2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案：3.5二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題3.5.1二元一次不等式組

1、3.5.1二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域課程目標(biāo),L K.E CHENG BIAO YIN HAN<1 . 了解二元一次不等式2 .理解二元一次不等式3 .會(huì)畫二元一次不等式（組）的概念.（組）解集的幾何意義.（組）所表示的平面區(qū)域.皇礎(chǔ)知識(shí)，與 J】CHU :ZHJ 箏HI CHU U 二1 .二元一次不等式（組）的概念（1）二元一次不等式是指含有 個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的 次數(shù)是 的整式不等 式.二元一次不等式組是指由幾個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為 1的整式不等式組成的不等式組.（2）二元一次不等式（組）的解集是指滿足這個(gè)不等式 （組）的實(shí)數(shù)x和y構(gòu)成的有序數(shù)對(duì) （x,

2、y）構(gòu)成的集合.（3）二元一次不等式的一般形式為 或.【做一做1 1】若點(diǎn)P（1 , - 2）不在直線Ax+ By+ C= 0上，則（）.A.A-2B+C= 0B,A-2B+ gC.A+ 2B+C> 0D,A-2B+ C< 0【做一做12】完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算 2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則x,y滿足的約束條件是 .2 .二元一次不等式表示的平面區(qū)域（1）直線l : Ax+ By+ C= 0,它把坐標(biāo)平面分為兩部分，每個(gè)部分叫做 .開 半平面與l的并集叫做 .以不等式解（x, y）為坐標(biāo)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，

3、也叫做 或.（2）坐標(biāo)平面內(nèi)的任一條直線都有如下性質(zhì)：直線l : Ax+ By+ C= 0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線 l上的點(diǎn)分為兩部分， 直線l的同一側(cè)的 點(diǎn)的坐標(biāo)使式子 Ax+ By+ C的值具有 的符號(hào)，并且兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使 Ax+ By+ C的值 的符號(hào), 一側(cè)都大于0,另一側(cè)都小于0.歸納總結(jié)i在判斷不等式 Ax+ By+ C> 0（或Ax+ By+ Cv 0）所表示的平面區(qū)域時(shí)，“代點(diǎn)法”無疑是快捷且準(zhǔn)確的方法.即基本方法是“直線定界，特值定域”.其步驟：（1）畫直線Ax+ By+ C= 0; （2）在直線的一側(cè)任取一點(diǎn) P（xc, y。），可取較特殊的點(diǎn)，易計(jì)算；（3）將P（xc

4、, yc）代入Ax+ By+ C求值；（4）若Axq+ By0+ C>0,則此點(diǎn)所在的半平面為不等式Ax+ By+ C>0所表示的平面區(qū)域；反之此點(diǎn)所在的半平面不是不等式Ax+ By+ C> 0所表示的平面區(qū)域.【做一做21】圖中陰影部分表示的平面區(qū)域滿足的不等式是（）.A. x + y-1<0B, x+y 1 >0C. x-y- 1< 0D. x-y- 1 >0【做一做2 2】以下各點(diǎn)在3x+2yv 6表示的平面區(qū)域內(nèi)的是 .(0,0);(1,1);(0,2);(2,0).3 .二元一次不等式組表示的平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式組表示的

5、平面區(qū)域就是這個(gè)不等式組中每個(gè)二元 一次不等式表示的平面區(qū)域的 .x+ y>0,【做一做3】在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組ix-y+4>0,(a為常數(shù))表示的平xw a面區(qū)域的面積是9,那么實(shí)數(shù)a的值為.重Q雉朗4 ZHOCSCi DIAN NAJ DLAJN TV二元一次不等式表示的平面區(qū)域的判定方法剖析：方法一：第一步，直線定邊界，畫出直線Ax+ By+ O 0,當(dāng)不等式中含有等號(hào)時(shí)，直線畫成實(shí)線，否則畫成虛線.第二步，特殊點(diǎn)定平面區(qū)域，在坐標(biāo)平面內(nèi)取一個(gè)特殊點(diǎn)， 當(dāng)Cwo時(shí)，常取原點(diǎn)(0,0) .若 原點(diǎn)滿足不等式，則原點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域；若原點(diǎn)不滿足不等式，

6、 則原點(diǎn)不在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域.當(dāng)C= 0時(shí)，可考慮把點(diǎn)(1,0)或(0,1)作為測試點(diǎn).口訣如下：直線定界，特殊點(diǎn)定域.方法二：Ax+ By+ C> 0,當(dāng)B> 0時(shí)表示區(qū)域?yàn)橹本€上方區(qū)域；Bv 0時(shí)為直線下方區(qū)域.Ax+ By+ Cv 0,當(dāng)B>0時(shí)表示區(qū)域?yàn)橹本€下方區(qū)域，當(dāng)B< 0時(shí)為直線上方區(qū)域. 概括為“ B與“不等號(hào)”同向在“上方”，"B'與"不等號(hào)”反向在“下方”.知詛拓展平面內(nèi)任意兩點(diǎn) Rx1, y1)、Qx2, y2)在直線Ax+ By+ C= 0同側(cè)、異側(cè)的充要條件：由于直線同一側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo) (x,y)使Ax+

7、 By+ C具有相同的符號(hào)，且一側(cè)為正，另一側(cè) 必為負(fù)，因而直線同一側(cè)的點(diǎn)使Ax+ By+ C的值的符號(hào)相同，直線不同側(cè)的點(diǎn)使Ax+ By+ C的值的符號(hào)相反，因而我們有以下的結(jié)論：P(x1, yd,Qx2,v2 在直線Ax+ By+ C= 0 同側(cè)？( Ax+By+C)( Ax2+By?+C) > 0;R x1, y1),Q( x2,y2)在直線Ax+ By+ C= 0 異側(cè)？( Ax+Byd C)( Ax2+By?+C) v 0.地型例題塾皂DIAN MING LI Tl UNG WU題型一二元一次不等式表示平面區(qū)域【例1】在平面直角坐標(biāo)系中畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域.(1

8、) x-y+1>0;(2) x + 2y-4<0.分析：本題考查二元一次不等式表示的平面區(qū)域問題，先畫出直線，再用特殊點(diǎn)確定不等式表示的平面區(qū)域.反思：由于二元一次不等式Ax+ By+ C> 0(或Ax+ By+ Cv 0)表示的平面區(qū)域一定是直線Ax+ By+ C= 0的某一側(cè).要斷定究竟是哪一側(cè)，可以取直線Ax+ By+ C= 0某側(cè)的一點(diǎn)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果不等式成立，那么這一側(cè)就是該不等式表示的平面區(qū)域；如果不等式不成立，那么直線的另一側(cè)就是該不等式表示的平面區(qū)域.如果直線不通過原點(diǎn)，-般取原點(diǎn)（0,0）來進(jìn)行判斷.題型二二元一次不等式組表示平面區(qū)域【例2】畫

9、出不等式（x + 2y+1）（ x y+4）wo表示的平面區(qū)域.分析：此不等式為二元二次不等式，看似無從下手，注意到不等號(hào)右邊為0,左邊為兩因式乘積，易聯(lián)想到利用“兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)”的法則， 將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次不等式組.反思：（1）畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，特別是畫邊界；（2）非二元一次不等式表示的平面區(qū)域問題往往等價(jià)轉(zhuǎn)化為二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域問題.題型三 求平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)x>0,【例3】不等式組,y>0,表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn) （橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）共有 個(gè).反思：求不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)常有兩種方法：先確定區(qū)域內(nèi)橫坐標(biāo)的范圍，確

10、定x的所有整數(shù)值，通過 x的值再確定y相應(yīng)的整數(shù)值；網(wǎng)格法求整點(diǎn)，此 法關(guān)鍵是作圖要準(zhǔn)確.題型四二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的面積問題+ y-1 >0,【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組Jx-1<0,所表示的平面區(qū)域的面、axy+1 >0積等于2,求a的值.表示出區(qū) 域面積建立方程求a的值回出兩足x + y 1 > 0和 x 1W0的平面區(qū)域分析直線axy+ 1=0的特征畫出不等式組表 本的平面區(qū)域求出區(qū)域頂 點(diǎn)的坐標(biāo)分析:題型五易錯(cuò)辨析產(chǎn)0,y>0,【例5】畫出不等式組表示的平面區(qū)域.2x + y-6>0,lx+ 2y 6< 0錯(cuò)解：如圖所示的

11、陰影部分.錯(cuò)因分析：不等式2x+y6>0表示的平面區(qū)域是直線 2x + y6=0及其右上方的部分,將(0,0)代入2x+y6,得6V 0,所以原點(diǎn)不在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi).能堂練習(xí)° SLT1 TANG LIAN JCI GONG GU1已知一直線l的方程為ax+by=0(a, b不同時(shí)為零)，點(diǎn)Pi(xo, yo), B(2xo,2yo),則 ().A.點(diǎn)Pi, P2分別在l的兩側(cè)或在l上B.點(diǎn)R, P2均在l的同側(cè)或在l上C.點(diǎn)Pi, P2分別在l的兩側(cè)，不可能在l上D.點(diǎn)Pi, P2均在l上xy 十 nx + y X),2不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)().0<x&

12、lt;3A.三角形 B .直角梯形C.梯形 D .矩形3(x2y+1)(x+ y3) <0表示的平面區(qū)域?yàn)?).ABCD4點(diǎn)(一2, t)在直線2x 3y+6=0的上方，則t的取值范圍是 .<x-y>0,2x+ yW 2, 5若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部，則a的取值x + y w a范圍是.答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1. (1)兩最高 1(3) Ax+ By+ C> 0 Ax+ By+ Cv 0【做一做1 11B節(jié)0x+40yw2 000,【做一做12】，xCN+,jC N+2. (1)開半平面閉半平面 不等式表示的區(qū)域 不等式的圖象(2)相同相反【做一做211

13、B【做一做2 1】3. 公共部分【做一做3】1畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由題意，ABC勺面積為9,則|BC， ,1= (a+4) -( -a) =2a+4, A到直線 BC的距離為 a-(-2)=a+2,2(a+2)(2 a+4) =9,解得a= 1或5(舍去).典型例題領(lǐng)悟【例1】解：（1）畫出直線li： xy+1 = 0（虛線），取原點(diǎn)0（0,0）代入x y+1,得1>0,不等式成立.所以Q0,0）在xy+1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故x y+1>0表示的平面區(qū)域就是直線l i右下方的區(qū)域.畫出區(qū)域如圖（1）所示的陰影部分（不包括直線li上的點(diǎn)）.（2）畫出直線|2：

14、*+2丫4=0（實(shí)線）.取原點(diǎn)0（0,0）代入x+2y 4,得4V0,不等式成立.所以x+2y-4<0表示的平面區(qū)域是直線 12及其左下方的區(qū)域.畫出區(qū)域如圖（2）所示的陰影部分（包括直線l 2上的點(diǎn)）.1 v /X-+l=0|丁x uaI jr+2y-4 0圖 圖【例2】解：此不等式可轉(zhuǎn)化為x + 2y+1 >0,x+2y+iw0,i或|x y+4W0x- y+4>0.分別畫出這兩個(gè)不等式組所表示的平面區(qū)域,這兩個(gè)平面區(qū)域的并集即為所求的平面區(qū)域，如圖所示（陰影部分）.【例3】3畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示（陰影部分，不含x軸和y軸）.4X4加=12從圖形可以看出區(qū)

15、域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間（0,3）內(nèi)，取x=1, 2,當(dāng)x=1時(shí)，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有（1,1） , （1,2）.當(dāng)x = 2時(shí)，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有（2,1）,共3個(gè).x + y 1 > 0,【例4】解：如圖陰影部分為不等式組1表示的平面區(qū)域.x- K0n4而直線ax- y+1 = 0恒過定點(diǎn) px+y-1 >0, 因?yàn)椴坏仁浇M，x1W0,A(0,1),斜率為a.所表示的平面區(qū)域的面積等于2,所以此平面區(qū)域?yàn)樾∫粂+ 1 >0“封閉”圖形.所以可判斷直線 axy+1=0與直線x1 = 0的交點(diǎn)C在點(diǎn)B(1,0) px+y-1 >0,上方,所以不等式組數(shù)1W0,ax-y+1 >0所表示的平面區(qū)域?yàn)?ABCax y+ 1 =0,八得 Q1 , a+1).x- 1 = 0,又點(diǎn)C在點(diǎn)B上方,1,所以 | BC = a+1 0= a+1,.SJ=-x I Bqxi =a +1/口2=2,解得 a=3.【例5】正解：如圖所示的陰影部分.5(2,2)x+2y-6=0隨堂練習(xí)鞏固1. B 若 ax0+by0=0,則 2ax0+2by0=0,此時(shí) R 和 P2都在直線 l ax(o + by0與 2ax0+2byO同號(hào)，故選 B.2. C (x-y+5)( x+y) >0上，否則，一定有x-y + 5>0,$或|