自動控制原理(11J-17)

1、1例例1 1 已知系統(tǒng)開環(huán)頻率特性已知系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 )1()()1()(2 TjjjKjG )2()()( jeKjKjGG(0) = ，(0) = - 起點起點:解：系統(tǒng)為解：系統(tǒng)為“2型型”，n-m = 31= 2試簡略畫出該系統(tǒng)的試簡略畫出該系統(tǒng)的 Nyquist 圖。圖。起點在負實軸無限遠處！起點在負實軸無限遠處！2終點終點: : G()=0 ， ()= - 1800問題問題: 特性曲線是在負實軸之上特性曲線是在負實軸之上? 之下之下? 相交相交?特性曲線形狀？特性曲線形狀？3)(180)(180)( Tarctgarctg當當 T 時時: ()T 時時: ()0曲線在負實軸之下曲

2、線在負實軸之下考慮相位關系考慮相位關系:4驗證驗證: :設設: : K=1, =5 ,T=1 num=0,0,5,1; num=0,0,5,1; den=1,1,0,0; den=1,1,0,0; v=-5000,5000,-5000,5000;axis(v) v=-5000,5000,-5000,5000;axis(v) nyquist(num,den) nyquist(num,den)5=5 ,T=1完整圖形？完整圖形？6設設: K=1, =1 ,T=3 num=0,0,1,1; den=3,1,0,0; nyquist(num,den) v=-5000,5000,-500,500;axi

3、s(v)7=1 ,T=3完整圖形？完整圖形？8 用用MATLAB 作作 Nyquist圖圖 例例 1 已知單位反饋系統(tǒng)已知單位反饋系統(tǒng)18 . 0)(1)(2 jjjG num=0 0 1; den=1 0.8 1; nyquist(num,den) grid title(Nyquist Plot of G(s)=1/(s2+0.8s+1)（0型系統(tǒng)）型系統(tǒng)）910例例 2 已知單位反饋系統(tǒng)已知單位反饋系統(tǒng)（0型系統(tǒng)）型系統(tǒng)）18 . 1)(8 . 1)(1)(23 jjjjG num=0 0 0 1; den=1 1.8 1.8 1; nyquist(num,den) axis(-2 2 -

4、2 2); grid title(Nyquis plot of G(s)=1/(s3+1.8s2+1.8s+1)1112例例 3 已知單位反饋系統(tǒng)，已知單位反饋系統(tǒng)， 畫該系統(tǒng)的畫該系統(tǒng)的nyquist圖圖 ) 1(2)(sssG1分析：分析：nyquistnyquist圖圖? ?) 1(1)(jjjG) 1(11122j起點：起點：j, 11型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，n-m=213 num=0 0 1; den=1 1 0; nyquist(num,den) grid title(Nyquist plot of G(s)=1/s(s+1)1(2)(sssG1此程序沒有對此程序沒有對nyquist圖的坐

5、標提任何要求！圖的坐標提任何要求！運行結果如下圖：運行結果如下圖：1415 num=0 0 1; den=1 1 0; nyquist(num,den) axis(-3 3 -10 10) grid title(Nyquist plot of G(s)=1/s(s+1)此程序對此程序對nyquist圖的坐標提出了具體要求！圖的坐標提出了具體要求！運行結果如下圖：運行結果如下圖：16完整圖形？完整圖形？175.6 5.6 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及其應用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及其應用 頻域中的穩(wěn)定性判據(jù)頻域中的穩(wěn)定性判據(jù)引言：引言： 時域穩(wěn)定性分析法；時域穩(wěn)定性分析法； S S域穩(wěn)定性分析法；域穩(wěn)定性分析法；

6、 頻域穩(wěn)定性分析法頻域穩(wěn)定性分析法 基于基于NyquistNyquist圖的穩(wěn)定判據(jù)圖的穩(wěn)定判據(jù) 基于基于BodeBode圖的穩(wěn)定判據(jù)圖的穩(wěn)定判據(jù)185.6-1 Nyquist5.6-1 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本原理穩(wěn)定判據(jù)的基本原理 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)是穩(wěn)定判據(jù)是 利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 （NyquistNyquist圖）來判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性圖）來判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 基于頻率特性，應用復變函基于頻率特性，應用復變函 數(shù)理論中的保角數(shù)理論中的保角映射定理，將上述映射定理，將上述充分必要條件充分必要條件

7、轉換為頻域判據(jù)。轉換為頻域判據(jù)。 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)的原始依據(jù)穩(wěn)定判據(jù)的原始依據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的 極點全部在左半極點全部在左半S S平面（特征方程根全部在左半平面（特征方程根全部在左半S S 平面）平面）19為了應用映射定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，引入輔助函數(shù)為了應用映射定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，引入輔助函數(shù) F(s) ：)()()()(1)()()()()(1)()(1)(sDsDsNsDsNsFsDsNsWsWsHsGsFkk ）（則：則：設：設：（即：特征多項式函數(shù)）（即：特征多項式函數(shù)）).()()().()()

8、()(:321321nnpspspspszszszszsKsF進一步請考慮：請考慮：F(s)的零點、極點和系統(tǒng)開環(huán)極點、閉環(huán)極點關系。的零點、極點和系統(tǒng)開環(huán)極點、閉環(huán)極點關系。20F(s)的極點數(shù)目用的極點數(shù)目用 P 表示表示 , F(s)的零點數(shù)目用的零點數(shù)目用 Z 表示表示.輔助函數(shù)輔助函數(shù) F(s) 的特征的特征 F(s)的的 F(s)的的 F(s)的的系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件轉化為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件轉化為：F(s)的的Z個零點必須在個零點必須在 s左半平面。左半平面。設：設：則：則：215.65.62 2 映射定理映射定理 設：原平面為 S 平面，在 S 平面上: s = + j 映射平面

9、為 F (s) 平面，在F (s)平面上: F (s)= u+j v S平面到 F (s)平面的映射點映射曲線映射SF (s)22 如果動點如果動點 S S1 1在在S S平面上平面上沿封閉曲線沿封閉曲線C Cs s按順時針方向按順時針方向連續(xù)變化一周，那么復變函連續(xù)變化一周，那么復變函數(shù)在數(shù)在F(s)F(s)平面上的映射也是平面上的映射也是一條封閉曲線一條封閉曲線C CF F ，但其變化方向可能是順時針的，也可能是逆，但其變化方向可能是順時針的，也可能是逆時針的；可能包圍原點，也可能不包圍原點；可能環(huán)繞原點一時針的；可能包圍原點，也可能不包圍原點；可能環(huán)繞原點一周，也可能環(huán)繞多周周，也可能環(huán)

10、繞多周 這取決于這取決于S S平面上平面上C Cs s 包圍包圍 F(s)F(s)的零點個數(shù)的零點個數(shù)Z Z和極點個數(shù)和極點個數(shù)P P 。 曲線映射23映射定理：映射定理： 設設C Cs s為為S S平面上不經(jīng)過平面上不經(jīng)過F(s)F(s)的任何零點、極點的封的任何零點、極點的封閉曲線，閉曲線，C Cs s中包含了中包含了F(s)F(s)的的P P個極點和個極點和Z Z個零點，則當個零點，則當動點動點s s順時針在順時針在C Cs s上圍繞一周時上圍繞一周時, , 映射到映射到F(s)F(s)平面上的平面上的閉曲線閉曲線C CF F將將逆時針逆時針環(huán)繞坐標原點環(huán)繞坐標原點 N N 次。次。 并

11、且滿足并且滿足: N = P-ZN = P-Z若若 N為正值，表示映射曲線為正值，表示映射曲線CF 逆時針逆時針方向環(huán)繞原點方向環(huán)繞原點N圈。圈。若若N為負值，表示為負值，表示映射映射曲線曲線CF 順時針順時針方向環(huán)繞原點方向環(huán)繞原點 圈。圈。若若N等于零，表示等于零，表示映射映射曲線曲線CF 沒有環(huán)繞原點。沒有環(huán)繞原點。N24用保角映射關系用保角映射關系證明映射定理：證明映射定理：設：設：C Cs s 包圍包圍 F(s)F(s)的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為Z Z、極點個數(shù)為、極點個數(shù)為P P。 當當s s1 1 沿閉合曲線沿閉合曲線 Cs 順時針轉動一圈時，兩平面上封閉曲順時針轉動一圈時，兩平面

12、上封閉曲線的相角增量相同線的相角增量相同, , CF 的相角增量的相角增量可由圖可由圖(a)(a)關系確定關系確定25用保角映射關系用保角映射關系證明映射定理：證明映射定理： 當當s s1 1 沿閉合曲線沿閉合曲線 Cs 順時針轉動一圈時，兩平面上封閉曲線順時針轉動一圈時，兩平面上封閉曲線的相角增量相同的相角增量相同, , CF 的相角增量的相角增量可由圖可由圖(a)(a)關系確定：關系確定： nPjjPjjnZiiZiipspszszs1111)()()()()(2)2()2(PZPZnjiniipszssF11)()()(說明：說明：F(s)F(s)平面上對應的映射曲線將按平面上對應的映射

13、曲線將按逆時針方向逆時針方向包圍坐標包圍坐標 原點原點 N N 圈，并滿足：圈，并滿足： N =N =（P-ZP-Z）NZPPZsF 2)(22)(）（即即：26例例1 1 映射關系映射關系CsCF N = P-Z = 1-0 =1 N = P-Z = 1-0 =1CsCF( (說明映射曲線逆時針包圍原點說明映射曲線逆時針包圍原點1 1圈圈) )27例例2 2N=P-Z=1-3= -2CsCFCs (說明映射曲線順時針包圍原點說明映射曲線順時針包圍原點2圈圈)28映射定理：映射定理： 設設C Cs s為為S S平面上不經(jīng)過平面上不經(jīng)過F(s)F(s)的任何零點、極點的封閉曲線，的任何零點、極點

14、的封閉曲線，C Cs s中包含了中包含了F(s)F(s)的的P P個極點和個極點和Z Z個零點，則當動點個零點，則當動點s s順時針在順時針在C Cs s上上圍繞一周時圍繞一周時, , 映射到映射到F(s)F(s)平面上的閉曲線平面上的閉曲線C CF F將將逆時針逆時針環(huán)繞坐標環(huán)繞坐標原點原點 N N 次。次。 并且滿足并且滿足: : N = P-ZN = P-Z 映射定理給出了映射曲線映射定理給出了映射曲線CF逆時針環(huán)繞原點的圈數(shù)逆時針環(huán)繞原點的圈數(shù)N與原與原平面封閉曲線平面封閉曲線Cs內包含的開環(huán)極點數(shù)目內包含的開環(huán)極點數(shù)目P、閉環(huán)極點數(shù)目、閉環(huán)極點數(shù)目Z之之間的約束關系。間的約束關系。2

15、95.63 映射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應用映射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應用 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 為了用映射定理作穩(wěn)為了用映射定理作穩(wěn)定性分析定性分析, ,首先在首先在S S平面上平面上構造特殊的封閉曲線構造特殊的封閉曲線 NyquistNyquist路徑路徑。注意：注意： 解析性要求；解析性要求； Nyquist路徑覆蓋整個路徑覆蓋整個右半右半S平面；平面；Nyquist 路徑包含路徑包含F(xiàn)(s)的的P個極點、個極點、Z個零點。個零點。NyquistNyquist路徑路徑一、一、NyquistNyquist路徑及其映射路徑及其映射30 映射關系：映射關系： (1) S(1

16、) S平面虛軸：平面虛軸：s=js=j，在，在F F 平面上的映射曲線是：平面上的映射曲線是： F F(j(j)=1+)=1+G G(j(j) )H H(j(j) () (：-+)+) （這是這是 F F 平面的封閉平面的封閉曲線曲線） (2) S(2) S平面半徑為平面半徑為的右半圓：的右半圓： 映射到映射到F F 平面上為平面上為: : F () = 1+ G ()H () 1 這是這是F F 平面上的一個定點（平面上的一個定點（1,j01,j0） 這說明這說明s平面上半徑為平面上半徑為的右半圓，它對映射曲線是否的右半圓，它對映射曲線是否 包圍原點無影響。包圍原點無影響。s F 平面映射曲

17、線平面映射曲線 1G(j)H(j)是封閉曲線是封閉曲線，它環(huán)繞原點情它環(huán)繞原點情 況（轉向和圈數(shù)）服從映射定理。況（轉向和圈數(shù)）服從映射定理。31進一步考慮，由于：進一步考慮，由于： F(j)1G(j)H(j) (-1, j0)00GHF1 可以在可以在GHGH平面檢查被分析系統(tǒng)的開環(huán)平面檢查被分析系統(tǒng)的開環(huán) 頻率特性頻率特性G(jG(j)H(j)H(j) )（即（即NyquistNyquist曲線）曲線） 是否包圍（是否包圍（1 1，j0j0）來判斷系統(tǒng)閉環(huán)右極）來判斷系統(tǒng)閉環(huán)右極 點個數(shù)，滿足映射定理：點個數(shù)，滿足映射定理：N = P-Z .N = P-Z . FF平面、平面、GHGH平面

18、是平移關系平面是平移關系, , F(jF(j) )包圍坐標原點就等價于包圍坐標原點就等價于 G(jG(j)H(j)H(j) )包圍（包圍（1 1，j j0 0）；）；于是：于是：32二、二、 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)G(s)H(s)在在S S平面的虛軸上無奇點平面的虛軸上無奇點（極點或零點）時，奈氏穩(wěn)定判據(jù)可表示為：（極點或零點）時，奈氏穩(wěn)定判據(jù)可表示為： 當當在在 -+ + 變化時，變化時，G(j)H(j)平面上平面上Nyquist曲線曲線逆時針環(huán)繞逆時針環(huán)繞(-1,j0)(-1,j0)點的圈數(shù)為點的圈數(shù)為N， 并且滿足：并且

19、滿足：N = P - Z Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)給出了給出了GH平面平面Nyquist曲線逆時針環(huán)繞曲線逆時針環(huán)繞 (-1,j0)點的圈數(shù)點的圈數(shù)N與與S面開環(huán)右極點數(shù)目面開環(huán)右極點數(shù)目P 、閉環(huán)右極點數(shù)目、閉環(huán)右極點數(shù)目 Z 之間的之間的約束關系。約束關系。注意：注意： P是系統(tǒng)開環(huán)右極點個數(shù)，是系統(tǒng)開環(huán)右極點個數(shù)，P0 ； Z是系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數(shù)，是系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數(shù)，Z0 ； N0 表示逆時針環(huán)繞，表示逆時針環(huán)繞，N0P0）, ,其閉環(huán)穩(wěn)定的其閉環(huán)穩(wěn)定的 充分必要條件是充分必要條件是: GH: GH平面的奈氏曲線逆時針包圍平面的奈氏曲線逆時針包圍 (-1,j0)(-1,j0)點

20、點 P P 圈。圈。 即：即： N N P PZ = P (Z=0) Z = P (Z=0) 34 檢驗穩(wěn)定判據(jù)檢驗穩(wěn)定判據(jù)I I的條件是否成立的條件是否成立 檢驗映射的解析性：檢驗映射的解析性： 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)G(s)H(s)在在S S平面的虛軸上無極點和零點。平面的虛軸上無極點和零點。4. 4. 確定閉環(huán)右極點數(shù)：確定閉環(huán)右極點數(shù)： Z=P-N Z=P-N （即（即 N=P-Z N=P-Z ）3. 3. 畫畫NyquistNyquist曲線曲線G(j)H(j) G(j)H(j) （從從0 0+,-0+,-0） 確定其逆時針包圍（確定其逆時針包圍（1, j01, j

21、0）的圈數(shù)：）的圈數(shù)： N N？2. 2. 確定開環(huán)傳遞函數(shù)確定開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)G(s)H(s)的右極點數(shù)：的右極點數(shù)：P P？用用NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)分析閉環(huán)穩(wěn)定性的一般步驟穩(wěn)定判據(jù)分析閉環(huán)穩(wěn)定性的一般步驟: :意義：從開環(huán)頻率特性意義：從開環(huán)頻率特性 NyquistNyquist圖圖 上直接判斷系統(tǒng)的閉上直接判斷系統(tǒng)的閉 環(huán)穩(wěn)定性。環(huán)穩(wěn)定性。35例例1 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。)0, 0()1)(1()()(2121 KTTsTsTKsHsG)1)(1()()(21 jTj

22、TKjHjG開環(huán)頻率特性：開環(huán)頻率特性： 畫畫 從從-+ 時系統(tǒng)的奈氏曲線時系統(tǒng)的奈氏曲線 分析開環(huán)穩(wěn)定性：分析開環(huán)穩(wěn)定性： 開環(huán)右極點數(shù)開環(huán)右極點數(shù) P P0 0畫奈氏曲線：畫奈氏曲線：0型、型、n-m=2解析性：解析性：G(s)H(s)在在 S 平面虛軸上無極點。平面虛軸上無極點。解：解：3610K0eRmIGH例例1 1 奈氏曲線奈氏曲線由圖看出，奈氏曲線不包圍由圖看出，奈氏曲線不包圍 點（即：點（即：N=0），），據(jù)：據(jù)： Z = PN = 0 ( 閉環(huán)右極點數(shù)為閉環(huán)右極點數(shù)為0 ), 1( j 結論：該系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的。結論：該系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的。 而且不論而且不論K K值取多大，閉環(huán)

23、系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。值取多大，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。37)0(1KP2)0(PK K21T11TjS0K 例1 根軌跡圖 上述結論可從此系統(tǒng)的根軌圖得到證明。無論上述結論可從此系統(tǒng)的根軌圖得到證明。無論K K為何值，為何值，根軌跡都在根軌跡都在S S平面左半部，系統(tǒng)閉環(huán)總是穩(wěn)定的。平面左半部，系統(tǒng)閉環(huán)總是穩(wěn)定的。38例例2 2 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 試用試用NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界穩(wěn)定判據(jù)，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K K值。值。1)( sKsG系統(tǒng)頻率特性為：系統(tǒng)頻率特性為： 1)( jKjG起點：起點：0 0終點：終點： KG

24、)0( arctgG )(, 0)(（3） 畫畫Nyquist曲線曲線G(j)H(j)（2） 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有有1個右極點，個右極點，P1（1） G(s)H(s)在在 S 平面虛軸上無極點。平面虛軸上無極點。解：解：39交點：交點：K40 開環(huán)頻率特性Nyquist圖例例3 3 已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在s s平面的左半平平面的左半平面，開環(huán)頻率特性面，開環(huán)頻率特性NyquistNyquist圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。解解 此系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即此系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P = P = 0 0，從圖中

25、看到，從圖中看到由由- -+變化時，變化時，G G(j(j) )H H(j(j) )曲線不包圍曲線不包圍(-1(-1，j j0)0)點，即點，即 N = N = 0 0，Z = P-N = Z = P-N = 0 0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。41練習題練習題: : 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)NyquistNyquist圖圖, , 試分析閉環(huán)穩(wěn)定性試分析閉環(huán)穩(wěn)定性. .該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。則由圖看出：, 2:2PNPZN42 三、三、特殊情況下的特殊情況下的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) G(s)H(s)在在j軸上有極點軸上有極點(或零點或零點) 當

26、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(jG(s)H(js s) )在在s s平面的虛軸上有極點（或平面的虛軸上有極點（或零點）時，前面定義的零點）時，前面定義的NyquistNyquist路徑上有奇點，映射定理出現(xiàn)問路徑上有奇點，映射定理出現(xiàn)問題。此時需要對題。此時需要對S S平面的平面的NyquistNyquist路徑加以改變路徑加以改變, ,使其從極小半圓使其從極小半圓上繞過虛軸上的極點上繞過虛軸上的極點, , 以證以證NyquistNyquist路徑上沒有奇點，使映射定路徑上沒有奇點，使映射定理以及理以及NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)成立。穩(wěn)定判據(jù)成立。43處理方法說明處理

27、方法說明44新問題：作特殊處理之后，映射關系及映射曲線如何確定？新問題：作特殊處理之后，映射關系及映射曲線如何確定？ （一）（一） “ “1”1”型系統(tǒng)映射關系及穩(wěn)定性判斷型系統(tǒng)映射關系及穩(wěn)定性判斷 設設:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s) = 試分析映射關系、畫映射曲線、判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。試分析映射關系、畫映射曲線、判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。1. 開環(huán)特性開環(huán)特性 系統(tǒng)在系統(tǒng)在S平面原點處有單極點平面原點處有單極點(含一個積分環(huán)節(jié)含一個積分環(huán)節(jié)), 且且 P=0 2. 映射關系映射關系 將將S平面原點處的單極點挖去平面原點處的單極點挖去,用半徑足夠小用半徑足夠小(為為 )的半

28、圓所的半圓所取代取代,重新構成無限大半圓的封閉曲線重新構成無限大半圓的封閉曲線 CS Nyquist軌跡。軌跡。 )1( TssK45對封閉曲線對封閉曲線Cs 分三部分分別討論映射關系：分三部分分別討論映射關系：46 S GHA: G(j0- ) H(j0- ) = = j B: G(0 ) H(0 ) = C: G(j0+ ) H(j0+ ) = = -j A: sA = j= j0- B: sB = C: sC = j= j0+ 22 結論結論: : 小半圓小半圓 (A(AB BC)C)映射到映射到GHGH平面為平面為: : 無限大半圓無限大半圓( (順時針沿：順時針沿：A BB C)C)

29、(1) 小半圓部分映射關系小半圓部分映射關系: jjjjjeKeKeHeGsHsGes )()()()(設設：(2) 無限大半圓部分映射關系無限大半圓部分映射關系: S GH 22lim) 1(lim)()(limjrjjrresrerKTrereKsHsGjD: G(j ) H(j ) = 0 E: G( 0 ) H( 0 ) = 0 F: G(-j ) H(-j ) = 0 D: sD = jE: sE = F: sF = -j0結論結論: S平面無限大半圓映射為平面無限大半圓映射為GH平面的原點。平面的原點。48(3) j軸段的映射軸段的映射 )1()()()()( TjjKjHjGsH

30、sGjs )1()(;1)(22 TKYTKTX )(00)()()2()0()0( jHjGjKTjHjG它是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性它是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jG(j)H(j)H(j) )。 )()()1()()()()( jYXTjjKjHjGsHsGjs 畫畫Niquist Niquist 圖：圖：49結論：結論： S S平面挖去原點處奇點的平面挖去原點處奇點的NyquistNyquist軌跡的映射關系分三部分：軌跡的映射關系分三部分： 虛軸映射為虛軸映射為GHGH平面的頻率特性平面的頻率特性G(jG(j )H(j)H(j ) ) NyquistNyquist 曲線；曲線；2. S2. S平

31、面無限小半圓映射為平面無限小半圓映射為GHGH平面的無限大半圓；平面的無限大半圓； （注意起點、方向、保角關系）（注意起點、方向、保角關系）3. S3. S平面無限大半園映射為平面無限大半園映射為GHGH平面的原點。平面的原點。 映射曲線是否包圍映射曲線是否包圍(-1,j0)(-1,j0)點點, , 只取決于只取決于j j軸段的映射軸段的映射結果（結果（ 即系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性即系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jG(j)H(j)H(j) )NiquistNiquist圖圖 ）系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。對本例：)1()()(TssKsHsG51傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)例題例題)12(10

32、)( sssG要求要求: : 用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性用奈氏穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性. .解解: : 此系統(tǒng)為此系統(tǒng)為1 1型系統(tǒng)型系統(tǒng), ,在原點處有在原點處有1 1個開環(huán)極點個開環(huán)極點, ,無右極無右極 點點,P=0 .,P=0 .起點：起點：終點：終點： )(,0)(G畫畫Nyquist圖圖: 0 2)0(,)0( G52用MATLAB作圖 num=0 0 10; den=2 1 0; nyquist(num,den) axis(-30 2 -500 500) title(Nyquist Plot of G(s)=10/s(2s+1) 問題：無限大半圓如何補上？問題：無限大半圓

33、如何補上？53 穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷 由圖看出由圖看出: 不論不論K大小大小, 頻率特性曲線都不會包圍頻率特性曲線都不會包圍(-1,j0)點點, 則則: N=0 ，P=0, Z=P-N = 0 結論：系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的結論：系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的.54（二）（二） “ “2”2”型系統(tǒng)映射關系及穩(wěn)定性分析型系統(tǒng)映射關系及穩(wěn)定性分析 設設: : 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性. )0, 0() 1()()(2TKTssKsHsG (2) 映射關系分析、畫映射關系分析、畫GH平面映射曲線平面映射曲線 - Nyquist 圖。圖。(1) 系統(tǒng)為系統(tǒng)為”2”型型, P=0 . 解解:55（a）小半圓曲線段，）小半圓曲線段，小半圓上的動點滿足方程：小半圓上的動點滿足方程： jes )9090( ,222) 1()()(jeseseKTssKsHsGjj 2lim220 jeK)1802180( ,結論結論: : 小半圓映射到小半圓映射