非線性粘彈流體的本構(gòu)方程

1、第三章非線性粘彈流體的本構(gòu)方程1, 本構(gòu)方程概念本構(gòu)方程(constitutive equation ) 又稱狀態(tài)方程描述一大類材料所遵循的與材料結(jié)構(gòu)屬性相關(guān)的力學(xué)響應(yīng)規(guī)律的方程。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途不同材料以不同本構(gòu)方程表現(xiàn)其最基本的物性，對(duì)高分子材料流變學(xué) 來(lái)講，尋求能夠正確描述高分子液體非線性粘彈響應(yīng)規(guī)律的本構(gòu)方程無(wú)疑 為其最重要的中心任務(wù)，這也是建立高分子材料流變學(xué)理論的基礎(chǔ)。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途尋求流變本構(gòu)方程的基本方法大致可分為唯劊性方法和分子怖方法一兩種。唯象性方法，一般不追求材料的微觀結(jié)構(gòu)，而是強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，現(xiàn)象 性地推廣流體力學(xué)、彈性力學(xué)、高分子物理學(xué)中關(guān)于線性粘彈性

2、本構(gòu)方程 的研究結(jié)果，直接給出描寫非線性粘彈流體應(yīng)力、 應(yīng)變、應(yīng)變率間的關(guān)系。 以本構(gòu)方程中的參數(shù)，如粘度、模量、松弛時(shí)間等，表征材料的特性。 個(gè) 人收集整理勿做商業(yè)用途分子論方法，重在建立能夠描述高分子材料大分子鏈流動(dòng)的正確模型， 研究微觀結(jié)構(gòu)對(duì)材料流動(dòng)性的影響。 采用熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法，將宏觀 流變性質(zhì)與分子結(jié)構(gòu)參數(shù)(如分子量，分子量分布，鏈段結(jié)構(gòu)參數(shù)等)聯(lián) 系起來(lái)。為此首先提出能夠描述大分子鏈運(yùn)動(dòng)的正確模型是問(wèn)題關(guān)鍵。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途根據(jù)研究對(duì)象不同，高分子流變本構(gòu)方程又分為稀忸液理論及冰庫(kù)底一 系理論|兩部分的理論和實(shí)驗(yàn)研究工作都取得巨大的進(jìn)展。有趣的是唯 象性方法和分子論方

3、法雖然出發(fā)點(diǎn)不同， 邏輯推理的思路不盡相同，而最 終的結(jié)論卻十分接近，表明這是一個(gè)正確的科學(xué)的研究基礎(chǔ)。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途目前關(guān)于高分子材料，特別濃厚體系本構(gòu)方程的研究仍十分活躍。同時(shí)，大量的實(shí)驗(yàn)積累著越來(lái)越多的數(shù)據(jù)，它們是檢驗(yàn)本構(gòu)方程優(yōu)劣的最重要標(biāo)志。從形式上分，非線性粘彈流體的本構(gòu)方程主要分為兩大類：I速率型I （亦 稱微商型）本構(gòu)方程和卷逗§構(gòu)方程。速率型本構(gòu)方程，方程中包含應(yīng)力張量或形變速率張量的時(shí)間微商，或同時(shí)包含這兩個(gè)微商。積分型本構(gòu)方程，利用迭加原理，把應(yīng)力表示成應(yīng)變歷史上的積分， 或者用一系列松弛時(shí)間連續(xù)分布的模型的迭加來(lái)描述材料的非線性粘彈性。積分又分為單重積

4、分或多重積分o個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途判斷一個(gè)本構(gòu)方程的優(yōu)劣主要考察：1）方程的立論是否科學(xué)合理，論據(jù)是否充分，結(jié)論是否簡(jiǎn)單明了。2） 一個(gè)好的理論，不僅能正確描寫已知的實(shí)驗(yàn)事實(shí)， 還應(yīng)能預(yù)言至今 未知，但可能發(fā)生的事實(shí)。3）有承前啟后的功能。例如我們提出一個(gè)描寫非線性粘彈流體的本構(gòu)方程，當(dāng)條件簡(jiǎn)化時(shí)，它應(yīng)能還原為描寫線性粘彈流體的本構(gòu)關(guān)系。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途4）最后也是最重要的一條，即實(shí)驗(yàn)事實(shí)（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)）是判斷一個(gè)本構(gòu)方程優(yōu)劣的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)O個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途本章重點(diǎn)介紹用唯象論方法對(duì)一般非線性粘彈流體建立的本構(gòu)方程。分子論方法在第四章介紹。2, 速率型

5、本構(gòu)方程2. 1經(jīng)典的線性粘彈性模型一一Maxwell模型已知高分子本體的線性粘彈行為可以用一些力學(xué)模型，如Maxwell模型、Voigt模型及它們的恰當(dāng)組合進(jìn)行描述。其中Maxwell模型由一個(gè)虎克型彈簧和一個(gè)牛頓型粘壺串聯(lián)而成（圖3-1）。由于形變時(shí)粘壺不受彈簧約束，可產(chǎn)生大形變。原則上 Maxwell模型可用于描述液體流動(dòng)的性質(zhì)。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途圖 3-1 Maxwell 模型設(shè)液體在剪切力作用下發(fā)生流動(dòng)，彈簧、粘壺同時(shí)發(fā)生形變。對(duì)彈簧有對(duì)粘壺有因?yàn)榇?lián)，總應(yīng)力CT = CT / =仃1總應(yīng)變2 二一二一'一二一2 G 0所以有(3-1 )式中=0/G稱松弛時(shí)間，單位為秒

6、;(3-2)CT =：t為應(yīng)力（T對(duì)對(duì)間的一般偏微商(3-3)(3-4)(3-5)將（3-1）式推廣寫成三維形式，以張量表示，則有a 11 a =2 0d式中：。為偏應(yīng)力張量；d為形變率張量d = L LT /2L為速度梯度張量。注意這兒的推廣是將方程簡(jiǎn)單地從一維形式推廣到三維形式，并無(wú)深刻物理意義。公式中系數(shù)2的出現(xiàn)是由于采用了張量描述 的緣故 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途例1 Maxwell模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)。簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)形式見圖2-3,其中速度場(chǎng)方程見公式（2-46）我們?cè)诠潭ㄗ鴺?biāo)系中考察流場(chǎng)中某一確定點(diǎn)上材料流過(guò)時(shí)的應(yīng)力狀 態(tài)。由于流場(chǎng)是穩(wěn)定的，因此該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨時(shí)間變化

7、，故有個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途對(duì)于穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)，其形變率張量為0/20d = |"200I（3-6）CCCI000代入（3-4）式，得到二 11二 120 130/20二 21二 220 23=2 0/200131 仃 32 仃 33 J I 000J這是一個(gè)由九個(gè)方程組成的方程組。由此解得：二 12 =0 21 = 0(3-7)二 23 二二一 32 =: 13 =:一 31 = 0二 11 一 二 22 二 0二 22 一 二 33 二 0結(jié)果表明，采用Maxwell模型確實(shí)能描述材料在穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)中 的流動(dòng)，但是模型的描述能力很有限。實(shí)際上它只能描述具有常數(shù)粘度 不 &

8、#176;的牛頓型流體的粘性行為，高分子液體在剪切速率極低情況下（/-0）的流動(dòng)狀態(tài)（具有常數(shù)粘度）也可用該模型近似描述 O個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途對(duì)于非牛頓型流體在一般流場(chǎng)中的非線性粘彈行為，Maxwell模型無(wú)能為力。既不能描述高分子液體典型的剪切變?。唇Y(jié)構(gòu)粘性）行為，也 不能描述流動(dòng)中存在法向應(yīng)力差（即具有彈性）的事實(shí)。（3-7）式中給出的兩個(gè)法向應(yīng)力差值均等于零。 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途分析可知，Maxwell模型有限的描述能力與方程的推廣方式有關(guān)，特別與方程中應(yīng)力張量的導(dǎo)數(shù)形式有關(guān)。（3-1）式中描述的應(yīng)力變化的導(dǎo)數(shù)形式。是應(yīng)力對(duì)時(shí)間的一般偏微商，這種偏微商通常只能描述無(wú)窮小形變

9、 行為，或流動(dòng)中體系性質(zhì)無(wú)變化的形變行為。對(duì)于描述高分子液體在大形變下的非線性粘彈行為，必須對(duì)應(yīng)力張量的導(dǎo)數(shù)形式審慎定義和推廣。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途另外，在考察流場(chǎng)中流體流動(dòng)時(shí)，緊盯著固定坐標(biāo)系的一點(diǎn)考察（注 意在不同時(shí)刻流經(jīng)該點(diǎn)的流體元不同）和緊跟著一個(gè)流體元考察（該流體元在不同時(shí)刻占據(jù)空間不同位置） 是大不相同的。為此我們首先介紹流體 力學(xué)中描寫材料元流動(dòng)的空間描述法和物質(zhì)描述法，然后再討論經(jīng)典 Maxwell模型的推廣 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途2. 2空間描述法和物質(zhì)描述法流體力學(xué)中，在固定的空間坐標(biāo)系描寫一個(gè)材料元的流動(dòng)有兩種不同 方法：一是物質(zhì)描述法，觀察者的視點(diǎn)集中于一個(gè)具

10、體的流體元及其鄰域所 發(fā)生的事件，研究它在不同時(shí)刻所處的位置，以及它的速度，加速度等， 與通常力學(xué)中集中于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方法相同。這種方法又稱拉格朗日描述 法。在該方法中一般以流體元在參考構(gòu)型中的物質(zhì)坐標(biāo)Xr （R=1,2,3）為自變量，以便區(qū)別不同的材料元O個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途另一個(gè)方法稱空間描述法，觀察者的視點(diǎn)集中于坐標(biāo)空間某一特殊點(diǎn) 及其鄰域所發(fā)生的事件，不針對(duì)一個(gè)具體的流體元。這種方法又稱歐拉描 述法。在該方法中，往往以固定坐標(biāo)系的空間坐標(biāo) Xi （i=1,2,3）為自變量。 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途一般偏導(dǎo)數(shù)和物質(zhì)導(dǎo)數(shù)：流場(chǎng)中的任一物理量u都是時(shí)間t和空間坐標(biāo)為（i=1,2,3）的函

11、數(shù)，記 成u（t,x1,x2,x3 當(dāng)求u的時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)區(qū)分兩種情況。個(gè)人收集整理勿做 商業(yè)用途一是固定空間坐標(biāo)Xi （i=1,2,3）不變（空間描述法），只對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)，稱一般偏導(dǎo)數(shù)。二是采用物質(zhì)描述法，緊盯著一個(gè)材料元求時(shí)間導(dǎo)數(shù)。由于材料元的 坐標(biāo)也在變化（為時(shí)間t的函數(shù)），因此求導(dǎo)時(shí)不僅要對(duì)t求，也要對(duì)Xi（i=1,2,3）求，這種導(dǎo)數(shù)稱物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，記成DU（X,t）。展開來(lái)寫，有個(gè)人收Dt集整理勿做商業(yè)用途Du xi ,t:u3 :u :xi:u=十£=Dtft ifxi 葉：t3“vi i=1：Uxi(3-16)也稱u對(duì)時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)。（3-16）還可記成以下矢量形式:

12、D u :u/、= +vu（3-17）Dt ：t2. 3 廣義Maxwell模型考慮將經(jīng)典的Maxwell模型進(jìn)行推廣。推廣的方法是唯象的。在唯象 方法中，強(qiáng)調(diào)建立描述應(yīng)力分量與形變分量或形變率分量間正確關(guān)系的方程，而對(duì)材料的物質(zhì)結(jié)構(gòu)和其他性質(zhì)不作深究。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途下面介紹幾種廣義Maxwell模型。2.3. 1 White-Metzner 模型該模型的主要特點(diǎn)是在Maxwell模型方程（3-4）中，采用對(duì)應(yīng)力張量 求Oldroyd隨流微商代替一般偏微商 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途隨流坐標(biāo)系 |（ convected frame of referenpeo對(duì)于純粘性流體，由于無(wú)記

13、憶特性，應(yīng)力只依賴于形變速率的瞬時(shí)值，因此采用固定空間坐標(biāo)系計(jì)算是方便的。 對(duì)于粘彈性流體，其應(yīng)力不僅依 賴于即時(shí)形變，還依賴于形變歷史，流體元有“記憶”能力，因此采用固 定空間坐標(biāo)系描述就很麻煩。另外在固定坐標(biāo)系中考察流動(dòng)時(shí)，材料元的形變往往總與平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)牽扯在一起，討論也不方便。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途為此，人們采用一種鑲嵌在所考察的材料元上，隨材料元一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系作為參照系，稱為附流坐標(biāo)系，此參照系中考察流體元的形變。這種參照系最初是由 Oldroyd提出的。由于在隨流坐標(biāo)系中定義的任何 形變的度量總是針對(duì)同一個(gè)材料元的，可擺脫平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速率的影響，故討論流體元的形變問(wèn)題有明顯的優(yōu)越性

14、。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途重要的是，我們必須建立隨流坐標(biāo)系和固定空間坐標(biāo)系中各種物理量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。因?yàn)樗械膶?shí)驗(yàn)儀器都安裝在固定坐標(biāo)系中，所有對(duì)流體性質(zhì)的測(cè)量也都在固定坐標(biāo)系中進(jìn)行，只有建立起隨流坐標(biāo)系和固定坐 標(biāo)系中各物理量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，才能將隨流坐標(biāo)系中討論的結(jié)果轉(zhuǎn)換到 實(shí)驗(yàn)室系中加以驗(yàn)證，以確定本構(gòu)方程的優(yōu)劣。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途隨流坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的隨流坐標(biāo)不變，為常數(shù)，故采用隨流坐標(biāo)對(duì)流體元的描述為物質(zhì)描述。同樣在隨流坐標(biāo)系中，對(duì)物理量求時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)保 持隨流坐標(biāo)不變，因此對(duì)任何物理量所求的時(shí)間導(dǎo)數(shù)均為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途Oldroyd隨流微商即其中一種，記作 o

15、按照上面的討論，這種隨流 、t微商需要轉(zhuǎn)換到固定的空間坐標(biāo)系中。二階應(yīng)力張量Tj的Oldroyd隨流微商轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系后的形式為 :個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途(3-20)式中等號(hào)右邊第一項(xiàng)為(3-21 )D 三 3 f一Tj 二-Tj 、' VkTjDt j V j -%j即二階應(yīng)力張量在固定坐標(biāo)系的物質(zhì)微商， 可以理解為在固定坐標(biāo)系中觀察者見到的某一材料元的應(yīng)力張量對(duì)時(shí)間的變化率。 第二、三項(xiàng)中含有速 度梯度 詈j的影響，速度梯度中含有形變率張量 d和旋轉(zhuǎn)速率張量?jī)刹糠?，它描述了材料元?duì)于固定坐標(biāo)系的有限形變和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途W(wǎng)hite-Metzner推廣經(jīng)典的 M

16、axwell模型，具方法就是在方程（3-4）中 采用對(duì)應(yīng)力張量求Oldroyd隨流微商代替一般偏微商。White-Metzner模 型的方程形式為： 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途6 a。1 =2 0d（3-22）t此公式在形式上雖然與方程（3-4）相仿，但物理意義不同。在這兒應(yīng)力 張量的時(shí)間變化率是在隨流坐標(biāo)系中計(jì)算的， 它與在固定的空間坐標(biāo)系中 所求的一般偏微商以及物質(zhì)微商都不相同 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途2. 3. 2 DeWitt 模型另一種廣義 Maxwell模型一DeWitt模型，是在Maxwell方程中對(duì)應(yīng) 力張量求時(shí)間微商這一項(xiàng)，用共旋隨流微商（Jaumann微商）代替一般 偏微

17、商 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途二階應(yīng)力張量的共旋隨流微商變換到固定坐標(biāo)系后的形式為：d _ D _DTij 一 DtTij 一切 ikTjk 一切 jkTik（ 3-28 ）式中等號(hào)右邊第一項(xiàng) 21的意義 同（3-21）式，為二階張量Tj在固定坐Dt jJ標(biāo)系中的物質(zhì)微商；第二、三項(xiàng)含有旋轉(zhuǎn)速率張量咻,其值為： 個(gè)人收集整理ik勿做商業(yè)用途(3-29)它代表了材料元對(duì)于固定坐標(biāo)系的有限旋轉(zhuǎn)ODeWitt推廣 Maxwell模型，在 Maxwell方程中用對(duì)偏應(yīng)力張量求共旋隨流微商（Jaumann微商）代替一般偏微商，得到的 DeWitt模型方程 形式為： 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途b +K12

18、 ° = 2"0 d（3-30）1 Dt 0式中 白' =Dta ij 一切 ik。jk 一切 jk。ik（3-31 ）我們用DeWitt模型處理一下穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼f(shuō)明能力。已知在（3-23）式描繪的穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)中，旋轉(zhuǎn)速度張量為0/203=，"200（3-32）_ 000計(jì)算（3-31）式中的JaumannB商：與在計(jì)算Oldroyd微商中同樣的原因，首先確定（3-31）式中第一項(xiàng)等于零，即-=0；第二、三項(xiàng)分Dt別為 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途/2二 21二 31T (T-/2一 0二 12二 22二 2332 332,

19、-110Y2 二 22Y2 210V2 32Y312 310(3-33)二 111二 12二 130- /201一< ,、T一口 jk。ik = 0 *3=21二 221- 23* /200.31二 32二 33- 00012'- 121/二, 112Y2 22YI%Y一CT一 232I'000J(3-34)這樣,方程(3-30)可展開寫成:二 11二 12二 13二 12(二 110 22)/221二 2231二 3223 33(二 11 一 二 22 2二 2112仃321一仃312 3101(3-35)這同樣是9個(gè)方程聯(lián)立的方程組，解此方程組得到粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)

20、為：二012/= 0/12 23 1（¥2）= （1 一。22）/產(chǎn)=2“0九 1/（1 十 £斤2），（3-36）, 0 2 =二-” _；二” / 2/12 222233 /0 1 / 11這一結(jié)果使人驚奇，首先（3-36）式描述了剪切粘度與法向應(yīng)力差系數(shù)的剪切速率依賴性：當(dāng)剪切速率7t0時(shí)，材料表現(xiàn)出常數(shù)粘度刀0 （牛頓性）和常數(shù)法向應(yīng)力差系數(shù)；當(dāng)剪切速率升高，粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)均趨于下降，呈現(xiàn)出剪切變稀行為。其次，公式表明，這里描述的液體 是彈性液體，中1 ¥ 0,中2 ¥ 0。與大多數(shù)高分子液體的實(shí)驗(yàn)事實(shí)一致的還 有，公式給出的第一法向應(yīng)力差

21、系數(shù)為正（0）,第二法向應(yīng)力差系數(shù)為 負(fù)（0）,第一法向應(yīng)力差系數(shù)的值大于第二法向應(yīng)力差系數(shù)的絕對(duì)值（巴 下姆）（對(duì)比圖2-11）。這些結(jié)果，都只是因?yàn)槲覀儗?Maxwell方程 由實(shí)驗(yàn)室系推廣到共旋隨流坐標(biāo)系，并且對(duì)時(shí)間的微商采用了共旋隨流微 商而得到的 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途基于上述唯象性推廣的結(jié)果，為了使數(shù)學(xué)模型更精確，更全面的描述 非牛頓型流體復(fù)雜流變性質(zhì)，人們又陸續(xù)提出許多類似的更復(fù)雜的模型。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途2. 3. 3其他類型的微分模型Jeffreys模型，方程形式為：Wb 小 Ifcd x Ib+%（）=2”0 |d + 22 I（3-37）模型的特點(diǎn)是在原始Ma

22、xwell模型基礎(chǔ)上，引入對(duì)形變率張量的偏微 分，同時(shí)引入第二時(shí)間參數(shù) 九2,使材料常數(shù)成為三個(gè)：九1 52 J0。個(gè)人收集整理 勿做商業(yè)用途Oldroyd模型，方程形式為：a a丁 1(7:20 d 2Cd )1I (3-38)3模型的特點(diǎn)是將Jeffreys模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣為Oldroyd隨流微商。材料常數(shù)保留為三個(gè)：% J22 J ° O個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途廣義Jeffreys模型，方程形式為：Dt)=2。d(3-39)模型的特點(diǎn)是將Jeffreys模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣為Jaumann微商（共旋隨流微商）。材料常數(shù)保留為三個(gè)：浦人產(chǎn)o 。個(gè)人收集

23、整理勿做商業(yè)用途Oldroyd八常數(shù)模型，方程形式為：> , 1（D ） - -1（ad d cr） + .二0 tr cr 】 d - v11tr cr d IrDt rD d、（3-40）= 2“01d + 22 -2匕 d2+v2 trd2 I J 、<Dt JJ該模型的時(shí)間微商采用Jaumann微商，并設(shè)置了八個(gè)常數(shù)：入1,入2,0, 1, （12, V 1, Y 2,刀0,用于考慮偏應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的各種關(guān)系。其中前七個(gè)常數(shù)的量綱均為時(shí)間（s）。運(yùn)用此模型確實(shí)可以描寫非牛頓型流體的可變粘度和法向應(yīng)力差效應(yīng)，方程適用的范圍也比較寬廣。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途Oldroyd

24、三常數(shù)模型：Williams和Bird對(duì)Oldroyd八常數(shù)模型中的常數(shù)提出了如下限制性條件：% =0(3-41 )J. - 21 V13 - 2 v2 2V23從而得到如下方程:（2 r 1)-(rd-d(y &tr(ydk= 2%,d +人一 2d 2 2 tB 2 1(3-42)J此方程中只剩三個(gè)材料常數(shù)：%,%0,相對(duì)來(lái)說(shuō)比較容易確定?？梢?看出，DeWitt模型只是上述模型的一個(gè)特例。2. 3. 4 Maxwell模型的疊力口前面討論的Maxwell模型是單一的“彈簧和粘壺串聯(lián)”的力學(xué)模型， 因而只給出一個(gè)松弛時(shí)間心。事實(shí)上由于高分子液體結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)單元的多 重性和復(fù)雜性，其松

25、弛時(shí)間往往有多個(gè)，形成一個(gè)松弛時(shí)間譜。由此可以 提出另一種推廣Maxwell模型的方法，即從材料結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn) 行推廣 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途雖然考慮了材料的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，但推廣的思路仍是唯象的。推廣方法為 用多個(gè)Maxwell模型并聯(lián)代替單一 Maxwell模型來(lái)描寫材料的非線性流 變性，見圖3-3。其中每一個(gè)Maxwell模型都可用方程（3-4）表示，有 獨(dú)自的松弛時(shí)間，相應(yīng)于大分子鏈的一種運(yùn)動(dòng)模式。由于各個(gè)Maxwell模型并聯(lián)，因此總模型上承受的總應(yīng)力 "應(yīng)當(dāng)?shù)扔诟鱾€(gè)Maxwell模型上 的應(yīng)力之和。模型方程可寫成：個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途OO 0* = Z 0* p

26、 p=1/,（3-43）其中每一個(gè)。p均湎足 （X p十九pp = 2" pd pp p r,p< ct J式中入p, ”均為材料常數(shù)。在此基礎(chǔ)上，后人還有把方程中偏應(yīng)力張量 對(duì)時(shí)間的一般偏微商推廣為 Oldroyd隨流微商或Jaumann微商（共旋隨 流微商），此外并無(wú)其他新觀點(diǎn)O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途圖3-3 并聯(lián)Maxwell模型3. 積分型本構(gòu)方程與微商型本構(gòu)方程相對(duì)應(yīng)，本構(gòu)方程也可寫成積分型式，兩者等價(jià)。這種積分可以對(duì)應(yīng)變歷史進(jìn)行，也可以對(duì)連續(xù)變化的運(yùn)動(dòng)模式求積分。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途3. 1 Bolzman疊加原理原理表述：對(duì)于時(shí)間序列中一系列階躍應(yīng)變（或應(yīng)

27、力）的輸入，體系在時(shí)刻t的應(yīng)力(或應(yīng)變)響應(yīng)，可以表示為不同時(shí)刻t (t<t)的一系列個(gè)別響應(yīng)的線性疊加。 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途設(shè)t為現(xiàn)在時(shí)刻，t'為過(guò)去的時(shí)刻序列(t從非常遙遠(yuǎn)的-8演進(jìn)到現(xiàn) 在時(shí)刻t)。對(duì)一系列的過(guò)去應(yīng)變e (t),體系在現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力總響應(yīng)， 按照上述原理記為： 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途(y(t) = 2 t(t - t )e(t )dt (3-50)公式中(t-t')dt'=dG(t-t') (3-51)為彈性模量的微分，而G(t-t')稱材料的松弛(模量)函數(shù)，它是一個(gè)隨時(shí)間間隔(t-t')變化的彈性模量。注意

28、中代)=-吸dt需要指出的是，Bolzmann疊加原理屬于線性疊加理論，原則上只適 用于小形變過(guò)程。如果要對(duì)大形變過(guò)程也適用，必須加以推廣或再加說(shuō)明。 或者a、把問(wèn)題變換到恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下去討論(如選擇在隨流坐標(biāo)系中 討論)；或者b、假定對(duì)應(yīng)于大應(yīng)變過(guò)程，其分割的每一個(gè)子應(yīng)變過(guò)程的 應(yīng)力響應(yīng)足夠小，小到還是可以進(jìn)行線性疊加。如把材料在一段歷史中受 到的應(yīng)變近似分割為若干小階躍應(yīng)變，每一個(gè)子應(yīng)變過(guò)程對(duì)體系現(xiàn)在時(shí)刻 的應(yīng)力響應(yīng)可以進(jìn)行線性疊加，然后求和取極限(圖3-4) o個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途圖3-4應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)的Bolzmann線性疊加3. 2 Maxwell模型的積分形式這兒我們不加推導(dǎo)地

29、給出 Maxwell模型本構(gòu)方程的積分形式，并證明 它與微分型本構(gòu)方程完全等價(jià)。Maxwell模型本構(gòu)方程的積分形式以 Bolzmann疊加原理的形式寫出： 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途(y(t) = 2L G(t-t)d(t')dt'(3-52)t-t/式中 G(t-t')='e-(3-53)九為與時(shí)間過(guò)程相關(guān)的松弛彈性模量，其中”0為常數(shù)粘度,人為松弛時(shí)間，均 為材料參數(shù)。d(t')為過(guò)去時(shí)刻t'的體系所受的形變率張量，b(t)為體系在 現(xiàn)在時(shí)刻t的應(yīng)力響應(yīng)。從(3-53)式可知，G(t t')是一個(gè)隨時(shí)間過(guò)程衰 減的彈性模量，表征著材料

30、的彈性記憶能力隨時(shí)間衰減O個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途可以證明，公式(3-52)與公式(3-4)描寫的Maxwell方程的微分形 式完全等價(jià)。證明如下：對(duì)公式(3-52)利用定積分的微分公式： d t f(x)dx=f(t)(3-54)dt a，一 白b1得到： =2G(0) d(t) (-)a(3-55)-t將以上結(jié)果代入微分模型(3-4)式中，1 .萬(wàn)程左萬(wàn)=° + 九2G(0)d(t) a =2九G(0)d(t)九=2"0d仕上方程右方證畢?？紤]到高分子材料的分子鏈具有多種運(yùn)動(dòng)模式，所以其流變性質(zhì)也可以采用一系列松弛時(shí)間不同的 Maxwell模型并聯(lián)而成的復(fù)雜模型來(lái)加以

31、描述(見圖3-3)。對(duì)于積分型本構(gòu)方程，設(shè)應(yīng)力張量的各分量與各模型 應(yīng)變張量的各分量線性相關(guān)，則總應(yīng)力響應(yīng)可以表示為若干個(gè)分響應(yīng)的線 性疊加，方程形式為： 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途t-t/t N -b t = 2ei d(t/)dt'(3-56)i 1 i t=2 _:.m(t -t')d(t')dt'式中N為分子鏈的運(yùn)動(dòng)模式數(shù)， ,'為各運(yùn)動(dòng)模式的特征常數(shù)粘度和松 弛時(shí)間。t-t/N Nm（t -t'）=£ Gi = £,e 九（3-57）i =1i =1 ' im （t-t/）稱為材料的記憶函數(shù)，表示材料在遙遠(yuǎn)過(guò)去

32、時(shí)刻（t'）所承受 的應(yīng)變，至今仍保留著的對(duì)現(xiàn)在時(shí)刻應(yīng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)O個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途除Maxwell模型外，可以證明，對(duì)其他微分型本構(gòu)模型，如White-Metzner模型，DeWitt模型，Jeffreys模型等，對(duì)應(yīng)的都有其積分 型本構(gòu)模型，且兩者等價(jià)。限于篇幅及數(shù)學(xué)工具的缺陷，此處刪略，有興 趣的讀者可參閱有關(guān)專著 o 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途4.流變模型對(duì)高分子科學(xué)和高分子工程問(wèn)題的意義對(duì)高分子液體流變本構(gòu)方程理論和實(shí)驗(yàn)規(guī)律的研究對(duì)于促進(jìn)高分子材 料科學(xué)，尤其高分子物理的發(fā)展和解決聚合物工程中（包括聚合反應(yīng)工程 和聚合物加工工程）若干重要理論和技術(shù)問(wèn)題都具有十分重要的意

33、義。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途一則由于高分子材料復(fù)雜的流變性質(zhì)需要精確地加以描述，二則由于 高新技術(shù)對(duì)聚合物制品的精密加工和完美設(shè)計(jì)提出越來(lái)越高的要求，因此以往那些對(duì)材料流動(dòng)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)的定性的粗糙認(rèn)識(shí)已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途眾所周知，高分子結(jié)構(gòu)研究（包括鏈結(jié)構(gòu)、聚集態(tài)結(jié)構(gòu)研究）以及這種結(jié)構(gòu)與高分子材料作為材料使用時(shí)所體現(xiàn)出來(lái)的性能、功能間的關(guān)系研究始終是高分子物理研究的主要線索。與“靜態(tài)”的結(jié)構(gòu)研究相比，高分 子“動(dòng)態(tài)”結(jié)構(gòu)的研究，諸如分子鏈運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)行為、聚集態(tài)變化的動(dòng) 力學(xué)規(guī)律、高分子流體的非線性粘彈行為等，更是近年來(lái)引人注目的前沿 領(lǐng)域。按現(xiàn)代凝聚態(tài)物理學(xué)的概念，高分子體系被

34、稱為軟物質(zhì)（ softmatter）或復(fù)雜流體（complex fluids。所謂軟物質(zhì)，即材料在很小的應(yīng) 變下就會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)烈的非線性響應(yīng)， 表現(xiàn)出獨(dú)特的形態(tài)選擇特征。這正是高 分子流體的本征特點(diǎn)。如果能精確描述出高分子液體的復(fù)雜應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，找出這種關(guān)系與材料的各級(jí)結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系， 無(wú)疑對(duì)高分子凝聚態(tài)理論 的發(fā)展具有重要意義 O 個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途在高分子工程方面，當(dāng)前各種各樣新型合成技術(shù)及新成型方法、新成 型技術(shù)（如反應(yīng)加工成型、氣輔成型、振動(dòng)剪切塑化成型、特種纖維的紡 制、新成纖技術(shù)等）陸續(xù)問(wèn)世，在每一種技術(shù)發(fā)展過(guò)程中，研究高分子液 體（熔體、溶液）的流動(dòng)規(guī)律以及新工藝過(guò)程與高分子材

35、料結(jié)構(gòu)性能控制 的關(guān)系，都是最重要的課題。高分子材料的特點(diǎn)之一是它們的物理力學(xué)性 能不完全取決于化學(xué)結(jié)構(gòu)?；瘜W(xué)結(jié)構(gòu)一定的高分子材料可以由于不同的聚 集狀態(tài)（凝聚態(tài)結(jié)構(gòu)）而顯示出不同性質(zhì)。在工業(yè)上，這不同的凝聚態(tài)大 多是由于不同的加工成型方法而造成的。因此采用流變本構(gòu)方程精確地研 究和設(shè)計(jì)成型方法和成型設(shè)備，通過(guò)在成型過(guò)程中對(duì)高分子形態(tài)的主動(dòng)控 制來(lái)獲得性能更為優(yōu)越的新型材料，是高分子工程中的重要熱點(diǎn)課題。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途要完成這些任務(wù)，僅有對(duì)高分子熔體和溶液的流動(dòng)性質(zhì)粗淺的認(rèn)識(shí)（比 如僅僅測(cè)量粘度）是不夠的。取而代之的是要對(duì)大形變下高分子材料的反 常的流變性質(zhì)給出全面的定量的理性描寫，要為解決高分子材料合成和加 工中出現(xiàn)的流體動(dòng)力學(xué)和應(yīng)力分析問(wèn)題提供一種解決問(wèn)題的手段。目前， 高分子流變學(xué)的基本原理和方法已深入到高分子科學(xué)研究和高分子材料 合成和加工工程的各個(gè)領(lǐng)域。許多領(lǐng)域中，如高分子材