2019年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

1、2019 年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5 分）若復(fù)數(shù) zA1+3i，則 （   ）B13i         C1+3i           D13

2、i2（5 分）已知 cos ，且  為第二象限角，則 sin2 的值為（）ABCD3（5 分）設(shè) P 和 Q 是兩個(gè)集合，定義集合 PQx|xP，且 xQ，如果 Px|12x4，Qy|y2+sinx，xR，那么 PQ（）Ax|0x14（5 分）若方程Am2 或 m6Bx|0x2      Cx|1x2    

3、 Dx|0x11 表示雙曲線，則 m 的取值范圍是（   ）B2m6        Cm6 或 m2  D6m25（5 分）在如圖所示的程序框圖中，如果輸出 p120，則輸入的 N（）A3B4C5D6（|6 5 分）已知向量 ， 滿足| |3， |2A30°B150°，且C60°，則

4、60;與 的夾角為（   ）D120°第 1 頁(yè)（共 22 頁(yè)）（y7 5 分）已知變量 x， 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù) z 的取值范圍是（）A0，2B0， CD0，+）8（5 分）一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，設(shè)在其直觀圖中，M 是 AB 的中點(diǎn)，則三棱錐 CMEF 的高為（）ABCD9（5 分）在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別是

5、 a，b，c，若 c2a，bsinBasinAasinC，則 cosB 等于（）ABCD10（5 分）已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的點(diǎn)，SA平面 ABC，ABBC，SA1，ABBC2，則球 O 的表面積為（）A5B C9D （11 5 分）已知命題 p：函數(shù) ysin（2x+）和 ycos（2x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；命題 q：若平行線 6x+8y+a0 與 

6、3x+by+220 之間的距離為 a，則 ab4“則下列四個(gè)判斷： pq 是假命題、pq 是真命題、（p）q 是真命題、p（q）是真命題”中，正確的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D412（5 分）定義在（0，+）上的函數(shù) f（x）滿足：f（xm）mf（x），x0，mR；存在實(shí)數(shù) a1，使得 f（a）1則下列選項(xiàng)正確的是（）Af（ ）f（3）f（2）Cf（3）f（2）f（ ）Bf（ ）f（2）f（3）Df（3）f（ ）f（2）二、填空題：本題共 

7、4 小題，每小題 5 分共 20 分第 2 頁(yè)（共 22 頁(yè)）13（5 分）函數(shù) yx2+ex 的圖象在點(diǎn) x0 處的切線方程為14（5 分）從由數(shù)字 1，2，3 所組成的所有三位數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)為沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的概率為“15（5 分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題： 今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一并五關(guān)所稅，適重一斤問本持金幾何

8、？“其意思為“今有人持金出五關(guān)，第 1 關(guān)收稅金為總量的 ，第 2 關(guān)收稅金為剩余的 ，第 3 關(guān)收稅金為剩余的 ，第 4 關(guān)收稅金為剩余的 ，第 5關(guān)收稅金為剩余的 ，5 關(guān)所收稅金之和恰好重 1 斤，問原本持金多少？假設(shè)原本持金 x斤，則 x斤16 （5 分）已知點(diǎn) O 為 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 |  | 

9、; |1 ，3，則三、解答題；共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60 分17（12 分）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn2n+12（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列bn滿足 bnSn+log2，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn18（12 分）如圖，四棱錐&

10、#160;P ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，BAD （1）在線段 PC 上求一點(diǎn) N ，使得 MN 平面 PAD ；，M 為 AB 中點(diǎn)（2）若 AB 4，PA PD 2角的正弦值，且二面角 P AD B 為    ，求 PA 與平面 PBC 所成19（12 分

11、）已知橢圓 C ：1（ab0）的右焦點(diǎn) F 2 與拋物線 y24x 的焦點(diǎn)重第 3 頁(yè)（共 22 頁(yè)）合，且其離心率為 （1）求橢圓 C 的方程；（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l 與 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，線段 MN 中點(diǎn)為 P，問 kMNkOP（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否為定值？請(qǐng)說明理由20（12 分）為了盡快攻克一項(xiàng)科研課題，某生物研

12、究所分別設(shè)立了甲、乙兩個(gè)研究小組同時(shí)進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，現(xiàn)隨機(jī)在這兩個(gè)小組各抽取 40 個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，并規(guī)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在495，510）之內(nèi)的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)，否則為不理想數(shù)據(jù)試驗(yàn)情況如表所示：抽查數(shù)據(jù)頻數(shù)490，495）495，500）500，505）505，510）510，515）甲681484乙2121862（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出兩個(gè)小組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2）若從甲小組測(cè)得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，依次有放回的隨機(jī)抽查5 個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)抽到理想數(shù)據(jù)的次數(shù)為 ，求  的分布列與數(shù)學(xué)期望；（以頻率作為概率）（3）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面 

13、;2×2 列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)研究小組的選擇有關(guān)？甲小組第 4 頁(yè)（共 22 頁(yè)）乙小組              合計(jì)理想數(shù)據(jù)不理想數(shù)據(jù)合計(jì)附：K2，其中 na+b+c+dP（K2k）0.15k2.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.82821（12 分）已

14、知函數(shù) f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1（1）求證：函數(shù) f（x）的零點(diǎn)不小于 4；（2）g（x）f（x）+alnx，若 x1，+），求證：g（x） a3+e2a（二）選考題：共 10 分請(qǐng)考生從第 22、23 兩題中任選一題作答，并用 2B 鉛筆將答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分；不涂，按本選題的首題進(jìn)行評(píng)分選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22（10 分）已知曲線 C 

15、的極坐標(biāo)方程是 ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），曲線 M 的參數(shù)方程是（ 為參數(shù)）（1）寫出曲線 C 和直線 l 的直角坐標(biāo)方程；P（2）若直線 l 與曲線 C 交于 A、B 兩點(diǎn)， 為曲線 M 上的動(dòng)點(diǎn)，求ABP 面積的最大值選修 4-5：不等式選講23已知函數(shù) f（x）|x1|x+

16、a|，aR（1）若 a2，解不等式 f（x）1；（2）若 x（2，4）時(shí)，|f（x）|2x+a1|，求 a 的取值范圍第 5 頁(yè)（共 22 頁(yè)）2019 年河北省保定市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5 分）若復(fù)數(shù) zA1+3i，則 （   ）B13i&#

17、160;        C1+3i           D13i【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案【解答】解：z                       

18、0;     ， 1+3i故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題2（5 分）已知 cos ，且  為第二象限角，則 sin2 的值為（）ABCD【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 sin 的值，再利用二倍角公式求得 sin2 的值【解答】解：cos ，且  為第二象限角，sin   ，則 sin22sincos2&#

19、160;             （ ） ，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3（5 分）設(shè) P 和 Q 是兩個(gè)集合，定義集合 PQx|xP，且 xQ，如果 Px|12x4，Qy|y2+sinx，xR，那么 PQ（）Ax|0x1Bx|0x2Cx|1x2Dx|0x1【分析】根據(jù) PQ 的定義，可

20、求出 P，Q，然后即可求出 PQ【解答】解：Px|0x2，Qy|1y3；PQx|0x1故選：D【點(diǎn)評(píng)】考查描述法的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域，以及 PQ 的定義第 6 頁(yè)（共 22 頁(yè)）4（5 分）若方程Am2 或 m61 表示雙曲線，則 m 的取值范圍是（   ）B2m6        Cm6 或 m2 

21、 D6m2【分析】利用方程表示雙曲線的充要條件，列出不等式求解即可【解答】解：若方程1 表示雙曲線，則（m2）（6m）0m2 或 m6，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5（5 分）在如圖所示的程序框圖中，如果輸出 p120，則輸入的 N（）A3B4C5D6【分析】根據(jù)條件進(jìn)行模擬運(yùn)算即可【解答】解：第一次 p1，kN 成立，k2，第二次 p2，kN 成立，k3，第三次 p6，kN 成立，k4，第五次 p24，kN 成立，

22、k5，第六次 p120，kN 不成立，輸出 p120，故 k4 不成立，k5 成立，則 N5，第 7 頁(yè)（共 22 頁(yè)）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，利用條件進(jìn)行模擬運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵（|6 5 分）已知向量 ， 滿足| |3， |2，且，則 與 的夾角為（   ）A30°【分析】 根據(jù)B150°即可得出C60°，從

23、而得出D120°，這樣即可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角【解答】解：；，；又； 與 的夾角為 150°故選：B【點(diǎn)評(píng)】考查向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量夾角的余弦公式（y7 5 分）已知變量 x， 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù) z 的取值范圍是（）A0，2B0， CD0，+）【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解即可【解答】解：變量 x，y 滿足約束條件的可行域如圖陰影部分：目標(biāo)函數(shù) z 的幾何意義是

24、可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率：kOA2，則目標(biāo)函數(shù) z 的取值范圍是：0，2故選：A第 8 頁(yè)（共 22 頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用 z 的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵8（5 分）一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，設(shè)在其直觀圖中，M 是 AB 的中點(diǎn)，則三棱錐 CMEF 的高為（）ABCD【分析】根據(jù)題意知三棱柱 ADFBCE 是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，過點(diǎn) C 作CNBE，則 

25、;CN 是三棱錐 CMEF 的高，求出即可【解答】解：根據(jù)題意知，三棱柱 ADFBCE 是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖所示；過點(diǎn) C 作 CNBE，垂足為 N，則 CN平面 ABEF，所以 CN 是三棱錐 CMEF 的高，在 BCE 中，BCCE1，第 9 頁(yè)（共 22 頁(yè)）所以 CN BE故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的位置關(guān)系與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題9（5&

26、#160;分）在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c，若 c2a，bsinBasinAasinC，則 cosB 等于（）ABCD【分析】由 c2a，利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得：b2a2 aca2，利用余弦定理即可求得 cosB 的值【解答】解：若 c2a，則由正弦定理可得：b2a2 aca2，即：，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題10（5 分）已知 S、A、B、C&

27、#160;是球 O 表面上的點(diǎn)，SA平面 ABC，ABBC，SA1，ABBC2，則球 O 的表面積為（）A5B C9D 【分析】由題意可得，S、A、B、C 四點(diǎn)均為長(zhǎng)寬高分別 SA，AB，BC 三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，由長(zhǎng)方體外接球的直徑等于長(zhǎng)方體對(duì)角線，可得球 O 的半徑，代入球的表面積公式即可得到答案【解答】解：SA平面 ABC，ABBC，四面體 SABC 的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別 SA，AB，BC 三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接

28、球的半徑SA1，AB2，BC2，2R3，即 R 球 O 的表面積 S4R29第 10 頁(yè)（共 22 頁(yè)）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積公式，其中根據(jù)已知條件求出球 O 的半徑是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題（11 5 分）已知命題 p：函數(shù) ysin（2x+）和 ycos（2x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；命題 q：若平行線 6x+8y+a0 與 3x+by+220 之間的

29、距離為 a，則 ab4“則下列四個(gè)判斷： pq 是假命題、pq 是真命題、（p）q 是真命題、p（q）是真命題”中，正確的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4【分析】根據(jù)條件判斷命題 p，q 的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可【解答】解：ycos（2x）sin  （2x   ） sin（   2x）sin（2x）則函數(shù) ysin（2x+）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為ysin（2x+），即 ysin（2x），即命題

30、60;p 是真命題，若兩直線平行則得 b4，兩平行直線為 6x+8y+a0 與 6x+8y+440，平行直線的距離為a，即|a44|10a，a0，則 a4410a 或 a4410a，得 a4 或（舍），則 ab4，即命題 q 是真命題，則“pq 是真命題、pq 是真命題、（p）q 是真命題、p（q）是真命題，正確的命題有 3 個(gè)，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷命題的真假是解決本題的關(guān)

31、鍵12（5 分）定義在（0，+）上的函數(shù) f（x）滿足：f（xm）mf（x），x0，mR ；存在實(shí)數(shù) a1，使得 f（a）1則下列選項(xiàng)正確的是（）第 11 頁(yè)（共 22 頁(yè)）Af（ ）f（3）f（2）Cf（3）f（2）f（ ）Bf（ ）f（2）f（3）Df（3）f（ ）f（2）【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系，確定 f（x）為對(duì)數(shù)型函數(shù)，設(shè) f（x）logax，結(jié)合條件判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【解答】解：在（0，+）上若

32、0;f（x）滿足：f（xm）mf（x），x0，mR；f（x）為對(duì)數(shù)型函數(shù)，設(shè) f（x）logax，若在實(shí)數(shù) a1，使得 f（a）1即當(dāng) a1 時(shí)，f（x）logaa1，則函數(shù) f（x）logax 為增函數(shù)，則 f（3）f（2）f（ ），故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，結(jié)合抽象函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)型函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分共 20 分13（5 分）函數(shù) 

33、yx2+ex 的圖象在點(diǎn) x0 處的切線方程為yx+1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求解切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程【解答】解：函數(shù) yx2+ex，可得 y2x+ex，切線的斜率為：1，切點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），函數(shù) yx2+ex 的圖象在點(diǎn) x0 處的切線方程為：yx+1故答案為：yx+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查計(jì)算能力14（5 分）從由數(shù)字 1，2，3 所組成的所有三位數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)為沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的概率為【分析】計(jì)算出由

34、 1，2，3 組成的所有數(shù)字，及由 1，2，3 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，即可得到概率【解答】解：由 1，2，3 組成的所有的三位數(shù)有 3327 個(gè)，由 1，2，3 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有6 個(gè)，故 第 12 頁(yè)（共 22 頁(yè)）故填： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，分步乘法原理，屬于基礎(chǔ)題“15（5 分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題： 今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而

35、稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一并五關(guān)所稅，適重一斤問本持金幾何？“其意思為“今有人持金出五關(guān)，第 1 關(guān)收稅金為總量的 ，第 2 關(guān)收稅金為剩余的 ，第 3 關(guān)收稅金為剩余的 ，第 4 關(guān)收稅金為剩余的 ，第 5關(guān)收稅金為剩余的 ，5 關(guān)所收稅金之和恰好重 1 斤，問原本持金多少？假設(shè)原本持金 x斤，則 x1.2斤【分析】計(jì)算每關(guān)過后的剩余量即，列方程求出答案【解答】解：由題意可知過第一關(guān)后

36、剩余 ，過第二關(guān)后剩余  ，過第三關(guān)后剩余 ，過第四關(guān)后剩余  ，過第五關(guān)后剩余 ，x 1，解得 x1.2故答案為：1.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16 （ 5 分）已知點(diǎn) O 為 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 | |  | |  | 1 ， 3，則【分析】 由已知可知，及   &#

37、160; 兩邊同時(shí)平方可求        ，然后結(jié)合   ，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解【解答】解：|，|  |1，3，兩邊同時(shí)平方可得，9+16+2425，第 13 頁(yè)（共 22 頁(yè)）0，則（0） ，故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔試題三、解答題；共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721 題為必考

38、題，每個(gè)試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60 分17（12 分）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn2n+12（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列bn滿足 bnSn+log2，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn（【分析】 1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和【解答】解：（1）數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 

39、;Sn2n+12當(dāng) n1 時(shí)，a12當(dāng) n2 時(shí)，得：故：（2）由于：（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），則：數(shù)列bn滿足 bnSn+log22n+12n所以：+（2322）+（2n+12n），第 14 頁(yè)（共 22 頁(yè)）（22+23+24+2n+1）2n（1+2+3+n），【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，利用分組法求數(shù)列的和，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型18（12 分）如圖，四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為菱形，BAD（

40、1）在線段 PC 上求一點(diǎn) N，使得 MN平面 PAD；，M 為 AB 中點(diǎn)（2）若 AB4，PAPD2角的正弦值，且二面角 PADB 為   ，求 PA 與平面 PBC 所成（【分析】 1）設(shè)線段 PC 的中點(diǎn)為 N，設(shè)線段 PD 中點(diǎn)為 H，連結(jié) NH，AH，推導(dǎo)出 AMDC，從而 HNAM，HNAM，進(jìn)而

41、0;MN平面 PAD，由此得到 N 為線段 PC 中點(diǎn)時(shí)滿足 MN平面 PAD（2）在菱形 ABCD 中，取 AD 中點(diǎn) O，連結(jié) BO，則 BOAD，連結(jié) PO，PAPD，則POAD，POB 是二面角的平面角，以 O 為原點(diǎn)，OA 為 x 軸，OB 為 y 軸，過迷途知返平面 ABCD 的垂線為 z 軸，建立空間直角

42、坐標(biāo)系，利用向量法能求出 PA 與平面 PBC所成角的正弦值【解答】解：（1）設(shè)線段 PC 的中點(diǎn)為 N，則 N 為所求設(shè)線段 PD 中點(diǎn)為 H，連結(jié) NH，AH，在PDC 中，HNDC，HN，四邊形 ABCD 是菱形，M 為中點(diǎn)，AMDC，AM，HNAM，HNAM，AH平面 PAD，MN平面 PAD，MN平面 PAD，即 N 為線段 PC 中點(diǎn)時(shí)滿足 MN

43、平面 PAD第 15 頁(yè)（共 22 頁(yè)）（2）在菱形 ABCD 中，取 AD 中點(diǎn) O，連結(jié) BO，BAD，BOAD，連結(jié) PO，PAPD，則 POAD，POB 是二面角的平面角，如圖，以 O 為原點(diǎn)，OA 為 x 軸，OB 為 y 軸，過迷途知返平面 ABCD 的垂線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A（2，0，0），B（0

44、，2（2，1），0），P（0，（0，3  ，1），1），C（4，2（4，0，0），0），設(shè)面 PBC 的法向量 （x，y，z），則，取取，得 （0，9），PA 與平面 PBC 所成角的正弦值為：sin|cos|【點(diǎn)評(píng)】本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的判斷與求法，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題19（12 分）已知橢圓 C：1（ab0）的右焦點(diǎn) F2 與拋物線 y24x 的焦點(diǎn)重

45、合，且其離心率為 （1）求橢圓 C 的方程；（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l 與 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，線段 MN 中點(diǎn)為 P，問 kMNkOP（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否為定值？請(qǐng)說明理由（【分析】 1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓半焦距，再由離心率求得a，結(jié)合隱第 16 頁(yè)（共 22 頁(yè)）含條件求得 b，則橢圓方程可求；（2）由題意可知，直線l 的斜率存在且不為 0，設(shè)

46、 l 的方程為 ykx+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于 x 的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得 P 的坐標(biāo)，再由斜率公式求得 OP 的斜率，可得 kMNkOP 為定值【解答】解：（1）拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為（1，0），橢圓 C 的半焦距為 c1，又橢圓的離心率 e，a2，則 b橢圓 C 的方程為；（2）由題意可知，直線 l 的斜率存在且不為 0，設(shè)

47、60;l 的方程為 ykx+m，聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120即只需 n24k2+3設(shè) M（x1，y1），N（x2，y2），則，P（），【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題20（12 分）為了盡快攻克一項(xiàng)科研課題，某生物研究所分別設(shè)立了甲、乙兩個(gè)研究小組同時(shí)進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，現(xiàn)隨機(jī)在這兩個(gè)小組各抽取 40 個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，并規(guī)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在495，510）之內(nèi)的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)，否則為不理想數(shù)據(jù)試驗(yàn)情況如表所示：抽查數(shù)據(jù)頻數(shù)490，495）甲6乙2第 1

48、7 頁(yè)（共 22 頁(yè)）495，500）500，505）505，510）510，515）81484121862（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出兩個(gè)小組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2）若從甲小組測(cè)得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，依次有放回的隨機(jī)抽查5 個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)抽到理想數(shù)據(jù)的次數(shù)為 ，求  的分布列與數(shù)學(xué)期望；（以頻率作為概率）（3）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面 2×2 列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)研究小組的選擇有關(guān)？理想數(shù)據(jù)不理想數(shù)據(jù)合計(jì)附：K2甲小組    

49、         乙小組              合計(jì)，其中 na+b+c+dP（K2k）0.15k2.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828（【分析】 1）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算各小組對(duì)應(yīng)的概率，畫頻率分布直方圖（2）根據(jù)題意，B（5，）， 的取值為從

50、0;0 到 5，列出分布列，計(jì)算期望即可（3）列出 2×2 列聯(lián)表，計(jì)算 k，查表，判斷即可【解答】第 18 頁(yè)（共 22 頁(yè)）解：（1）甲乙兩個(gè)小豬的頻率分布直方圖如圖，（2）易知甲小組的理想數(shù)據(jù)為 8+14+830故甲小組中理想數(shù)據(jù)的頻率為由題意知，B（5， ），所以0.750          1      &#

51、160;  2345PE（）5× ，（或者 E（）0×+1×+5×  （3）甲小組的理想數(shù)據(jù)為 30，乙小組的理想數(shù)據(jù)為 36，2×2 列聯(lián)表如下：理想數(shù)據(jù)不理想數(shù)據(jù)合計(jì)甲小組301040乙小組36440合計(jì)661480由表中數(shù)據(jù)得 K2 的觀測(cè)值k3.1172.706有 90%的把握任務(wù)抽取的數(shù)據(jù)為理想數(shù)據(jù)與對(duì)兩個(gè)小組的選擇與有關(guān)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖，二項(xiàng)分布，獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)，屬于中檔題21（12 分

52、）已知函數(shù) f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1（1）求證：函數(shù) f（x）的零點(diǎn)不小于 4；（2）g（x）f（x）+alnx，若 x1，+），求證：g（x） a3第 19 頁(yè)（共 22 頁(yè)）+e2a（【分析】 1）由 f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1得零點(diǎn) x，利用基本不等式的性質(zhì)即可證明f（2）g（x） （x）+alnxax2（a2+1）x+alnx，x1，+），g（x）ax（a2+1）x+ ，由 g（x）0

53、，解得 xa， 由 a 1 時(shí)，解得 a1對(duì)a 分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出【解答】證明：（1）由 f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1得零點(diǎn) x4，當(dāng)且僅當(dāng) a1 時(shí)取等號(hào)，故結(jié)論成立（2）g（x）f（x）+alnxax2（a2+1）x+alnx，x1，+），g（x）ax（a2+1）x+             &#

54、160;，由 g（x）0，解得 xa， 由 a 1 時(shí)，解得 a1（i）當(dāng) a1 時(shí)，g（x）0，在 x1，+）上恒成立，g（x）在 x1，+）上單調(diào)遞增，g（x）ming（1） （1+1） ，而 a3+e2a 結(jié)論成立（ii）當(dāng) a，即 a1 時(shí)，g（x）在 x（a，+）上單調(diào)遞增，在 x（1，a）上單調(diào)遞減g（x）ming（a）alnaa ，而 a3+e2a 結(jié)論成立要證明：g（x） a3+e2a 成立即證明：alna+a+e 成立令 u（a）alna+a，v（a）+e，a1u（a）lna+22，u（a）在