第07章05常系數(shù)線性微分方程

1、第1章 集 合第5節(jié) 常系數(shù)線性微分方程 在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，一般線性微分方程的通解問題我們沒有完全解決。那是因為一般線性微分方程對于我們來說太復(fù)雜了。但是，如果線性微分方程的系數(shù)都是常數(shù)就簡單了。由此，為了完全解決問題，我們只講常系數(shù)線性微分方程 我們從二階常系數(shù)齊次線性微分方程開始。 設(shè)（待定）是（5.22）的解。代入（5.22）結(jié)論：是（5.22）的解的充要條件是是方程的根。稱為（5.22）的特征方程。（1） 設(shè)有兩個不相同的實根：。此時（5.22）有兩個解且。所以（5.22）的通解（2）設(shè)有二重實根：。此時（5.22）有解。用常數(shù)變異法，設(shè)是（5.22）的解。代入（5.22）。?。ㄎ?/p>

2、們只需要一個簡單的。為什么不??？），則有（5.22）另一個解。所以（5.22）的通解（3）設(shè)有復(fù)數(shù)根：。，。記。，。是（5.22）的解。完全類似可以驗證也是（5.22）的解。所以（5.22）的通解 上面我們已經(jīng)窮舉了全部三種可能?，F(xiàn)把我們得到的結(jié)果列于下表。特征方程的根的通解兩個不相同的實根：二重實根：復(fù)數(shù)根：解的方法：（i）寫出特征方程；（ii）解特征方程得到所有的根；（iii）根據(jù)特征方程根的情況和上表（熟練默寫）給出通解。P3174 例5.1解、（1）方程的特征方程有兩個不同的實根。的通解（2）方程的特征方程有兩個不同的實根。的通解（3）方程的特征方程有二重實根。的通解（4）方程的特征方

3、程有復(fù)根。的通解【例5.2】求方程滿足的特解解、方程的特征方程有二重實根。的通解 由得。所要求的特解我們把前表所列結(jié)果推廣到階常系數(shù)齊次線性方程（5.2）與下表。特征方程的根（5.2）的解單根實根：復(fù)根：重根實根：復(fù)根：（5.2）的特征方程的全部根，上表正好給出個線性無關(guān)的解。配上個任意常數(shù)再加起來就得到（5.2）的通解。【例5.3】(1)求方程的通解(2)求方程的通解(3)求方程的通解解、（1）方程的特征方程有三重實根。有三個線性無關(guān)的解。的通解（2）方程的特征方程有兩個二重復(fù)根。有四個線性無關(guān)的解。的通解（3）方程的特征方程有二重實根和單復(fù)根。有四個線性無關(guān)的解。的通解5.2 二階常系數(shù)非

4、齊次線性方程（考點） 二階常系數(shù)非齊次線性方程的一般形式是前面我們已經(jīng)懂得了求相應(yīng)齊次方程的通解。如果我們能夠求出（5.12）的隨便一個特解，把上述通解和此特解加起來就是（5.12）的通解。因此，現(xiàn)在關(guān)鍵是求出（5.12）的隨便一個特解。對于一般的來說，（5.12）太復(fù)雜了，我們無法求一個特解。我們只講兩種簡單的。1（考點）。其中是可實可復(fù)的常數(shù)，而是已知的可實可復(fù)的多項式。因為多項式乘的各階導(dǎo)數(shù)結(jié)果都是多項式乘，所以我們假設(shè)要找的特解是，其中是某個多項式。 （i）設(shè)不是特征方程的根。（5.3多）左邊多項式的次數(shù)與的次數(shù)相等。而右邊是次多項式。因而肯定是某次多項式其中待定。 （ii）設(shè)是特征方

5、程的單根。（5.3多）左邊多項式的次數(shù)與的次數(shù)相等。而右邊是次多項式。因而肯定是某次多項式注意到在（5.3多）中不出現(xiàn)，因而可任意。為了簡單（我們只需要隨便一個特解，當(dāng)然越簡單越好）取。其中待定。 （iii）設(shè)是特征方程的二重根。（5.3多）左邊多項式的次數(shù)與的次數(shù)相等。而右邊是次多項式。因而肯定是某次多項式注意到在（5.3多）中不出現(xiàn)，因而可任意。為了簡單（我們只需要隨便一個特解，當(dāng)然越簡單越好）取。其中待定。 上面我們已經(jīng)窮舉了全部三種可能?，F(xiàn)把我們得到的結(jié)果總結(jié)于下。 當(dāng)是特征方程的重根時，其中待定。（0重根即不是根）。特解是。這稱為特解的形式（有時只考解的形式）。 待定系數(shù)的求法： （

6、i）設(shè)，把代入得（5.3多）；（ii）比較（5.3多）兩邊同次冪的系數(shù)得一個關(guān)于的方程組，解此方程組就得到。有了，也就有了特解。求通解的方法： （i）求出的通解；（ii）求出的特解；（iii）的通解是?！纠?.4】求方程的特解解、在方程中，。不是特征方程的根。設(shè)。代入有，即。比較得解得。特解。有兩不等實根。的通解【例5.5】求方程的通解解、在方程中，。是特征方程的二重根。設(shè)。代入有。解得。的通解【例5.6】設(shè)微分方程的積分曲線與另一曲線在處有相同切線，求此積分曲線方程解、對于參數(shù)方程，時。初值問題。的根是。設(shè)。代入有。的通解代入初值條件得。解得。所要求的積分曲線是2(i) 辨認(rèn)類型：。記。模仿

7、前面推理知道，方程有如下形式的特解其中是待定的次多項式。(ii)求通解的方法：(a) 解特征方程得根；(b) 把解的形式代入方程（待定系數(shù)法）求得待定多項式，從而得到特解； (c)根據(jù)得到的通解； (d) 的通解是。【例5.7】求方程的一個特解解、。解特征方程得。設(shè)。代入代入方程且合并同類項得比較兩邊得。特解。（相應(yīng)齊次方程的通解。的通解）【例5.8】求解方程，其中為實常數(shù).解、。解特征方程得。相應(yīng)齊次方程的通解為（1）設(shè)。不是特征方程的根?？稍O(shè)的特解為。代入方程得解得。特解。的通解為（2）設(shè)。是特征方程的單根?？稍O(shè)的特解為。代入方程得解得。特解。的通解為【例5.9】求方程的通解解、解特征方程

8、得。相應(yīng)齊次方程的通解為根據(jù)疊加原理，方程分為兩個方程和。 。且不是特征方程的根。可設(shè)特解特解為。代入得解得。特解。且不是特征方程的根。可設(shè)特解特解為。代入得解得。特解。的特解。通解5.3 歐拉方程（i）辨認(rèn)類型：（ii）解法：先作變換。代入歐拉方程，使歐拉方程變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性方程（自變量為t）。解此常系數(shù)方程得。則，原歐拉方程的解為?！纠?.11】求微分方程的通解解、這是一個歐拉方程。作變換。代入方程得解此常系數(shù)方程的通解的通解為即習(xí)題講解1求下列微分方程的通解：(5) 解、的特征方程的全部根是：。線性無關(guān)的特解：。所以的通解是2寫出下列各微分方程的特解（實）形式：(7) 解、記，變?yōu)椤＿@是一

9、個一階線性方程。3求下列方程的通解：(5) ； 解、的特征方程的全部根是二重根：。相應(yīng)齊次方程的通解是分為兩個方程和。求的特解。不是特征方程的根。設(shè)特解。求的特解。不是特征方程的根。設(shè)特解。的特解。的通解5設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是的反函數(shù)(1) 試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程；解、根據(jù)P107 4，。代入并化簡得要滿足的方程習(xí)題75A類1求下列微分方程的通解：*(1) ；*(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；*(6) 2寫出下列各微分方程的特解（實）形式：*(1) ；(2) ；*(3) ；(4) ；*(5) ；(6) ；*(7) ；(8) 3求下列方程的通解：*(1) ；(2

10、) ；*(3) ；(4) ；(5) ；(6) 4求解下列初值問題：(1) ，；*(2) ，；(3) ，；(4) ，5求下列歐拉方程的通解：(1) ；*(2) 6設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足，求B類1求下列微分方程的通解：*(1) （為常數(shù)）；*(2) ；(3) ；(4) *2已知，是二階線性非齊次方程的三個解，求此微分方程*3求一個以，為其兩個特解的四階常系數(shù)齊次線性微分方程，并求其通解4設(shè)對于，曲線上點處的切線在軸上的截距等于，求的一般表達(dá)式*5設(shè)圓柱形浮筒直徑為，鉛直放入水中，當(dāng)稍向一下壓后突然放手，浮筒在水中上下振動的周期為，求浮筒的質(zhì)量總 習(xí) 題 七1選擇題：(1) 函數(shù)滿足的一個微分方程是A.

11、B.C.D.(2) 設(shè)非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是A. B. C. D.(3) 微分方程的特解形式可設(shè)為A.B.C.D.*(4) 已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為A. B.C. D. 2填空題：(1) 微分方程的通解是(2) 微分方程滿足的解為*(3) 微分方程滿足初始條件的特解為*(4) 歐拉方程的通解為*(5) 微分方程滿足的特解為3在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）(1) 求的方程；(2) 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值*4用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解*5設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是的反函

12、數(shù)(1) 試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解6某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為）問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？（kg表示千克，km/h表示千米/小時）*7設(shè)位于第一象限的曲線過點，其上任一點處的法線與軸的交點為，且線段被軸平分(1) 求曲線的方程；(2) 已知曲線在上的弧長為，試用表示曲線的弧長*8 證明：曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線*9. 細(xì)菌繁殖的控制細(xì)菌是通過分裂而繁殖的，細(xì)菌繁殖的速率與當(dāng)時細(xì)菌的數(shù)量成正比（比例系數(shù)為），在細(xì)菌培養(yǎng)基中加入毒素可將細(xì)菌殺死，毒素殺死細(xì)菌的速率與當(dāng)時的細(xì)菌數(shù)量和毒素的濃度之積成正比（比例系數(shù)為），人們通過控制毒素濃度的方法來控制細(xì)菌的數(shù)量現(xiàn)在假設(shè)在時刻毒素的濃度為，它以常