界，然后用數(shù)學(xué)歸納法等方法證明 其單調(diào)性和有界性，并注意上下界在證明單調(diào)性中的應(yīng)用， 最后往往通過方程求 解極限值，注意根的取

21、舍例證明數(shù)列Xn收斂，其中X1Xnn 1,2并求極限lim人.n證Xn+1 =Xn2 Xn.'3 ，可知人有下界，又2Xn2VXn仏 1121131.Xn 2Xn23Xn單調(diào)遞減，從而Hm Xn b存在.b b ,解得 b 3.2 blim xnn8、遞推關(guān)系法5遞推關(guān)系中最常見的方法是利用單調(diào)有界定理，但也有一部分并不滿足單調(diào)性，從而不能使用單調(diào)有界定理，其相應(yīng)的難度有所加大，其方法也有所不同1, 2,考察極限lim an .n、 1例設(shè) a13, an 1, n1 an解 若極限存在，設(shè)極限值為a，在遞推關(guān)系中令n得a ，解之1 a專（另一負(fù)根舍去）下證a確實(shí)是其極限值事實(shí)上,51

22、2ana11 an 1an 1 aan 1 )(1 a)(1由此遞推關(guān)系立得an1(1 a)n1a1 a0(n).9、先求和再求極限若要求極限limnnak，可以采用先求出和k 1nak的簡(jiǎn)單形式再取極限。k 1例設(shè)xn，求 lim xn.2 n解因?yàn)樗訶n12 123 4所以limnXn10、利用不等式嚴(yán)格地說，此法應(yīng)屬于兩邊夾方法，但由于所用不等式較為特殊，而使問題 解決的中心在于不等式的應(yīng)用，因而單列為一種方法例設(shè)xnInn.證明極限lim Xn存在，并由此計(jì)算:n證由于兩邊取對(duì)數(shù)得由此立得111nim()n 1n22nIn1n 1(1-)e(1)，nn111ln(1)n1,2,n 1

23、nnXn 1 Xn1ln(1 -) 0，即數(shù)列Xn單減.此外,XnInn ln(1 1) ln(1 丄) ln(1 丄)In n n2nln(2 -2ln nln(1 -)n0.即Xn有下界.由單調(diào)有界定理知其收斂，其極限值稱為歐拉常數(shù)，常用C表示.由此易得1 lim ( n n 11 lim (1 - n 2n 212nln(2n)(1-Inn) ln 2 ln 2 . n注也可用定積分法求之11、洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是求解不定式極限的強(qiáng)有力工具.數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)極限，然后利用洛必達(dá)法則求之.洛必達(dá)法則只有直接適用于-未定式，而00,型未定式通過恒等變形可化作 0 -型。而00,

24、 0,1型未定式則通過取0對(duì)數(shù)化作0,型。因此在使用洛必達(dá)法則時(shí)每步都要檢查是否符合洛必達(dá)法則 0條件。此外，還應(yīng)注意及時(shí)化簡(jiǎn)算式，把定式部分分離出來并求出極限，再對(duì)未定式部分使用洛必達(dá)法則。lim丄沁例求X 0 x x解先通分再使用等價(jià)無窮小替換，然后使用洛必達(dá)法則可得cot XXsin x xcosx=Xm0sin x xcosx3Xcosx =limX 0cosx3x2xsin x2 .x sin x注在使用洛必達(dá)法則時(shí)，往往先對(duì)等式進(jìn)行初等變換，然后在不同階段使 用等價(jià)無窮小替換或者取對(duì)數(shù)的方法以簡(jiǎn)化求導(dǎo)過程。12、中值定理法在求函數(shù)F x的極限時(shí)，若能根據(jù)F x的特點(diǎn)尋得一個(gè)新的可微

25、函數(shù)f t 再借助中值定理則往往得到巧妙的解法。xsin x例 求lim ee .x 0 x sin x解 對(duì)函數(shù)f tet在以x和sinx x 0為端點(diǎn)的閉區(qū)間上用微分中值定理有f x f sin x1 f,即xsin xe ee （ 在x與sin x之間）x sin xx sin x因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，有0，所以Xe esin x 廣olimlim e e 1x 0 x sin x0i i例求極限1叫。dx.解由積分中值定理3 dx X313 1,01lim0 0-dx = lim11.13、兩邊夾法則當(dāng)極限不容易直接求出時(shí)，可考慮將極限的變量做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小， 使放 大、縮小所得的變量，易

26、于求極限，且二者的極限值相同時(shí)，則原極限存在，且 等于此公共值。求limn1n2 n 12n2 n 2記Xn1 2""2 2 -n +n 1 n n 21 2 nn2 n 1Xn1 2 nn n 12 n2n 1n n 1Xn 2 n2 2n，n n 12 n2n 11 n n 1lim 22 n 2 n2 2n又兩邊夾法則得,lim 飛n n2 n 12n2 n 214、利用極限的四則運(yùn)算法則求極限對(duì)和差積商形式的函數(shù)求極限自然會(huì)想到極限的四則運(yùn)算法則 ，但是為了能 自然使用這些法則，往往需要先對(duì)函數(shù)作某些恒等變形或化簡(jiǎn)，采用怎樣的變形 與化簡(jiǎn)要根據(jù)具體的算式來確定，常用的有分式的約分或通分，分式的分解，分子 或分母的有理化，三角函數(shù)的恒等變形，某些求和公式與求積公式及適當(dāng)變量替(1)有理分式函數(shù)的極限P(x), Q(x)均是關(guān)于x的多項(xiàng)式，則有0,(Q(x)(P(x),P(n) lim(Q(x)(P(x),x Q(n)最高次系數(shù)之比，(Q(x)(P(x)對(duì)于其他類型的極限，可利用函數(shù)的連續(xù)性和洛必達(dá)法則求解(2)無理根式的極限通常采用分子有理化或分母有理化方式進(jìn)行求解例計(jì)算 lim ( n2n