壓縮映射原理

1、泛函分析題1_1壓縮映射原理200704301泛函分析題 1_1 壓縮映射原理 p91.1.1 證明完備度量空間的閉子集是完備的子空間，而任一度量空間中的完備子空間必是閉子集.證明：(1)設(shè)(X, P)是完備度量空間，A住X, A 是 X 的閉子集.若(xn是 A 中的 Cauchy歹 0,貝 Uxn也是 X中的 Cauchy 歹！J.因(X,弓完備，故(xn收斂丁 X 中某點 x.而 A 是 X 的閉子集，且(xn是 A中的點列，故其極限 x 也在 A 中.因此，(xn是子空間 A 中收斂列.所以，子空間(A, P)是完備的.(2)設(shè)(X,弓是度量空間，BX, B 是 X的完備子空間.若(x

2、n是 B 中的點列，且在 X中收斂丁 xX.則(xn是 X 中的 Cauchy歹 0,因此(xn也是 B 中的 Cauchy 歹！J.由 B 是 X的完備子空間，故(xn也是 B 中的收斂列.若(xn在 8中收斂丁 yB,則(xn作為 X 中的點列也收斂丁 y.由極限的唯一性，xy.故 xB.所以 B 是 X中的閉子集.1.1.2 (Newton 法)設(shè) f 是定義在a, b上的二次連續(xù)可微的實值函數(shù)，z(a, b)使得 f (z) = 0 , f (z)黃0 .求證存在 z的鄰域 U(z),使得 VxU(z),迭代序歹 Uxn+1= xn-f (xn)/f (xn) ( n = 0, 1,2

3、,.)是收斂的，并且 limnTxn= z. 證明：首先，由 f手0,存在 z 的鄰域 VW (a, b),使得 f泛函分析題1_1壓縮映射原理200704302在 cl(V)上總不 為 0.設(shè) m = min | f (x) | cl(V), M = max | f (x) | xcl(V),則 m 0 .由 f (z) = 0，存在 z 的鄰域 U = ( z -8 , z +8) WV,使得VtRl(U), | f (t) | m2/( M + 1).設(shè) T : cl(U)T R, T(x) = x-f (x)/f (x).則 T 在 cl(U)上是連續(xù)可微的.則鼠,yP(U),存在 飪

4、 U,使得 T(x) -T(y) = T(勺(x-y).故 | T(x) -T(y) | = |(5| | xy | = | f(今 f，(頃 f (勺2| | xy| m2M/( M + 1) m2)| x y | = ( M/( M + 1)|x y |.特別地，Vcl(U), | T(x)-T(z) | (M/( M + 1)| x z | | x z|亂而 T(z) = z - f (z)/f (z) =z,故 | T(x) - z | 苴 6,即 T(x)cl(U).所以，T 是 cl(U)上的壓縮映射.VxU，迭代序歹 U xn +1= xn-f (xn)/f (xn) ( n =

5、 0, 1,2,.)就是 cl( U)上的壓縮映射 T所產(chǎn)生迭代序列 xn +1= T(xn) ( n = 0, 1,2,.).由壓縮映射原理，xn是收斂的，并且 limxn= z.1.1.3 設(shè)(X,丹是度量空間，映射 T : XT X滿足p(Tx, Ty) P(x, y) (x = y),并 且已知 T 有不動點，求證此不動點是唯一的.證明：若不然，設(shè) T 有不同的不動點 x,產(chǎn)乂，則 P(x, y) = (Tx, Ty) 電,y), 矛盾.故 T 的不動點是唯一的.1.1.4 設(shè) T 是度量空間上的壓縮映射，求證 T 是連續(xù)的.泛函分析題1_1壓縮映射原理200704303證明：設(shè)(X,

6、 是度量空間，0 a 1 , T :XTX 是滿足RTx, Ty) a -P(x, y) &x, y 亡 X )的壓縮映射.若(Xn是 X 中收斂丁 X的點列，則 P(Xn, X)T 0.而 RTXn, Tx) a - P(Xn, x)，故有 P(TXn, Tx) T 0.因此 T 連續(xù).1.1.5 設(shè) T 是壓縮映射，求證 Tn(nw+)也是壓縮映射，并說明逆命題不一定成 立.證明：(1)設(shè)(X, P)是度量空間,0 a 1 , T :XTX 是滿足RTx, Ty) -P(x, y) (Vx, yX )的壓縮映射.nJ，若 S = Tn是壓縮映射，則 Vx,產(chǎn)乂，有P(Tn+1x,

7、Tn+1y) =P(Tn(Tx), Tn(Ty) =p(S(Tx), S(Ty)p(Tx, Ty) -p(x, y).所以 Tn+1也是壓縮映射.由數(shù)學歸納法原理，Tn(n+)都是壓縮映射.(2)逆命題不成立的例子：考慮 T : 0, 2 t 0, 2,其中 T 定義如下：當 x 氣 0, 1時，T(x) = 0 ;當 x(1,2時，T(x) = x - 1 .顯然 T 不是壓縮映射.泛函分析題1_1壓縮映射原理200704304但 V0, 2 , T(T(x) = 0 .因此，T2是壓縮映射.1.1.6 設(shè) M 是(R 氣丹中的有界閉集，映射 T :MTM 滿足：P(Tx, Ty) P(x,

8、 y)(Vx, yM , x手v).求證 T在 M 中存在唯一的不動點.證明：(反證法)假若 T 在 M 中沒有不動點.顯然，T 在 M上是連續(xù)的，故函數(shù) P(x, Tx)在 M 上連續(xù)且恒大丁 0.因 M 是(&, P)中的有界閉集，故 P(x, Tx)在 M中某點 x。處達到下確界.0 P(x, Tx0) P(Tx0, T2x0) P(x, Tx),矛盾.所以，T 在 M中存在不動點.根據(jù) 1.1.3，該不動點是唯一的.1.1.7 對丁積分方程 x(t) -舄(0, 1ef sx(s) ds = y(t)，其中 y(t 產(chǎn) C0, 1為一給定函數(shù)，九為常數(shù).|丸| 1 ,求證存在唯

9、一解 x(t廣 C0, 1.證明：首先積分方程等價丁 e t x(t) -赤o, 1esx(s) ds = e y(t),令 z(t) = etx(t), w(t) = etw(t),則方程變?yōu)?z(t)-人h 1z(s) ds = w(t).因此只要證明上面的方程有唯一解z(t產(chǎn) C0, 1.設(shè) T : C0, 1 t C0, 1 , (Tz)(t) = w(t) + 舄 b,1z(s) ds.則 Vz1, z2遷 C0, 1,I (Tz1)(t) - (Tz2)(t) | = | % | |(0, 1(z1(s) - z2(s) ds |習九 | 0, 1| z1(s) - z2(s) | ds - | 人 | maxt目0, 1| z(t) - z2