測量誤差及其合成

1、 目 錄 一、測量誤差及分類21.1測量誤差概述21.2 測量誤差分類2二、測量誤差的合成52.1 隨機誤差的合成52.2 系統(tǒng)誤差的合成72.3 系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成11 測量誤差及誤差合成一、測量誤差及分類  1.1測量誤差概述 測量工作中，盡管觀測者按照規(guī)定的操作要求認(rèn)真進行觀測，但在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論值之間仍存在差異。例如，對某一三角形的三個內(nèi)角進行觀測，其和不等于180°；又如所測閉合水準(zhǔn)路線的高差閉合差不等于零等，這說明觀測值中包含有觀測誤差。研究觀測誤差的來源及其規(guī)律，采取各種措施消除或減小其誤差影響，是測量工作者的一項主要任務(wù)。

2、觀測誤差產(chǎn)生的原因主要有以下三個方面: 1觀測者 由于觀測者感覺器官鑒別能力有一定的局限性，在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面都產(chǎn)生誤差。同時觀測者的技術(shù)水平、工作態(tài)度及狀態(tài)都對測量成果的質(zhì)量有直接影響。 2測量儀器 每種儀器有一定限度的精密程度，因而觀測值的精確度也必然受到一定的限度。同時儀器本身在設(shè)計、制造、安裝、校正等方面也存在一定的誤差，如鋼尺的刻劃誤差、度盤的偏心等。 3外界條件 觀測時所處的外界條件，如溫度、濕度、大氣折光等因素都會對觀測結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。外界條件發(fā)生變化，觀測成果將隨之變化。 述三方面的因素是引起觀測誤差的主要來源，因此把這三方面因素綜合起來稱為觀測條件。觀測條件的好

3、壞與觀測成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。 1.2 測量誤差分類觀測誤差按其對觀測成果的影響性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩種。 （1）系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下作一系列觀測，若誤差的大小及符號表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一定的規(guī)律變化，那么這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如，用一把名義為30m長、而實際長度為30.02m的鋼尺丈量距離，每量一尺段就要少量2cm，該2cm誤差在數(shù)值上和符號上都是固定的，且隨著尺段的倍數(shù)呈累積性。系統(tǒng)誤差對測量成果影響較大，且一般具有累積性，應(yīng)盡可能消除或限制到最小程度，其常用的處理方法有： 1檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 2加改正數(shù)，在觀測結(jié)果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)，如尺長改正

4、等。 3采用適當(dāng)?shù)挠^測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱，如測水平角時采用盤左、盤右現(xiàn)在每個測回起始方向上改變度盤的配置等。 （2）隨機誤差 在相同的觀測條件下作一系列觀測，若誤差的大小及符號都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差來看，該誤差的大小及符號沒有規(guī)律，但從大量誤差的總體來看，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差或隨機誤差。例如用經(jīng)緯儀測角時，測角誤差實際上是許多微小誤差項的總和，而每項微小誤差隨著偶然因素影響不斷變化，因而測角誤差也表現(xiàn)出隨機性。對同一角度的若干次觀測，其值不盡相同，觀測結(jié)果中不可避免地存在著隨機誤差的影響。隨機誤差是由多種因素綜合影響產(chǎn)生的，觀測結(jié)果中不可避免地存在偶然誤差

5、，因而隨機誤差是誤差理論主要研究的對象。就單個隨機誤差而言，其大小和符號都沒有規(guī)律性，呈現(xiàn)出隨機性，但就其總體而言卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，圖1 頻率直方圖并且是服從正態(tài)分布的隨機變量。即在相同觀測條件下，大量隨機誤差分布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。 圖2正態(tài)分布曲線1在一定的觀測條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定的限值； 2絕對值較小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大； 3絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； 4同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨近于零，即 除上述兩類誤差之外，還可能發(fā)生錯誤，也稱粗差，如讀錯、記錯等。這主要是由于粗心大意而引起。一般粗差值

6、大大超過系統(tǒng)誤差或偶然誤差。粗差不屬于誤差范疇，不僅大大影內(nèi)測量成果的可靠性，甚至造成返工。因此必須采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧沤^錯誤發(fā)生。 二、測量誤差的合成檢測系統(tǒng)往往由若干個環(huán)節(jié)組成，測量過程往往包含有若干個環(huán)節(jié)，各個環(huán)節(jié)都存在著誤差因素。任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是檢測系統(tǒng)或測量過程各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同影響的綜合結(jié)果。各個環(huán)節(jié)的誤差因素稱為單項誤差。根據(jù)各單項誤差來確定測量結(jié)果的總誤差，這就是誤差的合成。2.1 隨機誤差的合成隨機誤差用測量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征，隨機誤差的合成分為標(biāo)準(zhǔn)差的合成與極限誤差的合成兩種情況來討論。1標(biāo)準(zhǔn)差的合成根據(jù)對隨機變量求標(biāo)準(zhǔn)差的方法，標(biāo)

7、準(zhǔn)差的合成一般采用方和根法，同時要考慮誤差傳遞系數(shù)以及各單項誤差之間的相關(guān)性影響。設(shè)共有q個單項隨機誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為1、2、q，其對應(yīng)的傳遞系數(shù)分別為a1、a2、aq。這些傳遞系數(shù)由測量的具體情況來確定，對間接測量可按公式求得，對直接測量則根據(jù)各個誤差因素對測量結(jié)果的影響情況來確定。按方和根法合成的總標(biāo)準(zhǔn)差為 （2-1）式中，ij為任意兩單項隨機誤差之間的相關(guān)系數(shù)。一般情況下，各個單項隨機誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，則有 （2-2）當(dāng)各個單項隨機誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個單項隨機誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，則有 （2-3）用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點，不僅簡單方便，而且無論各單項隨機誤

8、差的概率分布如何，只要給出各個標(biāo)準(zhǔn)差，均可按式（2-1）或式（2-2）、式（2-3）計算總標(biāo)準(zhǔn)差。2極限誤差的合成在實際測量中，各個單項隨機誤差和測量結(jié)果的總隨機誤差也常以極限誤差的形式來表示。用極限誤差來表示隨機誤差，有明確的概率意義。一般情況下，各個單項隨機誤差服從的分布不同，各個單項極限誤差的置信概率也不同，因而有不同的置信系數(shù)。設(shè)各單項極限誤差為 （2-4）式中，i為各單項隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，ti為各單項極限誤差的置信系數(shù)。總極限誤差為 （2-5）式中，為合成的總標(biāo)準(zhǔn)差，t為總極限誤差的置信系數(shù)。綜合式（2-4）、式（2-5）和式（2-1），可得合成的總極限誤差為 （2-6）式中，ij為

9、任意兩單項隨機誤差之間的相關(guān)系數(shù)。根據(jù)已知的各單項極限誤差和相應(yīng)的置信系數(shù)，即可按式（2-6）進行極限誤差的合成。但必須注意到，式（2-6）中的各個置信系數(shù)，不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機誤差服從的分布有關(guān)。對于服從相同分布的隨機誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個置信系數(shù)相同；對于服從不同分布的隨機誤差，即使選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個置信系數(shù)也不相同。由此可知，式（2-6）中的各個單項極限誤差的置信系數(shù)，一般來說并不相同。合成的總極限誤差的置信系數(shù)t，一般來說與各個單項極限誤差的置信系數(shù)也不相同。當(dāng)單項隨機誤差的數(shù)目q較多時，合成的總極限誤差接近于正態(tài)分布，因此合成的總極限誤差的置信

10、系數(shù)t可按正態(tài)分布來確定。當(dāng)各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各個單項極限誤差與總極限誤差選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個置信系數(shù)相同，即t1t2tqt，式（2-6）可簡化為 （2-7）一般情況下，各個單項隨機誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，式（2-7）可簡化為 （2-8）當(dāng)各個單項隨機誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個單項隨機誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，則有 （2-9）式（2-8）和式（2-9）均具有十分簡單的形式，由于在實際測量中各個單項隨機誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且它們之間常是互不相關(guān)或近似不相關(guān)，因此式（2-8）和式（2-9）均是較為廣泛應(yīng)用的極限誤差合成公式。在實際應(yīng)用時，

11、應(yīng)注意式（2-8）和式（2-9）的使用條件。2.2 系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律，不論其變化規(guī)律如何，根據(jù)對系統(tǒng)誤差的掌握程度，可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。由于這兩種系統(tǒng)誤差的特征不同，其合成方法也不相同。1已定系統(tǒng)誤差的合成已定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。對于已定系統(tǒng)誤差，在處理測量結(jié)果時可根據(jù)各單項系統(tǒng)誤差和其傳遞系數(shù)，按代數(shù)和法合成。在測量過程中，若有r個單項已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為1，2，r，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，ar，則按代數(shù)和法進行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為 （2-10）在實際測量中，有不少已定系統(tǒng)誤差在測量過程中均已消除，

12、由于某些原因末予消除的已定誤差也只是有限的少數(shù)幾項，它們按代數(shù)和法合成后，還可以從測量結(jié)果中修正，因此，最后的測量結(jié)果中一般不再包含有已定系統(tǒng)誤差。2未定系統(tǒng)誤差的合成（1）未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，或不必花費過多精力去掌握，而只需估計出其不致超過某一極限范圍±ei的系統(tǒng)誤差。也就是說，在一定條件下客觀存在的某一系統(tǒng)誤差，一定是落在所估計的誤差區(qū)間（ei，ei）內(nèi)的一個取值。當(dāng)測量條件改變時，該系統(tǒng)誤差又是誤差區(qū)間（ei，ei）內(nèi)的另一個取值。而當(dāng)測量條件在某一范圍內(nèi)多次改變時，未定系統(tǒng)誤差也隨之改變，其相應(yīng)的取值在誤差區(qū)間（ei，ei）內(nèi)

13、服從某一概率分布。對于某一單項未定系統(tǒng)誤差,其概率分布取決于該誤差源變化時所引起的系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。理論上此概率分布是可知的，但實際上常常較難求得。目前對未定系統(tǒng)誤差的概率分布，均是根據(jù)測量實際情況的分析與判斷來確定的，并采用兩種假設(shè)：一種是按正態(tài)分布處理；另一種是按均勻分布處理。但這兩種假設(shè),在理論上與實踐上往往缺乏根據(jù)，因此對未定系統(tǒng)誤差的概率分布尚屬有待于作進一步研究的問題。未定系統(tǒng)誤差的極限范圍±ei稱為未定系統(tǒng)誤差的誤差限。對于某一單項未定系統(tǒng)誤差的誤差限，是根據(jù)該誤差源具體情況的分析與判斷而做出估計的，其估計結(jié)果是否符合實際，往往取決于對誤差源具體情況的掌握程度以及測量

14、人員的經(jīng)驗和判斷能力。未定系統(tǒng)誤差在測量條件不變時有一恒定值，多次重復(fù)測量時其值固定不變，因而不具有抵償性，利用多次重復(fù)測量取算術(shù)平均值的辦法不能減小它對測量結(jié)果的影響，這是它與隨機誤差的重要差別。但當(dāng)測量條件改變時，由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機性，并且服從一定的概率分布，這些特征均與隨機誤差相同，因而評定它對測量結(jié)果的影響也應(yīng)與隨機誤差相同，即采用 標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度?，F(xiàn)以質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)器具砝碼為例來說明未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定。在質(zhì)量計量中，砝碼的質(zhì)量誤差將直接帶入測量結(jié)果。為了減小這項誤差的影響，應(yīng)對砝碼質(zhì)量進行檢定，以便給出其修正值。由于不

15、可避免地存在砝碼質(zhì)量的檢定誤差，經(jīng)修正后的砝碼質(zhì)量誤差雖已大為減小，但仍有一定誤差，因而影響質(zhì)量的計量結(jié)果。對某一個砝碼，一經(jīng)檢定完成，其修正值即已確定不變，由檢定方法引入的誤差也就被確定下來了，其值為檢定方法極限誤差范圍內(nèi)的一個隨機取值。使用這一個砝碼進行多次重復(fù)測量時，由檢定方法引入的誤差則為恒定值而不具有抵償性。但這一誤差的具體數(shù)值又未掌握，而只知其極限范圍，因此屬于未定系統(tǒng)誤差。對于同一質(zhì)量的多個不同的砝碼，相應(yīng)的各個修正值的誤差為某一極限范圍內(nèi)的隨機取值，其分布規(guī)律直接反映了檢定方法誤差的分布。反之，檢定方法誤差的分布也就反映了各個砝碼修正值的誤差分布規(guī)律。若檢定方法誤差服從正態(tài)分布

16、，則砝碼修正值的誤差也應(yīng)服從正態(tài)分布，而且兩者具有同樣的標(biāo)準(zhǔn)差si。若用極限誤差來評定砝碼修正值的誤差，則有ei±tisi。從上述實例分析可以看出，這種未定系統(tǒng)誤差是較為普遍的。一般來說，對一批量具、儀器和設(shè)備等在加工、裝調(diào)或檢定中，隨機因素帶來的誤差具有隨機性。但對某一具體的量具、儀器和設(shè)備，隨機因素帶來的誤差卻具有確定性，實際誤差為一恒定值。若尚未掌握這種誤差的具體數(shù)值，則這種誤差屬于未定系統(tǒng)誤差。由于未定系統(tǒng)誤差的取值具有隨機性，并且服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，它們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成完

17、全可以采用隨機誤差的合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。對于某一項誤差，當(dāng)難以嚴(yán)格區(qū)分為隨機誤差或未定系統(tǒng)誤差時，因不論作為哪一種誤差來處理，最后總誤差的合成結(jié)果均相同，故可將該項誤差任作一種誤差來處理。未定系統(tǒng)誤差的總誤差可以用標(biāo)準(zhǔn)差來表示，也可以用極限誤差來表示。（2）未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差的合成在測量過程中，若有p個單項未定系統(tǒng)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，sp，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，ap，則按方和根法進行合成，求得總的未定系統(tǒng)誤差為 （2-11）一般情況下，各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，式（2-11）可簡化為 （2-12）當(dāng)各個單項未定系統(tǒng)誤差傳遞系數(shù)均

18、為1，且各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，則有 （2-13）（3）未定系統(tǒng)誤差極限誤差的合成 各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 （2-14）式中，si為各單項未定系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，ti為各單項極限誤差的置信系數(shù)?？偟奈炊ㄏ到y(tǒng)誤差的極限誤差為 （2-15）式中，s為合成的總標(biāo)準(zhǔn)差，t為總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差的置信系數(shù)。綜合式（2-14）、式（2-15）和式（2-11），可得總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 （2-16）式中，ij為任意兩單項未定系統(tǒng)誤差之間的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)單項未定系統(tǒng)誤差的數(shù)目p較多時，合成的總極限誤差接近于正態(tài)分布，因此合成的總極限誤差的置信系數(shù)t可按正態(tài)分布來確定。

19、當(dāng)各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布時，各個單項極限誤差與總極限誤差選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個置信系數(shù)相同，即t1t2tpt，式（2-16）可簡化為 （2-17）一般情況下，各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，式（2-17）可簡化為 （2-18）當(dāng)各個單項未定系統(tǒng)誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個單項未定系統(tǒng)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ij0，則有 （2-19）2.3 系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成以上分別討論了隨機誤差、已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差的誤差合成問題，當(dāng)測量過程中存在著多項隨機誤差、已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差時，應(yīng)將它們進行綜合，以求得最后測量結(jié)果的總誤差。測量結(jié)果的總誤差常用極限誤差

20、來表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)差來表示。1按標(biāo)準(zhǔn)差合成若用標(biāo)準(zhǔn)差來表示測量結(jié)果的總誤差，由于在一般情況下已定系統(tǒng)誤差可以從測量結(jié)果中修正，因此只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成問題。若在測量過程中有p個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，sp；有q個單項隨機誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為1，2，q。為計算方便，設(shè)各個單項誤差傳遞系數(shù)均為1，則測量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為 （2-20）式中，R為各個誤差間協(xié)方差之和。當(dāng)各個誤差間互不相關(guān)時，各個誤差間協(xié)方差為零，則式（2-20）可簡化為 （2-21）對于單次測量，可直接按式（2-206）或式（2-21）求得最后結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差。對多次重復(fù)測量，由于隨機誤差具有抵償性，而系統(tǒng)誤差則固定不變，因此總標(biāo)準(zhǔn)差合成公式中的隨機誤差項應(yīng)除以重復(fù)測量次數(shù)n，即測量結(jié)果平均值的總標(biāo)準(zhǔn)差為 （2-22）比較式（2-21）和式（2-22）可知，對于單次測量的總標(biāo)準(zhǔn)差合成中，不需嚴(yán)