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1、2019 年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(5 分)若復(fù)數(shù) zA1+3i,則 ( )B13i C1+3i D13
2、i2(5 分)已知 cos ,且 為第二象限角,則 sin2 的值為()ABCD3(5 分)設(shè) P 和 Q 是兩個(gè)集合,定義集合 PQx|xP,且 xQ,如果 Px|12x4,Qy|y2+sinx,xR,那么 PQ()Ax|0x14(5 分)若方程Am2 或 m6Bx|0x2 Cx|1x2
3、 Dx|0x11 表示雙曲線,則 m 的取值范圍是( )B2m6 Cm6 或 m2 D6m25(5 分)在如圖所示的程序框圖中,如果輸出 p120,則輸入的 N()A3B4C5D6(|6 5 分)已知向量 , 滿足| |3, |2A30°B150°,且C60°,則
4、60;與 的夾角為( )D120°第 1 頁(yè)(共 22 頁(yè))(y7 5 分)已知變量 x, 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù) z 的取值范圍是()A0,2B0, CD0,+)8(5 分)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,設(shè)在其直觀圖中,M 是 AB 的中點(diǎn),則三棱錐 CMEF 的高為()ABCD9(5 分)在ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是
5、 a,b,c,若 c2a,bsinBasinAasinC,則 cosB 等于()ABCD10(5 分)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的點(diǎn),SA平面 ABC,ABBC,SA1,ABBC2,則球 O 的表面積為()A5B C9D (11 5 分)已知命題 p:函數(shù) ysin(2x+)和 ycos(2x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;命題 q:若平行線 6x+8y+a0 與
6、3x+by+220 之間的距離為 a,則 ab4“則下列四個(gè)判斷: pq 是假命題、pq 是真命題、(p)q 是真命題、p(q)是真命題”中,正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D412(5 分)定義在(0,+)上的函數(shù) f(x)滿足:f(xm)mf(x),x0,mR;存在實(shí)數(shù) a1,使得 f(a)1則下列選項(xiàng)正確的是()Af( )f(3)f(2)Cf(3)f(2)f( )Bf( )f(2)f(3)Df(3)f( )f(2)二、填空題:本題共
7、4 小題,每小題 5 分共 20 分第 2 頁(yè)(共 22 頁(yè))13(5 分)函數(shù) yx2+ex 的圖象在點(diǎn) x0 處的切線方程為14(5 分)從由數(shù)字 1,2,3 所組成的所有三位數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則該數(shù)為沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的概率為“15(5 分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題: 今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一并五關(guān)所稅,適重一斤問本持金幾何
8、?“其意思為“今有人持金出五關(guān),第 1 關(guān)收稅金為總量的 ,第 2 關(guān)收稅金為剩余的 ,第 3 關(guān)收稅金為剩余的 ,第 4 關(guān)收稅金為剩余的 ,第 5關(guān)收稅金為剩余的 ,5 關(guān)所收稅金之和恰好重 1 斤,問原本持金多少?假設(shè)原本持金 x斤,則 x斤16 (5 分)已知點(diǎn) O 為 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足 | |
9、; |1 ,3,則三、解答題;共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共 60 分17(12 分)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 Sn2n+12(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足 bnSn+log2,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn18(12 分)如圖,四棱錐&
10、#160;P ABCD 中,底面 ABCD 為菱形,BAD (1)在線段 PC 上求一點(diǎn) N ,使得 MN 平面 PAD ;,M 為 AB 中點(diǎn)(2)若 AB 4,PA PD 2角的正弦值,且二面角 P AD B 為 ,求 PA 與平面 PBC 所成19(12 分
11、)已知橢圓 C :1(ab0)的右焦點(diǎn) F 2 與拋物線 y24x 的焦點(diǎn)重第 3 頁(yè)(共 22 頁(yè))合,且其離心率為 (1)求橢圓 C 的方程;(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l 與 C 交于 M,N 兩點(diǎn),線段 MN 中點(diǎn)為 P,問 kMNkOP(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))是否為定值?請(qǐng)說明理由20(12 分)為了盡快攻克一項(xiàng)科研課題,某生物研
12、究所分別設(shè)立了甲、乙兩個(gè)研究小組同時(shí)進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),現(xiàn)隨機(jī)在這兩個(gè)小組各抽取 40 個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本,并規(guī)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在495,510)之內(nèi)的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù),否則為不理想數(shù)據(jù)試驗(yàn)情況如表所示:抽查數(shù)據(jù)頻數(shù)490,495)495,500)500,505)505,510)510,515)甲681484乙2121862(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出兩個(gè)小組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)若從甲小組測(cè)得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中,依次有放回的隨機(jī)抽查5 個(gè)數(shù)據(jù),設(shè)抽到理想數(shù)據(jù)的次數(shù)為 ,求 的分布列與數(shù)學(xué)期望;(以頻率作為概率)(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面
13、;2×2 列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)研究小組的選擇有關(guān)?甲小組第 4 頁(yè)(共 22 頁(yè))乙小組 合計(jì)理想數(shù)據(jù)不理想數(shù)據(jù)合計(jì)附:K2,其中 na+b+c+dP(K2k)0.15k2.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.82821(12 分)已
14、知函數(shù) f(x) ax2(a2+1)x,x0,a1(1)求證:函數(shù) f(x)的零點(diǎn)不小于 4;(2)g(x)f(x)+alnx,若 x1,+),求證:g(x) a3+e2a(二)選考題:共 10 分請(qǐng)考生從第 22、23 兩題中任選一題作答,并用 2B 鉛筆將答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方涂黑,按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分;多涂、多答,按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分;不涂,按本選題的首題進(jìn)行評(píng)分選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22(10 分)已知曲線 C
15、的極坐標(biāo)方程是 ,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線 l 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù)),曲線 M 的參數(shù)方程是( 為參數(shù))(1)寫出曲線 C 和直線 l 的直角坐標(biāo)方程;P(2)若直線 l 與曲線 C 交于 A、B 兩點(diǎn), 為曲線 M 上的動(dòng)點(diǎn),求ABP 面積的最大值選修 4-5:不等式選講23已知函數(shù) f(x)|x1|x+
16、a|,aR(1)若 a2,解不等式 f(x)1;(2)若 x(2,4)時(shí),|f(x)|2x+a1|,求 a 的取值范圍第 5 頁(yè)(共 22 頁(yè))2019 年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(5 分)若復(fù)數(shù) zA1+3i,則 ( )B13i
17、160; C1+3i D13i【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案【解答】解:z
18、0; , 1+3i故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題2(5 分)已知 cos ,且 為第二象限角,則 sin2 的值為()ABCD【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 sin 的值,再利用二倍角公式求得 sin2 的值【解答】解:cos ,且 為第二象限角,sin ,則 sin22sincos2
19、160; ( ) ,故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題3(5 分)設(shè) P 和 Q 是兩個(gè)集合,定義集合 PQx|xP,且 xQ,如果 Px|12x4,Qy|y2+sinx,xR,那么 PQ()Ax|0x1Bx|0x2Cx|1x2Dx|0x1【分析】根據(jù) PQ 的定義,可
20、求出 P,Q,然后即可求出 PQ【解答】解:Px|0x2,Qy|1y3;PQx|0x1故選:D【點(diǎn)評(píng)】考查描述法的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的值域,以及 PQ 的定義第 6 頁(yè)(共 22 頁(yè))4(5 分)若方程Am2 或 m61 表示雙曲線,則 m 的取值范圍是( )B2m6 Cm6 或 m2
21、 D6m2【分析】利用方程表示雙曲線的充要條件,列出不等式求解即可【解答】解:若方程1 表示雙曲線,則(m2)(6m)0m2 或 m6,故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5(5 分)在如圖所示的程序框圖中,如果輸出 p120,則輸入的 N()A3B4C5D6【分析】根據(jù)條件進(jìn)行模擬運(yùn)算即可【解答】解:第一次 p1,kN 成立,k2,第二次 p2,kN 成立,k3,第三次 p6,kN 成立,k4,第五次 p24,kN 成立,
22、k5,第六次 p120,kN 不成立,輸出 p120,故 k4 不成立,k5 成立,則 N5,第 7 頁(yè)(共 22 頁(yè))故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷,利用條件進(jìn)行模擬運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵(|6 5 分)已知向量 , 滿足| |3, |2,且,則 與 的夾角為( )A30°【分析】 根據(jù)B150°即可得出C60°,從
23、而得出D120°,這樣即可求出,根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角【解答】解:;,;又; 與 的夾角為 150°故選:B【點(diǎn)評(píng)】考查向量垂直的充要條件,向量的數(shù)量積運(yùn)算,以及向量夾角的余弦公式(y7 5 分)已知變量 x, 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù) z 的取值范圍是()A0,2B0, CD0,+)【分析】畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求解即可【解答】解:變量 x,y 滿足約束條件的可行域如圖陰影部分:目標(biāo)函數(shù) z 的幾何意義是
24、可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率:kOA2,則目標(biāo)函數(shù) z 的取值范圍是:0,2故選:A第 8 頁(yè)(共 22 頁(yè))【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用 z 的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵8(5 分)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,設(shè)在其直觀圖中,M 是 AB 的中點(diǎn),則三棱錐 CMEF 的高為()ABCD【分析】根據(jù)題意知三棱柱 ADFBCE 是底面為等腰直角三角形的直三棱柱,過點(diǎn) C 作CNBE,則
25、;CN 是三棱錐 CMEF 的高,求出即可【解答】解:根據(jù)題意知,三棱柱 ADFBCE 是底面為等腰直角三角形的直三棱柱,如圖所示;過點(diǎn) C 作 CNBE,垂足為 N,則 CN平面 ABEF,所以 CN 是三棱錐 CMEF 的高,在 BCE 中,BCCE1,第 9 頁(yè)(共 22 頁(yè))所以 CN BE故選:D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的位置關(guān)系與應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題9(5&
26、#160;分)在ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是 a,b,c,若 c2a,bsinBasinAasinC,則 cosB 等于()ABCD【分析】由 c2a,利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得:b2a2 aca2,利用余弦定理即可求得 cosB 的值【解答】解:若 c2a,則由正弦定理可得:b2a2 aca2,即:,故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題10(5 分)已知 S、A、B、C&
27、#160;是球 O 表面上的點(diǎn),SA平面 ABC,ABBC,SA1,ABBC2,則球 O 的表面積為()A5B C9D 【分析】由題意可得,S、A、B、C 四點(diǎn)均為長(zhǎng)寬高分別 SA,AB,BC 三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),由長(zhǎng)方體外接球的直徑等于長(zhǎng)方體對(duì)角線,可得球 O 的半徑,代入球的表面積公式即可得到答案【解答】解:SA平面 ABC,ABBC,四面體 SABC 的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別 SA,AB,BC 三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接
28、球的半徑SA1,AB2,BC2,2R3,即 R 球 O 的表面積 S4R29第 10 頁(yè)(共 22 頁(yè))故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,球的表面積公式,其中根據(jù)已知條件求出球 O 的半徑是解答本題的關(guān)鍵,是中檔題(11 5 分)已知命題 p:函數(shù) ysin(2x+)和 ycos(2x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;命題 q:若平行線 6x+8y+a0 與 3x+by+220 之間的
29、距離為 a,則 ab4“則下列四個(gè)判斷: pq 是假命題、pq 是真命題、(p)q 是真命題、p(q)是真命題”中,正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【分析】根據(jù)條件判斷命題 p,q 的真假,結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可【解答】解:ycos(2x)sin (2x ) sin( 2x)sin(2x)則函數(shù) ysin(2x+)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為ysin(2x+),即 ysin(2x),即命題
30、60;p 是真命題,若兩直線平行則得 b4,兩平行直線為 6x+8y+a0 與 6x+8y+440,平行直線的距離為a,即|a44|10a,a0,則 a4410a 或 a4410a,得 a4 或(舍),則 ab4,即命題 q 是真命題,則“pq 是真命題、pq 是真命題、(p)q 是真命題、p(q)是真命題,正確的命題有 3 個(gè),故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用,根據(jù)條件判斷命題的真假是解決本題的關(guān)
31、鍵12(5 分)定義在(0,+)上的函數(shù) f(x)滿足:f(xm)mf(x),x0,mR ;存在實(shí)數(shù) a1,使得 f(a)1則下列選項(xiàng)正確的是()第 11 頁(yè)(共 22 頁(yè))Af( )f(3)f(2)Cf(3)f(2)f( )Bf( )f(2)f(3)Df(3)f( )f(2)【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系,確定 f(x)為對(duì)數(shù)型函數(shù),設(shè) f(x)logax,結(jié)合條件判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【解答】解:在(0,+)上若
32、0;f(x)滿足:f(xm)mf(x),x0,mR;f(x)為對(duì)數(shù)型函數(shù),設(shè) f(x)logax,若在實(shí)數(shù) a1,使得 f(a)1即當(dāng) a1 時(shí),f(x)logaa1,則函數(shù) f(x)logax 為增函數(shù),則 f(3)f(2)f( ),故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,結(jié)合抽象函數(shù)關(guān)系,轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)型函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵二、填空題:本題共 4 小題,每小題 5 分共 20 分13(5 分)函數(shù)
33、yx2+ex 的圖象在點(diǎn) x0 處的切線方程為yx+1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后求解切線的斜率,切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解切線方程【解答】解:函數(shù) yx2+ex,可得 y2x+ex,切線的斜率為:1,切點(diǎn)坐標(biāo)(0,1),函數(shù) yx2+ex 的圖象在點(diǎn) x0 處的切線方程為:yx+1故答案為:yx+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查計(jì)算能力14(5 分)從由數(shù)字 1,2,3 所組成的所有三位數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則該數(shù)為沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的概率為【分析】計(jì)算出由
34、 1,2,3 組成的所有數(shù)字,及由 1,2,3 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),即可得到概率【解答】解:由 1,2,3 組成的所有的三位數(shù)有 3327 個(gè),由 1,2,3 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有6 個(gè),故 第 12 頁(yè)(共 22 頁(yè))故填: 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率計(jì)算,分步乘法原理,屬于基礎(chǔ)題“15(5 分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題: 今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而
35、稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一并五關(guān)所稅,適重一斤問本持金幾何?“其意思為“今有人持金出五關(guān),第 1 關(guān)收稅金為總量的 ,第 2 關(guān)收稅金為剩余的 ,第 3 關(guān)收稅金為剩余的 ,第 4 關(guān)收稅金為剩余的 ,第 5關(guān)收稅金為剩余的 ,5 關(guān)所收稅金之和恰好重 1 斤,問原本持金多少?假設(shè)原本持金 x斤,則 x1.2斤【分析】計(jì)算每關(guān)過后的剩余量即,列方程求出答案【解答】解:由題意可知過第一關(guān)后
36、剩余 ,過第二關(guān)后剩余 ,過第三關(guān)后剩余 ,過第四關(guān)后剩余 ,過第五關(guān)后剩余 ,x 1,解得 x1.2故答案為:1.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題16 ( 5 分)已知點(diǎn) O 為 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足 | | | | | 1 , 3,則【分析】 由已知可知,及
37、160; 兩邊同時(shí)平方可求 ,然后結(jié)合 ,結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解【解答】解:|,| |1,3,兩邊同時(shí)平方可得,9+16+2425,第 13 頁(yè)(共 22 頁(yè))0,則(0) ,故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于中檔試題三、解答題;共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考
38、題,每個(gè)試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共 60 分17(12 分)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 Sn2n+12(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足 bnSn+log2,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn(【分析】 1)利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)利用(1)的結(jié)論,進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和【解答】解:(1)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且
39、;Sn2n+12當(dāng) n1 時(shí),a12當(dāng) n2 時(shí),得:故:(2)由于:(首項(xiàng)符合通項(xiàng)),則:數(shù)列bn滿足 bnSn+log22n+12n所以:+(2322)+(2n+12n),第 14 頁(yè)(共 22 頁(yè))(22+23+24+2n+1)2n(1+2+3+n),【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,利用分組法求數(shù)列的和,主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型18(12 分)如圖,四棱錐 PABCD 中,底面 ABCD 為菱形,BAD(
40、1)在線段 PC 上求一點(diǎn) N,使得 MN平面 PAD;,M 為 AB 中點(diǎn)(2)若 AB4,PAPD2角的正弦值,且二面角 PADB 為 ,求 PA 與平面 PBC 所成(【分析】 1)設(shè)線段 PC 的中點(diǎn)為 N,設(shè)線段 PD 中點(diǎn)為 H,連結(jié) NH,AH,推導(dǎo)出 AMDC,從而 HNAM,HNAM,進(jìn)而
41、0;MN平面 PAD,由此得到 N 為線段 PC 中點(diǎn)時(shí)滿足 MN平面 PAD(2)在菱形 ABCD 中,取 AD 中點(diǎn) O,連結(jié) BO,則 BOAD,連結(jié) PO,PAPD,則POAD,POB 是二面角的平面角,以 O 為原點(diǎn),OA 為 x 軸,OB 為 y 軸,過迷途知返平面 ABCD 的垂線為 z 軸,建立空間直角
42、坐標(biāo)系,利用向量法能求出 PA 與平面 PBC所成角的正弦值【解答】解:(1)設(shè)線段 PC 的中點(diǎn)為 N,則 N 為所求設(shè)線段 PD 中點(diǎn)為 H,連結(jié) NH,AH,在PDC 中,HNDC,HN,四邊形 ABCD 是菱形,M 為中點(diǎn),AMDC,AM,HNAM,HNAM,AH平面 PAD,MN平面 PAD,MN平面 PAD,即 N 為線段 PC 中點(diǎn)時(shí)滿足 MN
43、平面 PAD第 15 頁(yè)(共 22 頁(yè))(2)在菱形 ABCD 中,取 AD 中點(diǎn) O,連結(jié) BO,BAD,BOAD,連結(jié) PO,PAPD,則 POAD,POB 是二面角的平面角,如圖,以 O 為原點(diǎn),OA 為 x 軸,OB 為 y 軸,過迷途知返平面 ABCD 的垂線為 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則 A(2,0,0),B(0
44、,2(2,1),0),P(0,(0,3 ,1),1),C(4,2(4,0,0),0),設(shè)面 PBC 的法向量 (x,y,z),則,取取,得 (0,9),PA 與平面 PBC 所成角的正弦值為:sin|cos|【點(diǎn)評(píng)】本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的判斷與求法,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題19(12 分)已知橢圓 C:1(ab0)的右焦點(diǎn) F2 與拋物線 y24x 的焦點(diǎn)重
45、合,且其離心率為 (1)求橢圓 C 的方程;(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l 與 C 交于 M,N 兩點(diǎn),線段 MN 中點(diǎn)為 P,問 kMNkOP(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))是否為定值?請(qǐng)說明理由(【分析】 1)由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo),得到橢圓半焦距,再由離心率求得a,結(jié)合隱第 16 頁(yè)(共 22 頁(yè))含條件求得 b,則橢圓方程可求;(2)由題意可知,直線l 的斜率存在且不為 0,設(shè)
46、 l 的方程為 ykx+m,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于 x 的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得 P 的坐標(biāo),再由斜率公式求得 OP 的斜率,可得 kMNkOP 為定值【解答】解:(1)拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為(1,0),橢圓 C 的半焦距為 c1,又橢圓的離心率 e,a2,則 b橢圓 C 的方程為;(2)由題意可知,直線 l 的斜率存在且不為 0,設(shè)
47、60;l 的方程為 ykx+m,聯(lián)立,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2120即只需 n24k2+3設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2),則,P(),【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是中檔題20(12 分)為了盡快攻克一項(xiàng)科研課題,某生物研究所分別設(shè)立了甲、乙兩個(gè)研究小組同時(shí)進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),現(xiàn)隨機(jī)在這兩個(gè)小組各抽取 40 個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本,并規(guī)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在495,510)之內(nèi)的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù),否則為不理想數(shù)據(jù)試驗(yàn)情況如表所示:抽查數(shù)據(jù)頻數(shù)490,495)甲6乙2第 1
48、7 頁(yè)(共 22 頁(yè))495,500)500,505)505,510)510,515)81484121862(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出兩個(gè)小組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)若從甲小組測(cè)得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中,依次有放回的隨機(jī)抽查5 個(gè)數(shù)據(jù),設(shè)抽到理想數(shù)據(jù)的次數(shù)為 ,求 的分布列與數(shù)學(xué)期望;(以頻率作為概率)(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面 2×2 列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)研究小組的選擇有關(guān)?理想數(shù)據(jù)不理想數(shù)據(jù)合計(jì)附:K2甲小組
49、 乙小組 合計(jì),其中 na+b+c+dP(K2k)0.15k2.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828(【分析】 1)根據(jù)頻數(shù)計(jì)算各小組對(duì)應(yīng)的概率,畫頻率分布直方圖(2)根據(jù)題意,B(5,), 的取值為從
50、0;0 到 5,列出分布列,計(jì)算期望即可(3)列出 2×2 列聯(lián)表,計(jì)算 k,查表,判斷即可【解答】第 18 頁(yè)(共 22 頁(yè))解:(1)甲乙兩個(gè)小豬的頻率分布直方圖如圖,(2)易知甲小組的理想數(shù)據(jù)為 8+14+830故甲小組中理想數(shù)據(jù)的頻率為由題意知,B(5, ),所以0.750 1
51、160; 2345PE()5× ,(或者 E()0×+1×+5× (3)甲小組的理想數(shù)據(jù)為 30,乙小組的理想數(shù)據(jù)為 36,2×2 列聯(lián)表如下:理想數(shù)據(jù)不理想數(shù)據(jù)合計(jì)甲小組301040乙小組36440合計(jì)661480由表中數(shù)據(jù)得 K2 的觀測(cè)值k3.1172.706有 90%的把握任務(wù)抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)小組的選擇與有關(guān)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖,二項(xiàng)分布,獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí),屬于中檔題21(12 分
52、)已知函數(shù) f(x) ax2(a2+1)x,x0,a1(1)求證:函數(shù) f(x)的零點(diǎn)不小于 4;(2)g(x)f(x)+alnx,若 x1,+),求證:g(x) a3第 19 頁(yè)(共 22 頁(yè))+e2a(【分析】 1)由 f(x) ax2(a2+1)x,x0,a1得零點(diǎn) x,利用基本不等式的性質(zhì)即可證明f(2)g(x) (x)+alnxax2(a2+1)x+alnx,x1,+),g(x)ax(a2+1)x+ ,由 g(x)0
53、,解得 xa, 由 a 1 時(shí),解得 a1對(duì)a 分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出【解答】證明:(1)由 f(x) ax2(a2+1)x,x0,a1得零點(diǎn) x4,當(dāng)且僅當(dāng) a1 時(shí)取等號(hào),故結(jié)論成立(2)g(x)f(x)+alnxax2(a2+1)x+alnx,x1,+),g(x)ax(a2+1)x+
54、160;,由 g(x)0,解得 xa, 由 a 1 時(shí),解得 a1(i)當(dāng) a1 時(shí),g(x)0,在 x1,+)上恒成立,g(x)在 x1,+)上單調(diào)遞增,g(x)ming(1) (1+1) ,而 a3+e2a 結(jié)論成立(ii)當(dāng) a,即 a1 時(shí),g(x)在 x(a,+)上單調(diào)遞增,在 x(1,a)上單調(diào)遞減g(x)ming(a)alnaa ,而 a3+e2a 結(jié)論成立要證明:g(x) a3+e2a 成立即證明:alna+a+e 成立令 u(a)alna+a,v(a)+e,a1u(a)lna+22,u(a)在
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