數(shù)學(xué)應(yīng)用題的建模策略-最新教育文檔

1、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的建模策略數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題步驟分為三步: 建模、解模和評(píng)價(jià) . 而學(xué)生解應(yīng)用題的主要障礙在于建模, 也就是說 , 如何將一個(gè)用文字語言敘述的應(yīng)用題根據(jù)其實(shí)際意義概括抽象為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題,并根據(jù)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息, 準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)模型成為解應(yīng)用題的“瓶頸” .一、理解關(guān)鍵信息的類型一道應(yīng)用題往往包含著許多信息 , 有的直露、有的隱晦 ; 有的重要、有的簡(jiǎn)單無關(guān)緊要 , 做題時(shí)要善于抓住關(guān)鍵信息 . 一般地 , 關(guān)鍵信息包括三部分 : 模型類型信息、 數(shù)量關(guān)系信息和數(shù)量信息 , 下面結(jié)合實(shí)例來說明各種關(guān)鍵信息 .題目 : 某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8 元/kw•

2、h,年用電量為 a kw•h. 本年度計(jì)劃將電價(jià)降到 0.55 元/kw•h 至 0.75 元/kw•h 之間 , 而用戶期望電價(jià)為 0.4 元/kw•h.經(jīng)測(cè)算 , 下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比 ( 比例系數(shù)為 k). 該地區(qū)電力的成本價(jià)為 0.3 元/kw•h.(1) 寫出本年度電價(jià)下調(diào)后 , 電力部門的收益 y 與實(shí)際電價(jià) x的函數(shù)關(guān)系式 ;(2) 設(shè) k=0.2a, 當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長 20%?(注: 收益 =實(shí)際用電量&

3、#215;實(shí)際電價(jià) - 成本價(jià) ).一般地 ,模型類型信息存在于問題的背景和“要求”中, 從問題的背景和“要求”的角度可以初步看出問題考查的類型( 方程、不等式、最值、函數(shù)等),這樣可以明確建模的思考方向.在例示中,(1)是“寫出本年度電價(jià)下調(diào)后, 電力部門的收益與實(shí)際電價(jià)的函數(shù)關(guān)系式”, 則說明這個(gè)是一個(gè)函數(shù)問題;(2)是“設(shè) k=0.2a, 當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?”, 則是一個(gè)不等式問題.數(shù)量信息是問題中必不可少的部分, 這是比較容易從問題中提取的 , 有已知的、未知的、同類的、不同類的、不變的、變化的. 在例示中 , 數(shù)量信息是 : 上年度電價(jià)

4、0.8 元 /kw•h, 年用電量 , 本年度電價(jià)計(jì)劃降到 0.55 元/kw•h 至 0.75 元/kw•h, 用戶期望電價(jià)0.4 元/kw•h, 電力成本價(jià) 0.3元/kw•h,(2) 中還給出了 k=0.2a.二、掌握建模的一般步驟一般來說 , 應(yīng)用題可以按照下面的步驟來建模, 下面結(jié)合實(shí)例來說明建模的一般過程.題目 : 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100 萬人如果年自然增長率為1.2%, 寫出該城市人口總數(shù)y( 人) 與年份 x( 年) 的函數(shù)關(guān)系式 .( 一) 通讀題意 , 初步“識(shí)模” . 一

5、般來說 , 題中都有一個(gè)較長的文字?jǐn)⑹鲞^程 , 有時(shí)還有一些晦澀難懂的專業(yè)術(shù)語, 這就要省去與數(shù)學(xué)建模無關(guān)的一些名詞術(shù)語的細(xì)節(jié), 快速瀏覽 , 大致確定模型類型信息 , 也就是說 , 把應(yīng)用題的背景和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相對(duì)照, 初步判斷要解決什么問題、涉及什么相關(guān)知識(shí) , 并結(jié)合“要求”確定建模的類型 , 明確方向 . 通讀例示不難發(fā)現(xiàn)這是一道人口增長率問題 , 并結(jié)合所求 , 初步判斷是一個(gè)指數(shù)函數(shù)模型 .( 三) 精讀題意 , 努力“建?！?. 題目的數(shù)量關(guān)系清楚以后 , 還要收集、整理數(shù)量信息 , 進(jìn)一步分析題目中各量的特點(diǎn) , 哪些是已知的 , 哪些是未知的 , 根據(jù)數(shù)量關(guān)系信息 , 建成數(shù)

6、學(xué)模型 . 精讀例示, 找出題中所給的數(shù)據(jù) , 代入上面的數(shù)量關(guān)系 , 建立數(shù)學(xué)模型 .當(dāng)然了 , 選讀和精讀是相互交織在一起的 , 在解題時(shí)不能墨守成規(guī)地操作 , 比如例示也可以這樣建立模型 : 從特殊的 1 年、 2年, 抽象歸納 , 尋找規(guī)律 , 探討 x 年的城市總?cè)丝趩栴}:y=100(1+1.2%).三、總結(jié)應(yīng)用題的基本模型各類數(shù)學(xué)模型就是一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模式 , 由于應(yīng)用題都不是原始的實(shí)際問題 , 命題者對(duì)原始的材料 , 通過精心設(shè)計(jì)、加工、創(chuàng)作 ,就可將應(yīng)用題化歸為某個(gè)數(shù)學(xué)模型. 識(shí)別出了題中的模式, 就可將應(yīng)用題化歸為某個(gè)數(shù)學(xué)模型. 下面把各類典型應(yīng)用題的基本模式總結(jié)如下 :1. 函

7、數(shù)模型經(jīng)常涉及到成本投入、 利潤產(chǎn)出及關(guān)于效益、 價(jià)格、流量、面積、體積等實(shí)際問題 . 這類實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的建立 , 關(guān)鍵是利用數(shù)量關(guān)系 , 列出目標(biāo)函數(shù)式 , 注意問題中隱含量與量之間的關(guān)系 .2. 數(shù)列模型經(jīng)常涉及到增長率 ( 或降低率 ) 、利息、分期付款、產(chǎn)量、降價(jià)、繁殖、溶液的稀釋、污水處理、土地沙化等實(shí)際問題. 這類實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的建立 , 關(guān)鍵是通過觀察、 分析、歸納出問題成等差還是等比數(shù)列 , 然后再利用數(shù)列知識(shí)加以解決 .有時(shí)也運(yùn)用簡(jiǎn)單的遞推方法知識(shí)建模.3. 不等式 ( 組) 模型經(jīng)常涉及到統(tǒng)籌安排、 最佳決策、最優(yōu)化、水土流失、安全責(zé)任等一些有關(guān)不等量或最值的實(shí)際

8、問題 . 這類實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的建立 , 關(guān)鍵是找出各變量的關(guān)系 .4. 立體與平面解析幾何模型 . 立體幾何型經(jīng)常涉及到空間觀測(cè)、面積、體積等實(shí)際問題 . 這類問題主要是用立體幾何、三角函數(shù)方面的有關(guān)知識(shí)來建模 ; 解析幾何型經(jīng)常涉及到人造地球衛(wèi)星、光的折射、反光燈、橋梁等實(shí)際問題 , 這類問題通常是通過建立直角坐標(biāo)系 , 運(yùn)用解析幾何方面的有關(guān)知識(shí)來建模 .5. 三角模型經(jīng)常涉及到有關(guān)幾何、物理、測(cè)量、航海、天文等方面的實(shí)際問題 . 這類實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的建立 , 關(guān)鍵是運(yùn)用三角的知識(shí)和方法建模 .6. 概率模型主要涉及比賽的輸贏、 產(chǎn)品的正次等 . 建模的策略是 : 分清事件的性質(zhì) , 是互斥、獨(dú)立、還是等可能性事件 , 從而選擇正確的公式建模 .7. 統(tǒng)計(jì)模型是以圖表作為數(shù)字信息的主要載體的應(yīng)用題 . 解此類題型的關(guān)鍵是 : 理解圖形內(nèi)容 , 找出變化趨