《線性代數(shù)》第一章 n階行列式

1、線線 性性 代代 數(shù)數(shù)信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 第一章第一章 n階行列式階行列式 第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念行列式的概念 本章的基本要求與重難點(diǎn)本章的基本要求與重難點(diǎn) 深刻理解n階行列式的定義。 熟記行列式的性質(zhì)。 熟練掌握行列式的計(jì)算。 重點(diǎn)：行列式的計(jì)算。 難點(diǎn)：n階行列式的計(jì)算。行 列 式 的 概 念行 列 式 的 概 念行列式起源于解方程組行列式起源于解方程組引例引例方程組112223823xxxx 系數(shù)行列式系數(shù)行列式232 ( 2) 1 3712 稱為二階

2、行列式二階行列式。二階行列式（二階行列式（determinant）給定 a、b、c、d 四個(gè)復(fù)數(shù)，稱bcaddcba為二階行列式。.2112221122211211aaaaaaaaD其中元素 aij 的第一個(gè)下標(biāo) i 為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo) j 為列標(biāo)。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。為方便記11a12a22a主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算 對(duì)角線法則對(duì)角線法則例如131 7( 2) 31327 21a說說 明明1. 行列式是一個(gè)數(shù)；行列式是一個(gè)數(shù)；2. 計(jì)算規(guī)則：對(duì)角線法則；計(jì)算規(guī)則：對(duì)角線法則；3. 每一項(xiàng)都是不同行

3、不同列的兩個(gè)數(shù)相乘，前面的每一項(xiàng)都是不同行不同列的兩個(gè)數(shù)相乘，前面的正負(fù)號(hào)不同；共有正負(fù)號(hào)不同；共有4. 一行一列稱為一行一列稱為1階行列式，階行列式， 記為記為5. 二行二列稱為二行二列稱為2階行列式階行列式 三行三列稱為三行三列稱為3階行列式階行列式 n行行n列稱為列稱為n階行列式階行列式aa2!2Whats the 三階行列式三階行列式?稱312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa為三階行列式?？捎孟旅娴膶?duì)角線法則記憶332211aaa .322311aaa 32211

4、3aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa2-43-122-4-21D 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 例例2 2 證明證明322)(11122 babbaababa證明：證明：2222223222232232233()22()22 2222 33aabababbaba ba baa babababba ba baa babbab左邊（）右邊3122133321123223113221

5、13312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6項(xiàng)的行下標(biāo)全為123，而列下標(biāo)分別為在三階行列式，共有 ；每一項(xiàng)都是不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘，前面的正負(fù)號(hào)不同每一項(xiàng)都是不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘，前面的正負(fù)號(hào)不同123，231，312 此三項(xiàng)均為正號(hào)132，213，321 此三項(xiàng)均為負(fù)號(hào) 為了給出n 階行列式的定義，下面給出全排列及其逆序數(shù)的概念及性質(zhì)。3!6 項(xiàng)How to explain the n 階行列式？階行列式？ In order to give the definition of the n 階行階行列式，

6、列式， we will give the following definition! Please give me your attention !全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)定義 由1，2， ，n 組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí) 全排列。（簡稱排列）記為 j1 j2 jn. 例如 32541 是一個(gè)5級(jí)全排列 83251467是一個(gè)8級(jí)全排列3級(jí)全排列的全體共有6種，分別為 123，231，312，132，213，321n級(jí)全排列的種數(shù)為! 321) 1(nnn定義 在在一個(gè)排列 中，若某個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)前面，即， 則稱這兩個(gè)數(shù)組成此排列的一個(gè)逆序。 nstiiiii21tsjj例

7、如 排列 32514 中 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為自然排序（自然排序（標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序）。如：123n 是自然排序是自然排序排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序tsii定義 一個(gè)排列 j1 j2 jn 中所有逆序的總數(shù)稱為此排 列的逆序數(shù)。記為 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的逆序數(shù)為 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.說明說明： ( 1234n)=01.分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出

8、排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)；數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)；2.這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)數(shù).計(jì)算排列逆序數(shù)的方法步驟計(jì)算排列逆序數(shù)的方法步驟4 2 5 3 10 1 024于是排列 42531的逆序數(shù)為 7為奇數(shù)，稱為奇排列5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;3的前面比1大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為2;1的前面比1大的數(shù)有4個(gè),故逆序數(shù)為4;例例1 1 (1)求排列求排列42531的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解在排列在排列42531中中,4 4排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)4,故逆序數(shù)為10 1 0247 于是此排列的逆序

9、數(shù)為4的前面比4大的數(shù)n-2,其逆序數(shù)為n-2;6的前面比6大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為n-3; 2n的前面比2n大的數(shù)有0個(gè),故逆序數(shù)為0;解解: 共n個(gè)數(shù) 共n個(gè)數(shù)2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)n-1,故逆序數(shù)為n-1 213521 246(2 )nn13521n(1)(1)(2)02n nnn2 4 6( 2)n討論奇偶性：定義定義（p2）: 排列的奇偶性排列的奇偶性逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇排列時(shí)為奇排列.34 , 24 kkn定義定義在排列中，將

10、任意兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余數(shù)在排列中，將任意兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余數(shù)不動(dòng)，這種對(duì)排列的變換叫做不動(dòng)，這種對(duì)排列的變換叫做對(duì)換對(duì)換將相鄰兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，叫做將相鄰兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab325143152423 1 32 1定理定理1 1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性列改變奇偶性證明證明設(shè)排列為設(shè)排列為mlbbabaa11對(duì)換對(duì)換 與與abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.b,aabba當(dāng)當(dāng)

11、時(shí)，時(shí)，ba ab的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1 ,經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1.ab因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為設(shè)排列為nmlcbcbabaa111當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ba 現(xiàn)來對(duì)換現(xiàn)來對(duì)換 與與a.b次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換mnmlccbbabaa111次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素

12、對(duì)換，排列改變奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111ababn n階行列式的定義階行列式的定義三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有三階行列式共有 6 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)!3（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積（3 3）在行標(biāo)按順序排列后，下列標(biāo)排列的逆）在行標(biāo)按順序排列后，下列標(biāo)排列的逆序數(shù)決定每項(xiàng)的序數(shù)決定每項(xiàng)的“+ +、-”-”號(hào)，偶號(hào)，偶“+”+”、奇

13、、奇“- -”例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為211312322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為1320 1 1 偶排列奇排列奇排列12正號(hào) (-1)1 1負(fù)號(hào) (-1)1 2 31 2 3123123111213()()212223123123313233( 1)( 1).j j ji i ijjjiiiaaaaaaa aaa a aaaa（4）3階行列式的一般項(xiàng)為：階行列式的一般項(xiàng)為：1 12 233( 1)p qp qp qaaa 為行標(biāo)為行標(biāo) 排列逆序數(shù)排列逆序數(shù) 與列標(biāo)與列標(biāo) 排列逆序數(shù)的和排列逆序數(shù)的和.說明：說明：223p p p123q q q13 21 32a a

14、a 任意改變?cè)氐捻樞颍帕械钠媾夹圆蛔?321 3232 13213121 12312231224a a aa a a ，都是偶排列，奇偶性不變nnnnnnnjjjjjjaaaaaaaaaDaaannnnn21222211121121)(2.) 1(2121記作的代數(shù)和個(gè)元素的乘積取自不同行不同列的階行列式等于所有個(gè)數(shù)組成的由定義定義4 (p3).det(ija簡記作簡記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa二、二、n階行列式階行列式nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111規(guī)定規(guī)定 一階行列式aa npp

15、ppppnnaaaD21)(21211其中其中 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). .nppp21 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n事實(shí)上事實(shí)上 按行列式定義有按行列式定義有nnpppaaaD21211npppnaaaD211211記記對(duì)于對(duì)于D中任意一項(xiàng)中任意一項(xiàng),12121nnpppaaa總有且僅有總有且僅有 中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng)1D ,12121nqqqsnaaa 與之對(duì)應(yīng)并相等與之對(duì)應(yīng)并相等;反之反之, 對(duì)于對(duì)于 中任意一項(xiàng)中任意一項(xiàng)1D,12121npppnaaa也總有且僅有也總有且僅有D中的某一項(xiàng)中的某一項(xiàng) ,12121nnqqqsaaa 與之對(duì)應(yīng)并相等與之對(duì)應(yīng)并相等,

16、 于是于是D與與1D中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,從而從而.1DD 1 12 21n np qp qp qDaaannqqq,ppp2121其中其中 是兩個(gè)是兩個(gè) 級(jí)排列，級(jí)排列， 為行為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和. .注注：n n階行列式的階行列式的一般項(xiàng)一般項(xiàng)為：為：n更一般的我們有:定理定理（p7 定理2）1 12 233( 1)nnp qp qp qp qaaaa說明說明1、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和;n!n2、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘

17、積;nn3、 一階行列式一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;aa 4、 的符號(hào)的符號(hào)為為nnpppaaa2121.1)(21nppp思考題思考題1. 若n階行列式D有一行(列)元素全為零,則D=? 例例試判斷試判斷是否都是六階行列式中的項(xiàng)。是否都是六階行列式中的項(xiàng)。解解 ：故故 是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng) 不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng)142331425665324314512566a a a a a aa a a a a a和-6142331425665( 1)( 1)1a a a a a a （431265）（431265）=0+1+2+2+0+1

18、=6故前面的符號(hào)是正號(hào)324314512566( 1)a a a a a a（341526）+（234156）8（341526）=0+0+2+0+3+0=5（234156）=0+0+0+3+0+0=3（-1）=1故前面的符號(hào)是正號(hào)142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a-幾種行列式幾種行列式上三角行列式上三角行列式特點(diǎn)：主對(duì)角線以下的元素全為零。特點(diǎn)：主對(duì)角線以下的元素全為零。111212221122000nnnnnnaaaaaaa aa證明：證明：上上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211解解展開式中一般項(xiàng)是展開式中

19、一般項(xiàng)是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 例例2?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 2.下三角行列式下三角行列式特點(diǎn)：特點(diǎn)：對(duì)角線以上元素都是對(duì)角線以上元素都是0nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 3.對(duì)角行列式對(duì)角行列式特點(diǎn)：特點(diǎn)：主對(duì)角線以外的元素都是主對(duì)角線以外的元素都

20、是011221122nnnnaaa aaa0004003002001000即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為逆序數(shù)：逆序數(shù)：故故例例3 3計(jì)算行列式計(jì)算行列式( 1)2424D （4321）61 2 3 4=(-1).aaaa41322314（4321）=0+1+2+3=6注：注：112,1212,1111nn nnnnnnaaa aaa4.4.反對(duì)角行列式反對(duì)角行列式(1)( (1)21)0 1(1)2n nn nn 解：行列式中不為零的項(xiàng)為解：行列式中不為零的項(xiàng)為逆序數(shù)：逆序數(shù)：故故( 1)2424D （2314）22 1 3 4=(-1)12233144.a a a a（231

21、4）=0+0+2+0=20200001030000004練習(xí)練習(xí) ：用定義計(jì)算行列式：用定義計(jì)算行列式例例5 5設(shè)設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證明證明.21DD 證證由行列式定義有由行列式定義有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211由于

22、由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故作業(yè)作業(yè)Yao bu yao ?一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 說明：說明： 轉(zhuǎn)置即行列互換轉(zhuǎn)置即行列互換 行列位置相等行列位置相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112

23、 TDnnaaa2211證明證明 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定按定義義 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺紻可表示為可表示為 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 證畢證畢例：例：131 42 3224TD 則 232205012D 121 42 3234D 220301252TDD則 54) 4(0) 4(0) 1(121212021D例如例如54) 4(00) 4() 1(120212121TDTDD 互換行

24、列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為排排列列njippppt,11tppppnji的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)排排列列則有則有即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ,ipjpjpipabab 推論

25、推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 證畢證畢互換第一，第二行，得：121 42 3234D 例 343 2 1 4212 121 2 1 2012D 設(shè) 例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853571853266571853266825567361825567361所以所以196196196196 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列

26、）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面注：當(dāng)注：當(dāng)k= -1時(shí)，時(shí)，26141372052 205012012D 例 111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa ,13523570503253例如例如27701035352357050325

27、32770103535所以所以)27(5135135第二列提取第二列提取-5倍倍性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 1202420121D 例如第1行，第2行成比例性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(21222222111

28、11211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如32530507352D例例 計(jì)算計(jì)

29、算3030507352D讓第讓第1列加到第列加到第3列，得列，得300050( 3) ( 5) 91357359D 讓第讓第2行乘以行乘以5加到第加到第1行，得行，得分析：利用性質(zhì)把分析：利用性質(zhì)把D化為上（下）三角行列式化為上（下）三角行列式二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為化為上三角形行列式上三角形行列式，從而算得行列式的值，從而算得行列式的值jikrr 11121222000nnnnaaaaaa例：例：計(jì)算行列式計(jì)算行列式分析：分析：第二列有一個(gè)第二列有一個(gè)0，先互換第二列第一列，先互換第二列第一列記為記為c(1,2)行行

30、row,簡記簡記r；列；列 column 簡記簡記c3112513420111533D111212223112051342011001533nnnnaaaaaDa 行行row, 簡記簡記r；列；列 column 簡記簡記c解：解：3112513420111533D(1,2)c13121534021151332 1( 1)r13120846021151334 1(5)r13120846021101627(2,3)r1312021108460162734(2)r13120211008100162742( 8)r1312021100810001015543( )4r13120211008100005

31、/251 2 8402 例例22101044614753124025973313211 D3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 222002010

32、0211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa321333323122322211131211綜上可知，化三角形行列式的一般步驟如下綜上可知，化三角形行列式的一般步驟如下00001000200將將a11的下方化為的下方化為0的過程中，若的過程中，若（1）011a，則可通過換行（列）使，則可通過換行（列）使; 011a（2）11a的下方化為的下方化為0時(shí)，其它元素出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，則可通過性質(zhì)時(shí)，其它元素出現(xiàn)

33、分?jǐn)?shù)，則可通過性質(zhì)11a“不漂亮不漂亮”，即，即變化變化a11，以盡量避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，以盡量避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù).a22 、a33 的下方化為的下方化為0的過程依此類推的過程依此類推.0步驟例例3 3計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det

34、(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)設(shè)為為化化為為下下三三角角形形行行列列式式，把把作作運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì)11DkrrDji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)設(shè)為為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作運(yùn)運(yùn)，再再對(duì)對(duì)后后行行作作運(yùn)運(yùn)算算的的前前對(duì)對(duì)DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.

35、21DD 階行列式階行列式計(jì)算計(jì)算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知例例4 4解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa

36、3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式1 11 21 3111112121313111112121313( 1)( 1)( 1)a Ma Ma Ma Aa Aa A 111112121313a Ma Ma M在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA

37、 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .式余子式和一個(gè)代數(shù)余子每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)著一個(gè)引理引理 一個(gè)一

38、個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時(shí)位于第一行第一列時(shí),ijannnnnaaaaaaaD21222211100 1111Ma.1111Aa再證一般情形再證一般情形,nnnnjjjjjjaaa222211111nnnnjjjjjja

39、aa2222111111111) 1(MannnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)第第行行第第行行行行依依次次與與第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 10

40、01 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 ijijjiMa1于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijijAa定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余

41、子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展開法則二、行列式按行（列）展開法則（拉普拉斯展開定理）拉普拉斯展開定理）nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例例1 計(jì)算行列式計(jì)算行列式277010353 D解解1 110( 1)( 3)72D .27 按第按第1行展開，得行展開，得1 200( 1)( 5

42、)72 1 301( 1)377 方法方法2： 按第按第2行展開行展開2 233( 1)( 1)72D .27 例例2 計(jì)算計(jì)算分析：第一行有分析：第一行有2個(gè)零，按第一行展開個(gè)零，按第一行展開2004310050100232D 1 11 201102 1 1 24 3 ( 1)5 ( 1)2323 44(3 ( 2)5 3)88 1 11 41003102 ( 1)0104 ( 1)501232023D 例例3 計(jì)算計(jì)算解：解：1232120510124312D103210052 1( 2)12124512c103710004 1(5)121745122c037037212172175122

43、5122 2+1按第 行展開（-1）27217522511+21+3按第1行展開 -3(-1）（-1）48 例例43351110243152113 D5112111341 3( 2)00115533c51111113143(1)00105530c0551111115)1(33 511(2 1)620550r5526)1(31 30( 10)40. 總結(jié)：計(jì)算行列式最常用的兩種方法總結(jié)：計(jì)算行列式最常用的兩種方法1 .化上（下）三角形法化上（下）三角形法 根據(jù)行列式的性質(zhì)根據(jù)行列式的性質(zhì)2.按某行某列展開按某行某列展開 降階法降階法 先利用行列式的性質(zhì)把原行列式的某行先利用行列式的性質(zhì)把原行列式

44、的某行（列）（列）的元素盡可能多地變?yōu)榱?，使該行（列）不為的元素盡可能多地變?yōu)榱悖乖撔校校┎粸榱愕脑刂挥幸粋€(gè)或兩個(gè)；零的元素只有一個(gè)或兩個(gè)； 然后再按該行（列）展開降階后進(jìn)行計(jì)算。然后再按該行（列）展開降階后進(jìn)行計(jì)算。推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( ,111111

45、11nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)，可簡記為關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)，可簡記為;,0,1jijiDAankkjki當(dāng)當(dāng);,0,1jijiDAankjkik當(dāng)當(dāng)0532004140013202527102135 D例例5 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210

46、.1080124220 53241413252 53204140132021352152 (3 1)r(21( 2)r 例例6 設(shè)設(shè)求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解：解：12312001030100nnDn11121nAAA1112111121111112001111030100nnAAAAAAn 21111111 2()200211()11 3()030311()00niiciinnn21111102000030000niin221112 31!nniinnii 例例7范得蒙行列式范得蒙行列式1232222123111111231111()nnnijj i nn

47、nnnnxxxxVxxxxxxxxxx 213111()()()()ijnj i nxxxxxxxx 其中322()()nxxxx122()()nnnnxxxx1()nnxx 例如例如3123222123111V = xxxxxx2211211V =xxxx213132()()()xxxxxx例例 計(jì)算計(jì)算 解：解：2221D= 11aabbccT222111D=D = abcabc是是3階范得蒙行列式階范得蒙行列式()()()Dba ca cb故 作業(yè)？作業(yè)？記作記作 . .劃去后，留下來的劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 階行列式中，把元素階行列式

48、中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列nij1n ijaijM 1ijijijAM ，叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija記記1, ,0 , ;nikjkijkDija ADij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1, ,0 , ;nkikjijkDija ADij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1, 0, .ijijij ，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)非齊次與齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組,21不全為零若常數(shù)項(xiàng)mbbb則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全為零若

49、常數(shù)項(xiàng)mbbb此時(shí)稱方程組為此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.使得方程組成立的一組數(shù)使得方程組成立的一組數(shù) 稱為稱為此方此方程組的解程組的解. .12,nx xx12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 例如 12341242341234250,360,220,4760.xxxxxxxxxxxxxx是是 非非齊次線性方程組齊次線性方程組是是 齊次線性方程組齊次線性方程組顯然，顯然， 是是齊次線性方程組的齊次線性方程組的一個(gè)解，簡稱一個(gè)解，簡稱 零解零解120nxxx一、引例一、引例 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .

50、,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（，得消去類似地1x，.211211221122211abbaxaaaa）（,211211221122211abbaxaaaa ）（,212221121122211baabxaaaa）（原方程組即原方程組即1112112212212122aaDa aa aaa記記1121122212222baDbab aba111211 221 1

51、212abDa ba bab則上述方程組可寫為則上述方程組可寫為,11DDx .22DDx D稱為原方程組的系數(shù)行列式稱為原方程組的系數(shù)行列式.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為DDx11DDx2222211211222121aaaaabab 22211211221111aaaababa 時(shí)，即0D二、克萊姆法則二、克萊姆法則如果線性方程組如果線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211

52、0 .,332211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組組右端的常數(shù)項(xiàng)右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表為可以表為 1證明證明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得個(gè)個(gè)方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 個(gè)方程依次相加，得個(gè)方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知, ., 2 , 1njDDxjj .,332211DDxDDxDDxDDxnn ,Dxj的系數(shù)等于的系數(shù)等于上式中上式中 ; 0的的系系數(shù)數(shù)均均為為而而其其余余jixi .jD又又等等式式右右端端為為于是于是 2當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),方程組方程組 有唯一的一個(gè)解有唯一的一個(gè)解0 D 2由于方程組由于方程組 與方程組與