33－函數(shù)展開成冪級數(shù)ppt課件

1、微積分學(xué)(一)一元微積分學(xué)函數(shù)展開為冪級數(shù)函數(shù)展開為冪級數(shù)授課教師 孫學(xué)峰高校理科通識教育平臺數(shù)學(xué)課程一、冪級數(shù)的解析運算三、函數(shù)展開為冪級數(shù)四、函數(shù)展開為冪級數(shù)應(yīng)用舉例 函數(shù)展開為冪級數(shù)二、泰勒級數(shù)1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的) ,()(0RRCxfxannn在收斂區(qū)間端點處是指和函數(shù)的左、右連續(xù)性. , ) 1 , 1( 0其和為：內(nèi)收斂在 nnx)1 , 1( 11)(Cxxf2冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項可積性 dd)(00 0 0 nxnnxnnnttatta在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi), 其和函數(shù)連續(xù), 故冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積, 當(dāng)然,冪級數(shù)也在其收斂區(qū)間內(nèi)可積.逐項積

2、分得到的新冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑, 但端點處的斂散性可能改變.3冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項可導(dǎo)性 . )(dddd00nnnnnnxaxxax逐項求導(dǎo)得到的新冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑, 但要注意：由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零, 故有些冪級數(shù)在求導(dǎo)后要改變下標(biāo)的起始值 .112022)(dd nnnnxnxx例如 . )1 | ( , 11xxnnn求 , nan由于, 11lim|lim1nnaannnn . ) 1 , 1( 11內(nèi)可逐項積分在故nnxn d d) (0 10 111xnxnnnxxnxxn . 11xxxnn首項為 x , 公比為 x .例1解 d) (dd

3、0 1111 xnnnnxxnxxn從而xxx 1dd . ) 1 | ( , )1 (12xx . 1 R即111 212212 xnnnnnxnn1211 212212 xnnnnnxnn12211 212212 xnnnnnxnn 符合積分要求了分析 . 212 1之值求nnn例2 . )2 , 2( 212122的收斂區(qū)間為nnnxn , )2 , 2( 中在 10 220 122d 212 d) 212(nxnnxnnnxxnxxn1122nnnx122 1nnxx22xx 等比級數(shù) . 212 1之值求nnn例2解21222 dd 212 xxxxnnnn故222)2(2xx ,

4、1 得取x . 3 )2(221212221xnnxxn , ) 1 |(| 5312 53112之和求xxxxnxnn. ) 12(21 1的值并由此求nnn ,12)( ,12則由令這是缺項的冪級數(shù)nxxunn , 1212lim| )(| )(|lim 221xxnnxuxunnnn . , 1 | ,原級數(shù)絕對收斂時得x例3解由冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的逐項可導(dǎo)性, 得1121121212nnnnnxnx122nnx , 111242xxxxnnxxnx0 2112d1112 故xxxxd1111 210 . ) 1 | ( , 11ln 21xxx ) 12(21 1？的值如何求nnn

5、) 1 |(| 11ln 2112 112xxxnxnn已知11 12 21 ) 12(21 nnnnnn 12 )2(112nnn112 12 21 21nnn . 1)2ln( 21 21 x取 請自己完成例3分析在收斂區(qū)間內(nèi)對冪級數(shù)逐項求導(dǎo)、逐項積分后, 得到一個新的冪級數(shù), 且它與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑 . 如有必要,可對它連續(xù)進行逐項求導(dǎo)和逐項積分.就是說, 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)及任意次的可積性. 冪級數(shù)的性質(zhì)多好啊 ！ 如何將函數(shù)表示為冪級數(shù)?怎么做？怎么做？ ,將函數(shù)表示為我們在前面已經(jīng)遇到過實際上 泰勒公式：多項式的情形200000)(! 2)()()

6、()(xxxfxxxfxfxf . )o()(! )(000)(nnnxxxxnxf 馬克勞林公式： . )o( ! )0( ! 2)0( )0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf 嗎？還記得公式的推導(dǎo)過程 將函數(shù)展開為冪級數(shù)得的問題是否就是將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的問題?一個冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)代表一個函數(shù), 即它的和函數(shù):) ,( )(0RRxxSxannn任意一個函數(shù)能否在某一個區(qū)間內(nèi)表示為某一個冪級數(shù)的形式呢 ? 即是否有 ? ) )( ( )()(00 xfxxaxfnnn ? 如何確定系數(shù)na? )( 的關(guān)系如何與xfan工程需要泰勒公式問題 )( )U( )( 000即的和

7、函數(shù)，內(nèi)為冪級數(shù)在若nnnxxaxxf)U( ,)()( 000 xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann則定理證證由定理的條件可知, , )U( 0內(nèi)冪級數(shù)收斂在x, )U( 0內(nèi)可對其進行逐項求導(dǎo)故在x且其和函數(shù). )U( )(0內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)在xxf于是有nnxxaxxaxxaaxf)()()()(020201010203021)()(3)(2)(nnxxnaxxaxxaaxf 204032)(34)(232)(xxaxxaaxf20)() 1(nnxxann)( 23) 1() 1(! )(01)(xxannnanxfnnn則有代入上述各式以

8、, 0 xx , )(00 xfa , )(01xfa, ! )(0)(nxfann由數(shù)學(xué)歸納法, 得), 2 , 1 , 0( )(0)(nnxfann！該定理說明, 內(nèi)為某個在如果 )U( )( 0 xxf000)()(! )(nnnxxnxf冪級數(shù)的和函數(shù), 則該冪級數(shù)一定是下列形式: )( 0則稱有任意階導(dǎo)數(shù)，在點設(shè)xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0處的泰勒級數(shù)在點為xxf 定理和定義給我們提供了什么信息 ?定理和定義告訴我們：0 )( xxf在點如果處有任意階導(dǎo)數(shù), 則它就有一個相應(yīng)的泰勒級數(shù)存在. 但此泰勒級數(shù)不一定收斂, 即算收斂, 其和函數(shù)也不一定等于.

9、 )(xf就是說,函數(shù)與它的泰勒級數(shù)間劃等號是有條件的.)U( )( 0 xxf在如果內(nèi)可表示為冪級數(shù)的形式, 則該冪級數(shù)一定是函數(shù) f ( x ) 的泰勒級數(shù).問問 題題 ,在什么條件下 ? )U( )(0數(shù)呢內(nèi)可以展開為一個冪級在xxf )( , )(呢？且和函數(shù)等于的泰勒級數(shù)收斂xfxf ,在什么條件下回憶泰勒中值定理的構(gòu)建過程 , ) 1( )U( )( 0則階的導(dǎo)數(shù)內(nèi)有直到在設(shè)nxxf , )()(! )()(000)(xRxxkxfxfnnkkk . )(! ) 1()()( 10)1(為拉格朗日余項其中nnnxxnfxR由級數(shù)的部分和及收斂性質(zhì)看出一點什么沒有 ?定理 , )U(

10、 )( 0內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)在設(shè)xxf內(nèi)處的泰勒級數(shù)在在點則 )U( )( 00 xxxf的充要條件是收斂于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0處泰勒公式的拉在為其中xxfxRn. 格朗日余項證 )(! )( 000)(的部分和為級數(shù)nnnxxnxf )(! )()(000)(knkknxxkxfxS )( 的泰勒公式為函數(shù)xf )()(! )()(000)(xRxxnxfxfnknkk)()()( xSxfxRnn故 余下的工作由學(xué)生自己完成.10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR) , 2 , 1 , 0( | )(| )(nMxfn若推 論, 0 ), 2, 1

11、, (0, | )(| )U( )(0為常數(shù)內(nèi)若在MMxfxn )U( )( 0內(nèi)可展開為泰勒級數(shù)在則xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn證（提示） )(! ) 1()( | )(| 010)1(nnnxxnfxR)( 0! ) 1(1nnMn . ) (為鄰域半徑 . )( 0! lim ,Ranann此外自己做!0)( ! )0(nnnxnf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0級數(shù)即得到常用的馬克勞林在泰勒級數(shù)中取x , )( 0處具有任意階導(dǎo)數(shù)在點只要函數(shù)xxf就可寫出它的泰勒級數(shù). 但它的泰勒級數(shù)不一定收斂,.

12、 )(xf只有當(dāng)拉格朗日余項 0)()(nxRn時, 泰勒級數(shù)才收斂于 . )(xf一個函數(shù)如果能夠展開為冪級數(shù)形式, 那么該冪級數(shù)一定是它的泰勒級數(shù), 且這種展開是唯一的. )(也不一定等于xS即使收斂,其和函數(shù)函數(shù)展開為冪級數(shù)直接展開法間接展開法該方法是先求出函數(shù) , )( )()(xfxfn的導(dǎo)數(shù)寫出它的泰勒級數(shù),然后, 判斷泰勒公式中的拉格朗日余項是否滿足, 0)(limxRnn確定級數(shù)的收斂區(qū)間. )( 為馬克勞林級數(shù)展開xexf) , 2 , 1 , 0( 1)0(0)(nefxxn 的馬克勞林級數(shù)為xe0! nnnx! 1nxxn 011lim|lim 1naannnn由于 .

13、,R該級數(shù)的收斂半徑為所以例4解解 ! ) 1(| |! ) 1()( | | )(| 0 1| | 1)1(nxexnfxRnxnnn而 ) 0 (之間與在x , )( 0! lim Ranann因為 ) ) ,( 0! ) 1(|lim 1| xnxenxn所以 , 0)(lim 故所求馬克勞林級數(shù)為即xRnn . ) ,( , ! 0 xnxennx . sin)( 展開為馬克勞林級數(shù)將xxf , )2sin()( )(nxxfn因為)( 12 ,) 1( 2 , 0 )0( ,)(Zkknknfkn所以 sin 的馬克勞林級數(shù)為故x1121 ) 12() 1(nnnnx！! 5! 35

14、3xxx例5解解 , ! ) 12() 1()( 121nxxunnn記 02) 12(lim|lim21nnxuunnnn . R故該級數(shù)的收斂半徑為) , 2 , 1 , 0( 1 | )0(| )(nfn因為 , sin ,即林級數(shù)可以展開為它的馬克勞所以x). ,( , ! ) 12() 1(sin1121xnxxnnn從一些已知函數(shù)的泰勒展開式出發(fā), 利用冪級數(shù)的四則運算和解析運算性質(zhì), 以及進行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q來求出另外一些函數(shù)的泰勒公式的方法, 稱為間接展開法. . cos)( 展開為馬克勞林級數(shù)將xxf)(sincosxx ) ! ) 12() 1( (1121nnnnx1121

15、) ! ) 12() 1(nnnnx1221 ! )22() 1(nnnnx. ) ,( , ! )2() 1(02xnxnnn例6解解) ,( ! ) 12() 1(sin012xnxxnnn) ,( ! )2() 1(cos02xnxxnnn . )( 2展開為馬克勞林級數(shù)將xexf, 2xy令 , ) ,( , ! 0ynyenny因為 . ) ,( ,! ) 1( 022xnxennnx所以利用變量代換例7解解 . )3( 1)(的冪級數(shù)為展開xxxf)3(311xx331131x等比級數(shù)的和例8解解 , ) 1 , 1( , 11) 1( 0得由xxxnnn331131 1xx03)3() 1(31nnnnx, 3)3() 1(01nnnnx1331x. )6 , 0(x求下列函數(shù)