全國文數(shù)第19課解三角形

1、第19課解三角形普查講19解三角形1.利用正、余弦定理解三角形 a.利用正弦定理解三角形(1)(經(jīng)典題，5分)設(shè)4ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)邊分別為a, b, c.若a=3, b=0A = a 則 B=( ABVD 2兀3兀A6兀 I、. 5 p -w C.66解析：a= 3, b= 3/3, A=,，由正弦定理可得等,：3Xd321-=2.- a>b, A=3,，B 為銳角,1- B = 6.故選 A.(2018湖南模擬，5分)在 ABC中，a=V3b, A= 120°,則B的大小為(A )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90

2、76;解析：a= Y3b, A=120°,由正弦定理-a7=上， sinA sinBbsinA 3 o 1可得 sinB = -a- = -3-sin120 =2.又BC(0°, 60°), . . B=30°.故選 A.4(2)(2016全國n , 5分)ABC的內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,若cosA = 5,5一 21cosC= o, a= 1,則 b= Q.1313解析：因?yàn)閏osA = 4, cosC=：5,且A, C為三角形內(nèi)角，所以 513sinA=-3, sinC=1|,所51363以 sinB = sin兀一(A +

3、 C) =sin(A+ C) = sinAcosC+ cosAsinC =一 65-由正弦定理（3）（經(jīng)典題,5分）在銳角三角形ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若 b= 2asinB,則A=( A . C.A ) 30° 60°B. 45°D.75解析：因?yàn)樵阡J角三角形 ABC中,b = 2asinB,所以由正弦定理,得 sinB= 2sinAsinB,1易知 sinBwQ,所以 sgA=2.又 q <a<90,所以 A=30°.b.利用余弦定理解三角形(4)(2018 全國 II , 5 分)在 ABC 中,cos2=

4、g BC=1, AC=5,則 AB=( A )A. 4版 Ba/3q C.T29 D. 2v5解析：根據(jù)二倍角公式，可得 cosC =-1T2cos21-1 = 2X根據(jù)余弦定理，可得BC1 2 +AC2-AB2 12+52-AB2cosC =所以AB =故選A.2BC AC咽二4®2X1X535'asinB = 21sinA 13.C.解析:2 b2 _ 2根據(jù)余弦定理得Fc=cosC.（2018河南模擬，5分）在斜三角形 ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a, b, c, 3absin2c = aD.3+b2c2,則 sin(兀+ C)= ( B )-.1 3absin2

5、c = 6absinCcosC= a2+ b2 c2,3sinCcosC= cosC. ABC為斜三角形，cosCw。,1 3sinC= 1,即 sinC = -3.1結(jié)合誘導(dǎo)公式得 sin（兀+ C）= - sinC=-.3故選B.一.兀一人,一士«一 1一.（6）（2016全國出，5分）在 ABC中，B =1BC邊上的局等于3BC,則cosA=（ C ）A噂喏103 ,10C. - 10D. 10解析：（法一）如圖，過 A作ADXBC,垂足為D,由題意知 AD = BD = 3bc,不妨設(shè)BC3=3,貝U AD = BD=1, DC = 2,所以 AB = yAD2+ BD2=淄

6、，AC = AD2+DC2,10布.AB2 AC2BC22+5 9在 ABC中，由余弦定理的推論，得cos/ BAC = Ab= 2* 9仁= 2AB AC2Xj2X5故選C.（法二）如圖，過 A作ADLBC,垂足為 D,由題意知 AD = BD = 1BC,則CD=|bC, 33所以在RtAADC中，AC=5BC,所以 sin/ DAC =2-5-5', cos/ DAC = 5.又因?yàn)? B=j 所以 cosZ BAC = cos / DAC+j '廣 cos/ DAC cos4-sin / DAC sin:= ,5» 2 2 2 ；2_.105*2 5 *2 a

7、故選C.c.利用正、余弦定理解三角形（7）（經(jīng)典題,工5 分）在4ABC 中，/ ABC = 4,AB=V2, BC=3,則 sin/BAC 等于（C ）,10A. 10B:10 B.53 J0 C.10D.55解析：由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB BCcosZ ABC = 5,貝U AC = /.由正弦定理得BCACsin/BAC sin/ABC,即sdBAC"=，得sinBAC=普故選C.2(8)(2018河北衡水模擬，5分)在4ABC中，角A, B, C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a, b, c,且a ： b ： c=2 ： 3 ： 4,則sinA 2sinBsin2CB.C

8、. -21D.2解析：不妨設(shè)a=2, a2 + b2 c2 cosC 2abb= 3,c= 4,4+9161.2X2X34'sinA 2sinB sinA 2sinBa 2b 2 6sin2C2sinC cos C 2ccosC 8X故選B.(2018天津，13分)在4ABC中，內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別為(I )求角B的大小;解:在MBC中，由正弦定理s=snB,可得bsinA= asinB.又由（njf IbsinA = acos ；B 6 5得 asinB= acos B 即 sinB= cos B 兀6. /一32 11cosB + 2sinB,可得 tanB= *.（4

9、 分）又因?yàn)锽C (0,句，所以B=：（5 分）3（n/a= 2, c=3,求 b 和 sin（2A B）的值.答案：“，箸解：在MBC 中，由余弦定理及a=2, c=3, B=3 彳導(dǎo) b2= a2+c22accosB= 7, 故 b=".（7 分）由 bsinA= acosB可得 sinA= 367因?yàn)橐虼怂詀<c,所以 cosA = 2=sin2A = 2sinAcosA= 473, cos2A= 2cos2A 1 =7.（11 分）sin（2A B） = sin2AcosB cos2AsinB= 47-3X 1 7x23= 3143.（13 分）2 .利用正、余弦定理

10、判定三角形的形狀(10)(經(jīng)典題，5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,若bcosC+ccosB = asinA,則 ABC的形狀為(B )A .銳角三角形B .直角三角形C.鈍角三角形D.不確定2A、b+ ca, b, c,且 2cos3后,解析：由 bcosC + ccosB= asinA,得 sinBcosC + sinCcosB= sin2A,即 sin(B+C)= sin2A, 即sinA = sin2A.易知sinAw。，所以sinA= 1,即A=2,所以4 ABC為直角三角形.(11)(經(jīng)典題，5分)在 ABC中，已知角A, B,C的對(duì)邊分別為則4AB

11、C的形狀為 直角三角形或鈍角三角形.解析：不等式2cos會(huì) 三變形得cosA+1u+ 1,即 cosA> bW. c由余弦定理得b2 + c2 二 a2 cosA = o. , 2bc代人得b2 + c2 a2 > b 2bcc'整理得b2+a2wc2,當(dāng)b2+a2=c2時(shí)， ABC為直角三角形;當(dāng) b 電=_4_ sin60 ° sinB + a2v c2 時(shí)，cosC = b :< 0, 2ba即角C為鈍角，此時(shí) ABC為鈍角三角形.綜上， ABC的形狀為直角三角形或鈍角三角形.麥太履才（經(jīng)典題，5分）設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b

12、, c,若普=卷，則 ABC tanB b的形狀為 等腰三角形或直角三角形.解析：由正弦定理，得旦=皿， b sinBtan A a2 sin2A所以;=r?= , 2_ , tan B b sin BsinAcosB_ sin2AcosAsinB- sin2B,易知 sinAsinBw 0,所以 sinAcosA = sinBcosB,所以 sin2A=sin2B.又因?yàn)?A, BC(0, t), ,、- 一，、TT所以 2A = 2B 或 2A+2B=兀，即 A=B 或 A+ B = 2,所以 ABC是等腰三角形或直角三角形.3 .三角形的面積問題a.三角形面積的求法(12)(經(jīng)典題，5

13、分)在 ABC 中，A=60°,AC=4,BC = 2>/3,則 ABC 的面積等于 _2/3_.解析：在4ABC 中，A=60°, AC=4, BC=2/3,答案：23或523由正弦定理得BC = ACsinA sinB解得 sinB= 1,B=90°,. AB = 4aC2-BC2 =2,. ABC的面積為2X2X 243=2寸3.（經(jīng)典題，5分）在4ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別是a, b, c,已知a=1,c=2acosC, sinC= 2-,則 ABC 的面積為(C )a£B.3c乎或卓d.3或當(dāng)解析：.1 2bi串c= 2aco

14、sC,由正弦定理可得 2sinB 0sinC= 2sinAcosC, 即 2sin(A+C)/sinC= 2sinAcosC,2sinAcosC+ 2cosAsinC巡sinC= 2sinAcosC, 2cosAsinC=被sinC.易知 sinCw。，cosA=當(dāng)，z. A=30°. sinC=223, . C=60°或 120°.當(dāng) C=60°時(shí)，B=90°,則 c= sjnaA sinC = f3, ABC的面積為2ac= 2x 1 x十=當(dāng)；當(dāng) C=120°時(shí)，B=30°,則 b = a= 1,. ABC 的面積為

15、2absinC=1x 1X1 x*=.故選C.(13)(2018 北京西城一模，14 分)在 ABC 中，已知 V3a sinC=csin2A.(I )求角A的大??；答案：f 6解：因?yàn)?y3a sinC= c sin2A,所以由正弦定理得'TSsinA sinC= sinC 2sinAcosA,易知 sinCw。，sinAw。，3所以 cosA= 2 .(4 分)因?yàn)?0<A<ti,所以A = 6.( 6分)(11)若2= V7, b= 2也，求 ABC的面積.解：在 ABC中，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA, 即 W2=（202 + c22X2小 乎，整理

16、得 c2-6c+5=0,解得c= 1或c= 5,均符合題意.（10分）當(dāng)c= 1時(shí)， ABC的面積為S=2bcsinA=坐；當(dāng) c= 5 時(shí)， ABC 的面積為 S=2bcsinA= 2 .（14 分）（14）（2017全國m , 12分）4ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知sinA+43 cosA = 0, a = 2幣,b = 2.（I）求 c;答案：4解：sinA+43cosA= 0,2sin A + 3 != 0,一一TT-TT_即 A+3= k*e Z）,，A= 3+ k MkCZ）.又 AC （0, %，A = 2（3 分） 3. a=2短，b = 2,

17、cosA = 2, a2= b2+c22bc cosA,.28 = 4+c2+2c,c= 4（負(fù)值舍去）.（5 分）（n）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且 AD LAC,求 ABD的面積.答案：,3解：,. b=2, a=2幣,，由余弦定理得 cosC =c=4, a2+ b2-c22ab2；77 .ACXAD,即AACD為直角三角形, AC=CD cosC,，CD =巾.由勾股定理得 AD = #D2AC2 = 43.（9分） Sabd = %d Ab sin薩魚（12 分）b.三角形的面積與正、余弦定理的綜合應(yīng)用(15)(2018全國I , 5分)4ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b,

18、 c.已知bsinC+csinB= 4asinBsinC, b()若ABC的面積S= 4，求角A的大小.+c2-a2=8,則4 ABC 的面積為 .答案：蜉 3解析：因?yàn)?bsinC+csinB= 4asinBsinC, 所以由正弦定理得sinBsinC+ sinCsinB= 2sinBsinC = 4sinAsin BsinC.又因?yàn)?0<A, B, C<tt, 1所以 sinBsinCw。，所以 sinA = - 2.因?yàn)?b2+c2a2=8,所以由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA,/曰b2+c2a24兀得 bc= oX =R0，所以 0<A<

19、72cosAcosA '2又sinA=1,所以A=工，26所以 S；aABc = 1bcsinA=2tanA="3 23(16)(2016浙江，14分)在ABC中，內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c.已知b+c=2acosB.(I )證明：A=2B;答案：見證明過程證明：由正弦定理得 sinB+sinC= 2sinAcosB,故 2sinAcosB = sinB+ sin(A+ B) = sinB+ sinAcosB+ cosAsinB,于是 sinB = sinAcosB cosAsinB = sin(A B). (4 分)因?yàn)?A, BC (0, t),所

20、以 0V A B< %,所以B=兀一(A8)或8 =人一B,因此A= K舍去)或A = 2B,所以A = 2B.(7分)答案：2最4解： 由 S=a-,得1absinC = a-, 42411故有 sinBsinC = 2sinA= Sin2B= sinBcosB,又 sinBw。，所以 sinC= cos B. (9 分)又 b, ce(o, t),所以 c = 生.當(dāng) B+C= 2H寸,A=兀-(B+C) = ;當(dāng) cB=2fet 兀|a+a2)1=2, . A=-4.,、.TT ,、TT綜上，A= 2或A= 4.(14分)(17)(2018內(nèi)蒙古月考，12分)在ABC中，a, b,

21、 c是角A, B, C所對(duì)的邊，sinB-sinC = sin(A-C).(I )求角A;答案：f 3解：在ABC 中，sinB=sin(A+C), sin(A + C)-sinC= sin(A-C),即 sinAcosC + cosAsinC sinC = sinAcosC cosAsinC,整理得 2cosAsinC= sinC w0, (4 分)n 1n Tt - cosA=-A= 3.(6 分)(11)若2= 2電,且 ABC的面積是3M3,求b+c的值.答案：4*3解：.SaABC = $csinA= 30， . bc= 12.(8 分)由余弦定理得)a= b?+ c 2bccosA

22、= b? + c bc= (b+ c) 3bc,. （b+ c）2 = a2+3bc=48, b+c=43.（12 分）4.三角形中的取值范圍問題（18）（2016 北京，13 分）在4ABC 中，a2 + c2 = b2+ 娘ac.（I ）求/ B的大??；答案：7 4解：由余弦定理及題設(shè)得cosB= a +： b ="電=坐.（4分）2ac 2ac 2 '一，兀又 0V / B v 兀，. . / B = 4.（6 分）（n ）求位cosA+ cosC的最大值.答案：1,3 TT解：由（I）知/A+/C=，>/2cosA+ cosC= V2cosA+ cos 4 A

23、j=小cosA -22cosA+ 乎sin A=乎cosA+ *sinA= cos|A-4i'（10 分）o<z A<y, .當(dāng)。a=4近c(diǎn)osA+ cosC取得最大值1.（13分）btanA,且（19）（2015湖南，12分）設(shè)4ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c, aB為鈍角. 、 I兀（I ）證明：BA=2；答案：見證明過程證明：由a= btan A及正弦定理,sinA a sinAcosA b sinB.易知 sinAw。,所以 sinB = cosA,即 sinB= sin又B為鈍角，所以B = 2+ A,即BA=215分)(n )求sinA+

24、 sinC的取值范圍.答案：停,8解：由(I )知 C=兀(A+B)=兀一 2A + 2 =2- 2A>0,所以 sinA+sinC = sinA+ sin 任一2A =sinA+ cos2A= 2sin2A+ sinA+ 1=-2sinA-1J+|, AC(0, 4)(9 分)因?yàn)?0v sinAv22，所以當(dāng)V - 2(sinA-1) + |w|. 248 8故sinA+ sinC的取值范圍是8 .(12 分)(20)(經(jīng)典題，5分)已知a, b, c分別為八ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，a = 2, 且(2+b)(sinA sinB)=(c b)sinC,則 ABC 面積

25、的最大值為73 .解析：由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c.因?yàn)?a= 2,所以(a+ b)(a b)= (c b)c,即 b2+c2a2=bc,所以cosA=b2+ c2- a22bc又AC (0,%所以A=：.3因?yàn)?b2+ c2- a2= bc>2bc-4,即 bc< 4,所以S»aabc = 3csinAW4X乎=5，當(dāng)且僅當(dāng)b= c= 2時(shí)，等號(hào)成立，即 ABC面積的最大值為.3.(21)(2016山東，12分)在4ABC中，角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知2(tanA+ tanB) =tanAf cosBtanBcosA.(I

26、)證明：a+ b = 2c;答案：見證明過程sinAsinB sinA sinB證明： 由題忌知 2 H 尸H,cosA cosBcosAcosB cosAcosB即 2(sinAcosB + cosAsinB) = sinA+ sinB,即 2sin(A+B)=sinA+sinB.(3 分)又因?yàn)?A+B + C= tt,所以 sin(A+B) = sinC,所以 sinA+sinB= 2sinC,所以由正弦定理得a+ b= 2c.(6分)（n ）求cosC的最小值.,1答案：2解：由（I）知a+ bC= 2，所以cosC =a2+ b2- c22ab1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等3成立.故 cos

27、C的取小值為-.（12分）5.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用a.測(cè)量距離問題（22）（經(jīng)典題，5分）要測(cè)量?對(duì)岸 A, B兩點(diǎn)之間的距離，在本岸選取相距 Fkm的C, D 兩點(diǎn)，并測(cè)得/ ACB=75°, Z BCD = 45 °, /ADC=30°, /ADB=45°,貝 U A, B 之間的距 離為45_km.解析：如圖所示，在 ACD 中，/ ACD = /ACB + / BCD= 120°,則/ CAD = /ADC = 30°, AC=CD=5 km.在 BCD 中，/ BCD = 45°, / BDC = 75

28、76;,則/CBD=60°.由正弦定理得即膽=迫BDCDsin/BCD sin/CBD解得 BD = W km.在 ACD中，由余弦定理，得9,所以 AD = 3 km.AD2=AC2+CD22AC CDcosZ ACD = 3+3-2X3X3X 1 2；=在 ABD中，由余弦定理，得AB2= AD2+ BD2-2AD BDcos/ADB = 9+22X 3X正 X乎=5,所以AB=45 km,即A, B之間的距離為45km.b.測(cè)量高度問題時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂 D在西偏北30。的方向上，行駛 600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西 偏北75°的方向上，仰角為 30°

29、;,則此山的高度 CD = 100V6_m.圖 1911解析：依題意有 AB=600 m, Z CAB = 30°, ZCBA=180O-75O = 105°, Z DBC = 30°, DCXCB, ACB= 180 - 105 - 30 =45°.在 ABC中，由正弦定理ABCBsin/ACB sin/CAB'(23)(2015湖北，5分)如圖1911, 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到600CB_信. QC 戶CB = 300 V2 m.sin45 sin30在 RtA BCD 中，CD = CB tan30 = 100/6 m 即

30、此山的高度 CD= 10076 m.先貳（經(jīng)典題，5分）如圖1912,為測(cè)量山高 MN,選擇A和另一座山的山頂 C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從 A點(diǎn)測(cè)得 M點(diǎn)的仰角/ MAN = 60°, C點(diǎn)的仰角/ CAB = 45°以及/ MAC = 75°從C 點(diǎn)測(cè)得/ MCA =60°,已知山高 BC=100 m,則山高 MN=_150_m.解析：在 RtABC 中，BC=100 m, Z CAB = 45°,所以 AC=10072m. 在 MAC 中，Z AMC=180°-Z MAC-Z MCA = 45°,由正弦定理得-MA-.-act”

31、解得MA=100<3m.sin60 sin 45v在 RtMNA 中，MN = MAsin60 = 150 m,即山高 MN 為 150 m.c.測(cè)量角度問題（24）（經(jīng)典題，8分）在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45。方向,10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),45 + a方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最a的正弦值.相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí) 若紅方偵察艇以每小時(shí) 14 n mile的速度，沿北偏東 短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角答案：2小時(shí)，呼14解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則

32、 AC=14x n mile, BC=10x n mile, / ABC = 120°.根據(jù)余弦定理得（14x）2= 122+（10x）2240xcos120°,所以x= 2（負(fù)值舍去）.故 AC= 28 n mile , BC= 20 n mile.（4 分）根據(jù)正弦定理得"BC"= 個(gè)二”所以sin“= 20吧20 = 吧. sin a sin1202814所以若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角a的正弦值為5 ,3 八14 .（8 分）隨堂普查練191. （2018浙江，6分）在4ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a,

33、 b, c.若2=巾，b =2, A= 60°,則 sinB = _, c=3解析：由正弦定理，得急=焉，即需扁,所以sinB岑由余弦定理得 a2= b2 + c2 - 2bccosA,即 7=4+c22X2c整理得 c2 2c 3=0,解得c= 3（負(fù)值舍去）.2.（2017山東，5分）在ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c.若 ABC為銳角三角形,A .C.且滿足 sinB(1 + 2cosC) = 2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是(A )a = 2bA=2BB. b=2aD. B=2A解析：根據(jù)題意得sin(A+ C) + 2sinBc

34、osC = 2sinAcosC + cosAsinC ,所以 2sinBcosC =sinAcosC.又 cosCw。，所以 2sinB=sinA,所以2b=a.故選A.3.（經(jīng)典題，5分）在 ABC中,內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c, A=：, b2a2=c2,則 tanC = ( A )A . 21C.2B. -21 D- -2.一,，兀解析：在曲中，-a=4,，由余弦定理可得 a2 = b2+c2 2bccos4c, ''' b2 a?= 2bc c2.又 b2a2=；c2, /bcc2=；c2,33. 2c- 2Pb= 2c，'b=T， a

35、2= b2_2c2=8c2,即 a=40c, 5c2 9c22a2 + b2 c2T + 百一c 近c(diǎn)osC2ab.10cx 3, 2c 52*44又."6(0,明sinC = 1 cos2c= 255,tan C =sinC _ cosC2.故選A.4 . (2018 河南周口調(diào)研，5 分)在 ABC 中，2sin2A=J3sinA, sin(BC) = 2cosBsinC,則AC_ 113AB2.解析：2sin2A- = j3sinA = 23sinAAcos2,且 0<A</,. .sinA=板osA,，tanA =5，.Al.A，2 y 22 V 2 33 .由余

36、弦定理得 a2= b2+ c2 - 2bccos237= b2+ c2 + bc.將 sin(B C)= 2cosBsinC 展開得 sinBcosC = 3cosBsinC,將角化邊得ba藍(lán)；c = 3c a +； b 2ab2ac即 2b22c2=a2 聯(lián)立得b2-3c2-bc=0,左右兩邊同除以c2得fcj-c- 3= 0,解得b= 1+嚴(yán)（負(fù)值舍去），所以AC1+V1325 .(經(jīng)典題，5 分)在 4ABC 中，已知 a2+ b2-c2=ab,且 2cosAsinB= sinC,則 ABC 的形狀為等邊三角形解析：（法）由正弦定理得sinC c ._ = sinB b.又 2cosAs

37、inB = sinCw 0,cosA =sinC2sinBc2b.由余弦定理得cosA =b2 +c2g22bcc2bb2+c2a22bcc2=b2+c2- a2,a2= b2, 1- a= b.又 a2+b2c2=ab,，b2=c2, b c, a bc. ABC為等邊三角形.a2+ b2 c2 ab 1(法二)由余弦定理得 cosC =百=2束=2.2ab 2ab 2一一一 兀ce(0,力，c = 3.又由 2cosAsinB= sinC= sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB,得 sinAcosB cosAsinB = 0,一一_ TT即 sin(AB)= 0, A=

38、 B, A= B = C =.故4 ABC是等邊三角形.6.（經(jīng)典題，5 分）如圖 19-16,在四邊形 ABCD 中，/ B=/C=120°, AB= 4, BC =CD = 2,則該四邊形的面積等于 （B ）圖 19-16A.mB. 5電C. 6/D. 7電解析：連接 BD,在4BCD 中，BC=CD=2, / BCD = 120°, ./ CBD = 30°, BD= 2 3,Sabcd = ；* 2X 2Xsin120 = V3,ABD = 120° 30° = 90°.又 AB=4, BD = 23, SAABD = 2AB

39、 BD = X 4 X 23 =9尸,四邊形ABCD的面積是5寸3.故選B.7. (2018河北模擬，5分)在4ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c, btanB + btanA =2ctanB,且 a = 8, ABC 的面積為 443,則 b+c 的值為 _4/5_.解析：由正弦定理及題設(shè)可得sinB snB + sinB snA = 2sinC包巨，即cosAsinB +cosB cosAcosBsinAcosB= 2sinCcosA,1. sin(A+ B)= 2sinCcosA,即 sinC= 2sinCcosA.1又 sinCw。，cosA= 2.又 AC (0,

40、 %A = ¥,31 由 Sabc= 2bcsinA= 43,得 bc= 16.又a2=b2+c22bccosA=(b+c)2bc=64,代入即得 b+c= 4/5.8 . (2015 重慶，5 分)在ABC 中，B = 120°, AB = V2, A 的角平分線 AD = V3,則 AC =一6_.解析：如圖所示，在ABD中，由正弦定理得 空二.A，,即.歸 亍. 要2,sin B sin/ADB sin120 sin/ADB.2 廠。所以 sin/ADB=-,且/ ADB (0 , 60 ),從而/ ADB = 45°,則/ BAD = Z DAC = 15

41、°,所以/ BAC=30°, Z ACB=30°, 所以 BAC是等腰三角形，BC = AB=V2.由正弦定理得AC=+sn3020-=乖.9 .(2018北京，5分ABC的面積為#(a2+c2b2)，且/ 口鈍角，則/ b = _3I的取值范圍是(2二1斛析：由二角形面積公式可得Sa ABc=2acsinB, 1所以acsinB =+ c2-b2),在力曰._ /3 (a2 + c2 b2)小解得 SinB =-.2ac在 ABC中，由余弦定理可得cosB=a +oc -b.2ac兩式聯(lián)立，得tanB=，3,所以/ B=13由三角形內(nèi)角和定理可得/A+Z B+Z

42、 C=兀，則/ A+ / C =蕓所以 sinC sinA)_ 千cosA+2sinA _第'1a sinA sinAsinA 2 tanA+ 2因?yàn)?c為鈍角，/ A+/C=2f,所以0<",所以 tanAC所以學(xué)tah+ 1>2,即加取值范圍是化, +8).10 .(經(jīng)典題，5分)4ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c, asinAsinB +bcos2A=2a,則角A的取值范圍是解析：由已知及正弦定理得 sin2AsinB+ sinBcos2A = 2sinA,即 sinB(sin2A+cos2A) = 2sinA, . sinB

43、= 2sinA,.b= 2a.由余弦定理得cosA =式±號(hào)式=4a2：c2a2 =3a2+c2>2細(xì)=省，當(dāng)且僅當(dāng) 2bc4ac 4ac 4ac 2c=43a時(shí)取等號(hào).,A為三角形的內(nèi)角，且 y=cosx在(0,句上是減函數(shù)，OvAwj,即角A的取值范圍是(0, 6111. （2018陜西模擬，5分）海上兩小島A, B到海洋觀察站 C的距離都是10 km,小島A 在觀察站C的北偏東20°,小島B在觀察站C的南偏東40°,則A與B的距離是(C )A. 10 km B. 10播 km C. 10/3 km D. 20 km解析：如圖，根據(jù)題意畫出圖形，由題意得

44、/ACB=180°-20O-40 = 120O, AC = BC =10 km.WkX 在 ABC 中，利用余弦定理得AB2 = AC2 + BC2 2AC BC cos/ ACB = 100+ 100 2X10X10X 2y= 300,則 AB=10t/3 km.故選 C.12.（經(jīng)典題，5分）如圖1917, 一棟建筑物 AB的高為（3010V3）m,在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔 CD.在它們之間的地面點(diǎn) M（B, M, D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A,塔頂C的 仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30。，則通信塔CD的高為 60 m.flm n圖 19-17解析：如

45、圖，在RtAABM中，AMAB_ 30-103_30-10/3_ 30-1073sin/AMB sin15 ° sin (45 30°) 氓_亞4= 20*(m).易知/ MAN = Z AMB= 15°,所以/ MAC = 30 + 15 =45°.又/ AMC=180 - 15°-60 = 105o,從而/ ACM =30°.在 AMC中，由正弦定理得7M一于利g”解得MC = 40<3 m.sin45 sin30在 RtACMD 中，CD =13. （2018山東期中，5分）如圖1918,在坡度一定的山坡上的 A處測(cè)得山頂

46、上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn) 斜度為45°,若CD = 50 m,山坡對(duì)于地平面的坡角為100 m到達(dá)B處，又測(cè)得 C對(duì)于山坡的0,則cos。等于（C ）圖 1918A.23B. 2-3C. .3-12 D.2解析：由題知 AB = 100 m.在 ABC中，由正弦定理，可知“ AB sin/ BACBC=sin/ACB100sin15sin (45 -15°)= 50(乖乖)(m).在 BCD中，由正弦定理,可知 sin/ BDC =BC sin/ CBD 50 (46亞)sin45CD50°=.31.故 cos 0= si

47、n / ADE = sin / BDC = V3 1.課后提分練19解三角形A組（鞏固提升）1 . （2017全國出，5分）AABC的內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c.已知C=60°, b=66, c= 3,則 A= _75b c斛析： 由=七不，得sinB=sinB sinC-B-C = 75°.bsinCc乎.結(jié)合b<c,可得B=45°,貝U A=180°2. (2018 全國 m , 5 分)4ABC的內(nèi)角AC的對(duì)邊分別為b, c.若 ABC的面積/+ b2-c2為4，則 C=( C )兀A.2兀B.3兀C.4兀D.6解析：由

48、三角形面積公式，可得pbsinC=a2+ b2-c2,即 sinC =a2+b2-c22ab=cosC.因?yàn)?<C< %,所以C = 4.故選C.3. （2018河北模擬，5分）設(shè) ABC的內(nèi)角B, C的對(duì)邊分別是a, bc,LT 八 兀且C=Na+b=12,A . 8則 ABC面積的最大值為（B ）B. 9C. 16D. 21解析:ab<= 36,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)，等號(hào)成立,SA ABC =11 一一 12absinC< 2x 36x 2 = 9.故選 B.C的俯角4.（經(jīng)典題，5分）如圖19-1所示，從氣球 A上測(cè)得正前方的河流的兩岸 分別為75°,

49、30°,此時(shí)氣球的高是 60 m,則河流的寬度 BC等于（C ）圖 19 1A. 240(51)m B. 180陋1)m C. 120(73-1)mD. 30(73+ 1)m解析:. tan 15 =tan(60 45 ) =tan60 tan451 + tan60 tan452-73 .BC=60tan 60 - 60tan 15 = 120(艱1)(m).故選 C.35. (2017 北東,13 分)在 ABC 中,/ A=60 , c=、a.(I )求sin C的值；答案:3,314解：根據(jù)正弦定理-nA=-,彳導(dǎo)sinC=csanA=3xsin6。= 7*乎=噂.（6分）(n

50、)若a= 7,求 ABC的面積.1314'答案：6 .3角軍：c<a, C<A,cosC= 1 sin2C =sin B = sin180 ° (A + C) = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC = 23 x -3 + x 143*1。分）當(dāng)a=7時(shí),c= 3a=3,S“BC=2acsinB=2x 7X3X473= 673.(13 分)6. （經(jīng)典題，8分）設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別是a, b, c,且三個(gè)內(nèi)角 A, B, C依次成等差數(shù)列.（I ）若sin2B = sinAsinC,則4 ABC的形狀為 訐二角形;（

51、n）若 ABC為鈍角三角形，且a>c,則sin22 + <3sinAcosA-；的取值范圍為_幺3, 一一 -兀解析：/A, B, C 依次成等差數(shù)列，2B=A + C=ti B, .B = $.（I ）sin2B=sinAsinC, . b2= ac.又b2 = a? + c? 2accosB= a? + c ac,a? + c ac= ac,即（a c） = 0,a= c.ABC為正三角形.2C ,內(nèi).A A 11 cosC , J317t2 cos 店一13inA+ rosA 一二 44，3sinA=' 4sinA + 4cosA = 2Sin A+兀 2兀a>

52、c, 2<A<_pFA+6<3,1 1，-4<2sinA+幫.（n ） sin 2+J3s1n 2cos2 - 2=22 sin A_ 2故 sin22'+ 43sin200s2r 2-的取值范圍是g 4 j7. （2017全國I , 12分）4ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 ABC的面積為2a3sinA（I ）求 sinBsinC;,2答案：23a2一 1a21c 3 c斛：. ABC 的面積 S= 3§.人,且 S= 2bcsinA, 3snA= bcsinA,a =bcsin A, （3分）由正弦定理得 sin2A=

53、 2sinBsinCsin2A,2又.sinAw。，. . sinBsinC= q.（5 分）3（n）若 6cosBcosC = 1, a=3,求 ABC 的周長.答案：3+ 332解：由（I ）得 sinBsinC = 3,1. A + B + C =兀，cosBcosC = 6 , - cosA = cos（兀一B C） = cos（B + C） = sinBsinC 一 1 八cosBcosC = 2。分）分）又 AC （0,由余弦定理得由正弦定理得司， sinA= -2.a2= b2+c2bc= 9;,aaa2322b=而ASinB，c=snASinC，而2AsinBsinC=源力=8,（10：2由得b+c=癖,.a+b+c= 3+433,即 ABC 的周長為 3+ ©.（12 分）,.、，18. （2018 北東,13 分）在 ABC 中，a=7, b= 8, cosB =-.（I ）求/ A；答案：3解：（法一）在4ABC 中，由 cosB=-7,得 sinB=5 cos2b = i 由正弦定理念=矗彳,導(dǎo)盍=蠡解得小邛.因