中考數(shù)學(xué) 動(dòng)態(tài)問題-點(diǎn)動(dòng)是源泉

1、動(dòng)態(tài)問題-點(diǎn)動(dòng)是源泉?jiǎng)討B(tài)問題一般是指幾何圖形的運(yùn)動(dòng)，包括點(diǎn)動(dòng)（點(diǎn)在線或弧上運(yùn)動(dòng)）、線動(dòng)（線的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）、面動(dòng)（平面幾何圖形的平移、對(duì)稱（翻折）、旋轉(zhuǎn)）。這類問題具有靈活性，多變性，融入三角形，四邊形，圓，甚至函數(shù)圖象，綜合運(yùn)用全等知識(shí)，相似知識(shí)，三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)；同時(shí)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變量，又和函數(shù)聯(lián)系起來，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)解釋動(dòng)態(tài)問題。數(shù)形結(jié)合的升華部分就在此。但萬物皆有源，幾何以點(diǎn)為源泉，無數(shù)個(gè)點(diǎn)可以形成各種圖形，所以圖形的運(yùn)動(dòng)其實(shí)是無數(shù)個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)圖形動(dòng)，圖形動(dòng)引起點(diǎn)的位置發(fā)生變化，相輔相成，變化無窮，但萬變不離其中，解決問題要抓住一些關(guān)鍵點(diǎn)即可，現(xiàn)舉例說明：一、

2、雙點(diǎn)動(dòng)回歸單點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)包括單動(dòng)點(diǎn)型、雙動(dòng)點(diǎn)型，其中雙動(dòng)點(diǎn)型在中考里常見的，兩點(diǎn)速度可以是同速、異速，方向隨圖形形狀而有所要求。例1 （09浙江麗水）已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)填空：菱形ABCD的邊長是 、面積是 、高BE的長是 ；(2)探究下列問題：若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值； 若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)?/p>

3、每秒k個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過程中,任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值，使得APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時(shí)的情形，并求出k的值.解析：此題P點(diǎn)限定在一條線段上，而Q點(diǎn)是在折線上運(yùn)動(dòng)，由此注意分類。（2）中重新限定了Q點(diǎn)在線段上，所以只需求出三角形高（用相似知識(shí)）即可；中Q點(diǎn)的速度是變量，且運(yùn)動(dòng)路線分段，故需分類討論，解決這一問還需知道兩個(gè)三角形能組成菱形，則此三角形必是等腰三角形。解：（1）5 , 24, （2）由題意，得AP=t，AQ=10-2t. 如圖1,過點(diǎn)Q作QGAD，垂足為G，由QGBE得 AQGABE,QG=,(t5). (t5).當(dāng)t=時(shí)，S最大值為6

4、. 要使APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需APQ為等腰三角形即可.當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，AP=.以下分兩種情況討論:第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí), PQBE>PA，只存在點(diǎn)Q1,使Q1A=Q1P.如圖2,過點(diǎn)Q1作Q1MAP，垂足為點(diǎn)M，Q1M交AC于點(diǎn)F,則AM=.由AMFAODCQ1F,得, ,.CQ1=.則, .第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí),存在兩點(diǎn)Q2,Q3,分別使AP= AQ2,PA=PQ3.若AP=AQ2，如圖3,CB+BQ2=10-4=6.則,. 若PA=PQ3，如圖4,過點(diǎn)P作PNAB，垂足為N，由ANP

5、AEB,得. AE= , AN.AQ3=2AN=, BC+BQ3=10-則. 綜上所述，當(dāng)t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.說明：由此題看出雙動(dòng)點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題來解決，逐個(gè)攻破，動(dòng)中找靜，假設(shè)一點(diǎn)符合條件，描出此點(diǎn)就此處解決。二、點(diǎn)動(dòng)引起線動(dòng)線的運(yùn)動(dòng)其實(shí)是直線或線段與幾何圖形的交點(diǎn)不斷發(fā)生變化，在前幾年考查上很單一，近幾年中考命題上有所突破。ACBPQED圖5（09河北）如圖5，在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從

6、點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）（1）當(dāng)t = 2時(shí)，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ；（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值若不能，請(qǐng)說明理由；（4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C 時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值 解析：此題需弄清楚雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線及方向，且射線DE的產(chǎn)生過程。想象出整

7、個(gè)運(yùn)動(dòng)中各個(gè)圖形位置關(guān)系變化的時(shí)段，運(yùn)用相似、勾股定理建立函數(shù)、方程（等式），當(dāng)然分類思想必不可少。解：（1）1，； （2）作QFAC于點(diǎn)F，如圖5， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED圖6，即（3）能 當(dāng)DEQB時(shí)，如圖6 DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形 此時(shí)AQP=90°由APQ ABC，得，ACBPQED圖7AC(E)BPQD圖8GAC(E)BPQD圖9G即 解得 如圖7，當(dāng)PQBC時(shí)，DEBC，四邊形QBED是直角梯形此時(shí)APQ =90°由AQP ABC，得 ，即 解得（4）或【注：點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過

8、點(diǎn)C方法一、連接QC，作QGBC于點(diǎn)G，如圖8，由，得，解得方法二、由，得，進(jìn)而可得，得， 點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖9，】說明：此題一改過去點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式（單向單程），變?yōu)殡p向且往返；另外此題最大亮點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)了射線的運(yùn)動(dòng)（不是線的平移）。探求問題時(shí)，按要求畫圖找到DE位置（動(dòng)中找靜），利用相似三角形判定、性質(zhì)，直角梯形、線段垂直平分線性質(zhì)求解?？疾榱司C合能力。三、點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)面動(dòng) 例1 設(shè)邊長為2的正方形的中心A在直線上，它的一組對(duì)邊垂直于直線，半徑為的O的圓心O在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、O間距離為。圖10（1）如圖10，當(dāng)時(shí)，根據(jù)、之間關(guān)系，將O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：、之間

9、關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)+=+=所以，當(dāng)時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有 個(gè)；（2）如圖11，當(dāng)時(shí)，根據(jù)、之間關(guān)系，將O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：圖11、之間關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)+=+所以，當(dāng)=時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有 個(gè)；圖12（3）如圖12，當(dāng)O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試說明；（4）就的情形，請(qǐng)你仿照“當(dāng)······時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有 個(gè)”的形式，至少給出一個(gè)關(guān)于O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的正確結(jié)論。解析：此題很象學(xué)過的圓和圓位置關(guān)系的探索，（1）（2）問按要求動(dòng)手畫一畫即可出答案，思維活躍同學(xué)，能夠想象出來。（3）問借助幾

10、何知識(shí)，利用等式關(guān)系求解，（4）問的思維含量較高考慮要全面（通過半徑變化產(chǎn)生分類）。解：（1）、之間關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)+0=+1+2=10所以，當(dāng)時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有 0、1、2 個(gè)；（2）、之間關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)+0=+1+24所以，當(dāng)=時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有 0、1、2、4 個(gè)；（3）如圖所示，連接OC.則OE=OC=，OF=EF-OE=。在RtOCF中，由勾股定理得，OF2+FC2=OC2即.整理解得。（4）當(dāng)時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、4、6、7、8個(gè)；當(dāng)時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、5、8個(gè)；當(dāng)時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4、6、8個(gè)；=時(shí)，O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4個(gè)。說明：本題看似圓動(dòng)，其實(shí)是圓心（點(diǎn)）的位置發(fā)生變化，圓位置也隨之變化。此題難點(diǎn)是圓的半徑也變化。討論公共交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，依兩點(diǎn)（O、A點(diǎn)）距離大小畫出靜態(tài)圖的情況進(jìn)行分類。由以上看出，不論雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，還是