幾何輔助線的常見做法

1、第1頁共5頁初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠 時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未 知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一.添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們可倍線段取中 點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)2按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形 助線往往是具 有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不 線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線， 下：(1)平行線是個基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與 二條平行線都相交的等第三條直線(2

2、)等腰三角形是個簡單的基本圖形：當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時 往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與 角的二邊相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角 形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線 與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段 的基本圖形。(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形，相交后證交角為90 ;證線段倍半關(guān)系 系也可類似添輔助線。,我們 把它叫做基本圖 形，添輔 完整時補(bǔ)完整基本圖形，因此“添 添輔助線也有規(guī)律可循。舉例 如第2頁共5頁出現(xiàn)直角三角 形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)

3、線段倍半關(guān)系且倍線段是直角 三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。(5)三角形中位線基本圖形幾何問題中出 現(xiàn)多個中點(diǎn)時往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位 線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補(bǔ)完整三角形;倍線段的平行 線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段 的端點(diǎn)是某線段 的中點(diǎn)，貝U可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形(6)全等三角形:全等三角形有 軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形 與平移形等；如果出現(xiàn)兩條(7)相似三角形:相似三角形有 平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋轉(zhuǎn)型;當(dāng)出現(xiàn)相比

4、線 段重疊在一直線上時(中點(diǎn)可看 成比為1)可添加平行線得平行線型相似三角 形。若平行線過端點(diǎn)添則 可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向,這類題目中往往有多種淺線方法。(8)特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30 , 45, 60 , 135 , 150度特殊角時可添加 特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比 為1 : 1: / 2; 30度角直角三角形三邊比為1: 2:當(dāng)出現(xiàn)線段倍 半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個中點(diǎn)則可過這中點(diǎn)添相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組等線段位于組對頂角兩邊且成一直線

5、時可添加中心對稱形全等三角形加以明，添加方法是將四個端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線第3頁共5頁V3進(jìn)行證明(9)半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半 圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧 ，瓦,水泥，石灰， 木等組成一樣。二.基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三 角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題 中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用

6、全等三角形的知識解決問題。方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目,常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第 一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某 些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂 直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等 問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對角

7、線或平移對角線：(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形第4頁共5頁(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段 平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三 角形。(5)過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適 當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加 成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形內(nèi)平移兩腰(4)延長兩腰(5)過梯形上底的兩端點(diǎn)

8、向下底作高(6)平移對角線(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。(8)過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9)作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一 的。通過輔助線這座橋梁， 將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題 設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握 作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫 助的。(1)見弦作弦心距第5頁共5頁有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還須作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。(2)見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角,利用 ”直徑所對的圓周 角是直角”這一特征來證明問題。(3)見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用 切線與半徑垂直 這一性質(zhì)來證