第1章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述n

1、第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 非線性光學(xué)及其應(yīng)用非線性光學(xué)及其應(yīng)用第一章第一章 非線性極化率的經(jīng)典描述非線性極化率的經(jīng)典描述第二章第二章 非線性極化率的量子力學(xué)描述非線性極化率的量子力學(xué)描述第三章第三章 光波在非線性介質(zhì)中傳播的基本方程光波在非線性介質(zhì)中傳播的基本方程第四章第四章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng)第五章第五章 三階非線性光學(xué)效應(yīng)三階非線性光學(xué)效應(yīng)第七章第七章 光學(xué)相位共軛技術(shù)光學(xué)相位共軛技術(shù)第九章第九章 超快光脈沖非線性光學(xué)超快光脈沖非線性光學(xué)第八章第八章 光折變非線性光學(xué)光折變非線性光學(xué)第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極

2、化率的經(jīng)典描述 參考書：參考書：1 1、非線性光學(xué)非線性光學(xué) 石順祥石順祥 等著等著2 2、量子電子學(xué)量子電子學(xué) A. A. 亞里夫亞里夫 著著 劉頌豪劉頌豪 等譯等譯3 3、非線性光學(xué)非線性光學(xué) 沈元壤沈元壤 著著 非線性光學(xué)現(xiàn)象的理論描述涉及到激光輻射場(chǎng)與物非線性光學(xué)現(xiàn)象的理論描述涉及到激光輻射場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的問題，通常采用半經(jīng)典理論處理。質(zhì)相互作用的問題，通常采用半經(jīng)典理論處理。光與物質(zhì)相互作用的半經(jīng)典理論：光與物質(zhì)相互作用的半經(jīng)典理論：第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.1 極化率的色

3、散特性極化率的色散特性 1.2 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.3 極化率的一般性質(zhì)極化率的一般性質(zhì) 習(xí)題習(xí)題 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.1 極化率的色散特性極化率的色散特性 1.1.1 介質(zhì)中的麥克斯韋方程介質(zhì)中的麥克斯韋方程 由光的電磁理論已知由光的電磁理論已知, 光波是光頻電磁波光波是光頻電磁波, 它在介它在介質(zhì)中的傳播規(guī)律遵從麥克斯韋方程組質(zhì)中的傳播規(guī)律遵從麥克斯韋方程組: 0HDJtDHtBE (1.1 - 1) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 及物質(zhì)方程及物質(zhì)方程: EJMHBP

4、ED000(1.1 - 2) 上面兩式中的上面兩式中的J和和分別為介質(zhì)中的自由電流密度和自分別為介質(zhì)中的自由電流密度和自由電荷密度由電荷密度, M為磁化強(qiáng)度為磁化強(qiáng)度, 0為真空介電常數(shù)為真空介電常數(shù), 0為真空磁為真空磁導(dǎo)率導(dǎo)率, 為介質(zhì)的電導(dǎo)率為介質(zhì)的電導(dǎo)率, P是介質(zhì)的極化強(qiáng)度。是介質(zhì)的極化強(qiáng)度。 由于我們研由于我們研究的光與物質(zhì)相互作用主要是電作用究的光與物質(zhì)相互作用主要是電作用, 可以假定介質(zhì)是非磁可以假定介質(zhì)是非磁性的性的, 而且無自由電荷而且無自由電荷, 即即M=0, J=0， =0。 所以所以, 上述方上述方程可簡(jiǎn)化為程可簡(jiǎn)化為第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極

5、化率的經(jīng)典描述 00BDtDHtBEHBEPED00 (1.1 - 3) (1.1 - 4)第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 光在介質(zhì)中傳播時(shí)光在介質(zhì)中傳播時(shí), 由于光電場(chǎng)的作用由于光電場(chǎng)的作用, 將產(chǎn)生極化強(qiáng)將產(chǎn)生極化強(qiáng)度。度。 若考慮到非線性相互作用若考慮到非線性相互作用,則極化強(qiáng)度應(yīng)包含線性項(xiàng)和則極化強(qiáng)度應(yīng)包含線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)非線性項(xiàng), 即即 P=PL+PNL (1.1 - 5) 當(dāng)光電場(chǎng)強(qiáng)度很低時(shí)當(dāng)光電場(chǎng)強(qiáng)度很低時(shí), 可以忽略非線性項(xiàng)可以忽略非線性項(xiàng)PNL, 僅保留線僅保留線性項(xiàng)性項(xiàng)PL, 這就是通常的線性光學(xué)問題。這就是通常的線性光學(xué)問題。 當(dāng)光電場(chǎng)強(qiáng)

6、度較高當(dāng)光電場(chǎng)強(qiáng)度較高時(shí)時(shí), 必須考慮非線性項(xiàng)必須考慮非線性項(xiàng)PNL, 并可以將非線并可以將非線性極化強(qiáng)度寫成級(jí)性極化強(qiáng)度寫成級(jí)數(shù)形式數(shù)形式: PNL=P(2)+P(3)+P(r)+ (1.1 - 6)第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 非線性光學(xué)效應(yīng)的唯象描述中，把極化強(qiáng)度非線性光學(xué)效應(yīng)的唯象描述中，把極化強(qiáng)度P展開為外場(chǎng)的冪級(jí)數(shù)的形式展開為外場(chǎng)的冪級(jí)數(shù)的形式EEEEEEP)3()2()1(即：即：式中式中)(r為非線性光學(xué)介質(zhì)的為非線性光學(xué)介質(zhì)的r r階非線性光學(xué)極化率張量，是描述非線性階非線性光學(xué)極化率張量，是描述非線性光學(xué)介質(zhì)對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)特性。光學(xué)介質(zhì)對(duì)外

7、場(chǎng)的響應(yīng)特性。非線性光學(xué)問題可以歸結(jié)為兩個(gè)問題：非線性光學(xué)問題可以歸結(jié)為兩個(gè)問題：NLPNLP求出非線性光學(xué)介質(zhì)感應(yīng)的非線性極化強(qiáng)度求出非線性光學(xué)介質(zhì)感應(yīng)的非線性極化強(qiáng)度，求得，求得后，將其后，將其作為次波源。作為次波源。在一定的邊界條件下求解麥克斯韋方程，從而求得非線性輻射場(chǎng)。在一定的邊界條件下求解麥克斯韋方程，從而求得非線性輻射場(chǎng)。第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 在本講義中在本講義中, 除了特別指明外除了特別指明外, 光電場(chǎng)和極化強(qiáng)度光電場(chǎng)和極化強(qiáng)度均采用通常的復(fù)數(shù)表示法。均采用通常的復(fù)數(shù)表示法。 對(duì)于實(shí)光電場(chǎng)對(duì)于實(shí)光電場(chǎng)E(r,t), 其表其表示式為示式

8、為 E(r,t)=E0(r) cos(t+) (1.1 - 7) 或或 E(r,t)=E()e-it+E*()eit (1.1 - 8)式中的式中的E()為頻域復(fù)振幅為頻域復(fù)振幅, 且有且有)(0)(21)(rierEE (1.1 - 9) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 E0(r)是光電場(chǎng)中的實(shí)振幅大小。是光電場(chǎng)中的實(shí)振幅大小。 對(duì)于極化強(qiáng)度對(duì)于極化強(qiáng)度, 其其表示式為表示式為 P(r,t)=P()e-it+P*()eit (1.1 - 10) 式中的式中的P()為頻域復(fù)振幅。為頻域復(fù)振幅。 考慮到電場(chǎng)強(qiáng)度考慮到電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,t)和極化強(qiáng)度和極化強(qiáng)度P(r

9、,t)的真實(shí)性的真實(shí)性, 應(yīng)應(yīng)有有 E*()=E(-) (1.1 - 11) P*()=P(-) (1.1 - 12)第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.1.2 極化率的色散特性極化率的色散特性 1. 介質(zhì)極化的響應(yīng)函數(shù)介質(zhì)極化的響應(yīng)函數(shù) 1) 線性響應(yīng)函數(shù)線性響應(yīng)函數(shù) 當(dāng)光在介質(zhì)中傳播時(shí)當(dāng)光在介質(zhì)中傳播時(shí), 時(shí)刻介質(zhì)所感應(yīng)的線性極化強(qiáng)時(shí)刻介質(zhì)所感應(yīng)的線性極化強(qiáng)度度P(t)不僅與不僅與時(shí)刻的光電場(chǎng)時(shí)刻的光電場(chǎng)E(t)有關(guān)有關(guān), 還與還與時(shí)刻前所時(shí)刻前所有的有的光電場(chǎng)有關(guān)光電場(chǎng)有關(guān), 也就是說也就是說, 時(shí)刻的感應(yīng)極化強(qiáng)度與產(chǎn)生極化的時(shí)刻的感應(yīng)極化強(qiáng)度與產(chǎn)生極化

10、的光電場(chǎng)的歷史有關(guān)。光電場(chǎng)的歷史有關(guān)。 現(xiàn)假定在時(shí)刻現(xiàn)假定在時(shí)刻以前任一時(shí)刻以前任一時(shí)刻的光電場(chǎng)為的光電場(chǎng)為E(), 它對(duì)在它對(duì)在時(shí)間間隔時(shí)間間隔(-)以后的極化強(qiáng)度的貢獻(xiàn)為以后的極化強(qiáng)度的貢獻(xiàn)為dP(t), 且有且有 dP(t)=0 R(t-)E()d (1.1 - 13)第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 式中，式中， R(t-)為介質(zhì)的線性響應(yīng)函數(shù)為介質(zhì)的線性響應(yīng)函數(shù), 它是一個(gè)二階張量它是一個(gè)二階張量, 則則時(shí)刻的感應(yīng)極化強(qiáng)度為時(shí)刻的感應(yīng)極化強(qiáng)度為d)()()(0EtRtPt (1.1 - 14) 對(duì)上式進(jìn)行變量代換對(duì)上式進(jìn)行變量代換, 將將(t-)用用代

11、替代替, 則有則有00)()()(dtERtP考慮到積分變量的任意性考慮到積分變量的任意性, 用用替換替換, 上式變?yōu)樯鲜阶優(yōu)?00( )( )()P tRE td(1.1 - 15) 即在介質(zhì)中，即在介質(zhì)中，t 時(shí)刻所感應(yīng)的極化強(qiáng)度由時(shí)刻所感應(yīng)的極化強(qiáng)度由t時(shí)刻前所有時(shí)刻前所有(t- )時(shí)刻時(shí)刻 (0) 的光電場(chǎng)決定。的光電場(chǎng)決定。第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 2. 介質(zhì)極化率的頻率色散介質(zhì)極化率的頻率色散 1) 線性極化率張量線性極化率張量 對(duì)于對(duì)于(1.1 - 15)式所表示的線性極化強(qiáng)度關(guān)系式所表示的線性極化強(qiáng)度關(guān)系, 取取E(t)和和P (1)(t

12、)的傅里葉變換的傅里葉變換: dePtPdeEtEtiti)()()()()1()1( (1.1 - 20) (1.1 - 21) 則有則有 ddeERdePtPtiti)()1(0)1()1()()()()(1.1 - 22) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 利用頻率域內(nèi)線性極化強(qiáng)度復(fù)振幅利用頻率域內(nèi)線性極化強(qiáng)度復(fù)振幅P(1)()與光電場(chǎng)與光電場(chǎng)復(fù)振幅復(fù)振幅E ()的定義關(guān)系式的定義關(guān)系式deEtPEPti)()()()()()()1(0)1()1(0)1(有有 (1.1 - 23) (1.1 - 24) 比較比較(1.1 - 22)式和式和(1.1 - 2

13、4)式式, 可得可得(1)(1)( )( )iRed(1.1 - 25) (1.1 - 24)式和式和(1.1 - 25)式就是線性極化強(qiáng)度式就是線性極化強(qiáng)度 P(1)(t) 和線性和線性極化率張量極化率張量 (1)() 的表示式。的表示式。 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 2) 非線性極化率張量非線性極化率張量 對(duì)于非線性極化強(qiáng)度對(duì)于非線性極化強(qiáng)度, 進(jìn)行類似上面的處理進(jìn)行類似上面的處理, 可以得到可以得到非線性極化率張量關(guān)系式。非線性極化率張量關(guān)系式。 將將(1.1 - 18)式中的光電場(chǎng)式中的光電場(chǎng)E(t-)進(jìn)行傅里葉變換進(jìn)行傅里葉變換, 可得可得)()

14、(212121)2(210)2(221121)()(: ),()(itieeEEddRddtP(1.1 - 34) 若將二階非線性極化強(qiáng)度表示成如下形式若將二階非線性極化強(qiáng)度表示成如下形式: tieEEddtP)(2121)2(210)2(21)()(: ),()(1.1 - 35) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 并與并與(1.1 - 34)式進(jìn)行比較式進(jìn)行比較, 可以得到二階極化率張量可以得到二階極化率張量表示式為表示式為)(21)2(2121)2(2211),(),(ieRdd(1.1 - 36) 同理同理, 若將若將r階非線性極化強(qiáng)度表示為階非線性極化

15、強(qiáng)度表示為 rmmtirrrrreEEEdddtP1)()()(| ),()(2121)(210)(1.1 - 37) 式中式中, (r)(1,2,r)與與E(1)之間的豎線表示之間的豎線表示 r個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn), 則第則第r階極化率張量表示式為階極化率張量表示式為 )(21)(2121)(2211),(),(rrirrrrreRddd(1.1 - 38) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 如果組成光波的各個(gè)頻率分量是不連續(xù)的，則極化強(qiáng)如果組成光波的各個(gè)頻率分量是不連續(xù)的，則極化強(qiáng)度表示式中的積分由求和代替，表示為度表示式中的積分由求和代替，表示為(1)(1)0( )(

16、)()nitnnnPtEe (1.1 - 39) ()(2)(2)0,( )(,):() ()mnitmnmnm nPtEEe (1.1 - 40) ()(3)(3)0, ,( )(,)() () ()mnlitmnlmnlm n lPtEEEe (1.1 - 41) 其中，其中，m、n、l、包括所有的正值和負(fù)值。包括所有的正值和負(fù)值。第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 3. 介質(zhì)極化率的空間色散介質(zhì)極化率的空間色散 上面討論了介質(zhì)極化率的頻率色散特性上面討論了介質(zhì)極化率的頻率色散特性, 并指出并指出, 這種頻這種頻率色散特性起因于極化強(qiáng)度與光場(chǎng)的時(shí)間變化率有關(guān)率

17、色散特性起因于極化強(qiáng)度與光場(chǎng)的時(shí)間變化率有關(guān), 是時(shí)是時(shí)間域內(nèi)因果性原理的直接結(jié)果。間域內(nèi)因果性原理的直接結(jié)果。 此外此外, 由于介質(zhì)內(nèi)給定空間由于介質(zhì)內(nèi)給定空間點(diǎn)的極化強(qiáng)度不僅與該點(diǎn)的光電場(chǎng)有關(guān)點(diǎn)的極化強(qiáng)度不僅與該點(diǎn)的光電場(chǎng)有關(guān), 而且與鄰近空間點(diǎn)而且與鄰近空間點(diǎn)的光電場(chǎng)有關(guān)的光電場(chǎng)有關(guān), 即與光電場(chǎng)的空間變化率有關(guān)即與光電場(chǎng)的空間變化率有關(guān), 這就導(dǎo)致了極這就導(dǎo)致了極化率張量化率張量 與光波波矢與光波波矢 k 有關(guān)有關(guān), 這種這種 與波矢與波矢 k 的依賴關(guān)系的依賴關(guān)系, 叫做介質(zhì)極化率的空間色散叫做介質(zhì)極化率的空間色散, 其空間色散關(guān)系可以通過空間其空間色散關(guān)系可以通過空間域的傅里葉變換

18、得到。域的傅里葉變換得到。 因?yàn)樵诠鈱W(xué)波段，光波波長(zhǎng)比原子內(nèi)電子軌道半徑大因?yàn)樵诠鈱W(xué)波段，光波波長(zhǎng)比原子內(nèi)電子軌道半徑大的多通常，空間色散可以忽略的多通常，空間色散可以忽略 。第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.1.3 極化率的單位極化率的單位 上面引入了宏觀介質(zhì)的極化率上面引入了宏觀介質(zhì)的極化率 (r), 實(shí)際上在文獻(xiàn)中還實(shí)際上在文獻(xiàn)中還經(jīng)常用到單個(gè)原子極化率這個(gè)參量經(jīng)常用到單個(gè)原子極化率這個(gè)參量, 我們用符號(hào)我們用符號(hào) (r)mic表表示。示。 宏觀極化率與單個(gè)原子極化率間的關(guān)系為宏觀極化率與單個(gè)原子極化率間的關(guān)系為 (r) = n (r)mic (1.1

19、 - 46) 在國(guó)際單位制（在國(guó)際單位制（SI）中）中, (r) 和和 (r)mic 的單位分別為的單位分別為13)(1)(rmicrrrVmmVm第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 由于目前仍有文獻(xiàn)使用高斯單位制由于目前仍有文獻(xiàn)使用高斯單位制(c.g.s./e.s.u.), 所所以以, 下面給出下面給出 (r)和和 (r)mic在在c.g.s./e.s.u.單位制中的單位單位制中的單位: 2/ )1(33)(2/ )1(3)(;rmicrrrergcmcmergcm 在兩種單位制中在兩種單位制中, 線性極化率線性極化率 (1)都是無量綱的都是無量綱的, 其其它階

20、非線性極化率張量之間的關(guān)系為它階非線性極化率張量之間的關(guān)系為146)()(14)()()103(104).()()103(4).()(rmicrmicrrrruseSIuseSI(1.1 - 47) (1.1 - 48) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.2 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.2.1 一維振子的線性響應(yīng)一維振子的線性響應(yīng) 設(shè)介質(zhì)是一個(gè)含有固有振動(dòng)頻率為設(shè)介質(zhì)是一個(gè)含有固有振動(dòng)頻率為0的振子的集的振子的集合。合。 振子模型是原子中電子運(yùn)動(dòng)的一種粗略模型振子模型是原子中電子運(yùn)動(dòng)的一種粗略模型, 即即認(rèn)為介質(zhì)中的每一個(gè)原子中

21、的電子受到一個(gè)彈性恢復(fù)認(rèn)為介質(zhì)中的每一個(gè)原子中的電子受到一個(gè)彈性恢復(fù)力作用力作用, 使其保持在平衡位置上。使其保持在平衡位置上。 當(dāng)原子受到外加光當(dāng)原子受到外加光電場(chǎng)作用時(shí)電場(chǎng)作用時(shí), 原子中的電子作強(qiáng)迫振動(dòng)原子中的電子作強(qiáng)迫振動(dòng), 運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為Emerdtdrhdtrd20222(1.2 - 2) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 式中式中, h是阻尼系數(shù)是阻尼系數(shù), m是電子的質(zhì)量。是電子的質(zhì)量。 現(xiàn)將現(xiàn)將r和和E傅傅里葉展開里葉展開: deEtEdertrtiti)()()()(1.2 - 3) (1.2 - 4) 由于方程由于方程(1.2 - 2

22、)是一個(gè)線性微分方程是一個(gè)線性微分方程, 因此其解因此其解r(t)只與只與光電場(chǎng)光電場(chǎng)E(t)成線性關(guān)系成線性關(guān)系, 所以對(duì)任何一個(gè)頻率分量都可以所以對(duì)任何一個(gè)頻率分量都可以得到得到)()()(2)(202Emerrihr第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 由此可解得由此可解得 2201( )( )2erEmih (1.2 - 5) 根據(jù)介質(zhì)極化強(qiáng)度的定義根據(jù)介質(zhì)極化強(qiáng)度的定義, 單位體積內(nèi)的電偶極矩復(fù)單位體積內(nèi)的電偶極矩復(fù)振幅振幅P()為為 ihEmnenerP21)()()(2202 (1.2 - 6) 再根據(jù)再根據(jù)(1.1 - 23)式的關(guān)系式的關(guān)系, 并考

23、慮一維情況并考慮一維情況, 可得可得ihmneEP21)()()(220020)1( (1.2 - 7) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 如果引入符號(hào)如果引入符號(hào) ihF21)(220(1.2 - 8)則則 )()()()(02)1( iFmne (1.2 - 9) 式中式中 22222002222220220024)(2)(4)()(hhmnehmne (1.2 - 10) 線性極化率線性極化率 (1)的實(shí)部和虛部都是的實(shí)部和虛部都是 的函數(shù)，分別光在介質(zhì)的函數(shù)，分別光在介質(zhì)中傳播的中傳播的色散和吸收色散和吸收特性。特性。第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描

24、述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 圖圖 1.2 - 1 ()和和 ()與頻率與頻率的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線420 20.51.01.5)()( 0/第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.2.2 一維振子的非線性響應(yīng)一維振子的非線性響應(yīng) E=E()e-it+E*()eit (1.2 - 12) 由于方程由于方程(1.2 - 11)式是非線性的式是非線性的, 直接求解十分困難直接求解十分困難, 而考慮到振子恢復(fù)力中的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)較小而考慮到振子恢復(fù)力中的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)較小, 可以根據(jù)微擾理可以根據(jù)微擾理論求解。論求解。 將將r展成冪級(jí)數(shù)形式展成冪級(jí)數(shù)形式: 1. 單個(gè)頻率光場(chǎng)的情況單

25、個(gè)頻率光場(chǎng)的情況 假設(shè)頻率為假設(shè)頻率為的光電場(chǎng)表示式為的光電場(chǎng)表示式為EmeBrArrdtdrhdtrd3220222為了描述非線性光學(xué)現(xiàn)象，須考慮諧振子的非線性響應(yīng)，為了描述非線性光學(xué)現(xiàn)象，須考慮諧振子的非線性響應(yīng)， (1.2 - 11) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 并代入并代入(1.2 -11)式后式后, 可以得到一系列可以得到一系列rk所滿足的方所滿足的方程。程。 在每一個(gè)方程中所包含的項(xiàng)在每一個(gè)方程中所包含的項(xiàng), 對(duì)電場(chǎng)來說都具有對(duì)電場(chǎng)來說都具有相同的階次。相同的階次。 這一系列方程中最低階次的三個(gè)方程是這一系列方程中最低階次的三個(gè)方程是31213

26、20323221220222212012122222BrrArrdtdrhdtrdrrdtdrhdtrdEmerdtdrhdtrd (1.2 - 14) (1.2 - 15) (1.2 - 16) 1kkrr(1.2 - 13) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 3(2)12121220(,)() () ()neAFFFm (1.2 - 26) 可以求得，可以求得，4(3)2123122330311231232(,) ()()3() () () () ()neBA FFmFFFFF (1.2 - 31) 由此可見，由于非線性響應(yīng)，頻率為由此可見，由于非線性響應(yīng)，

27、頻率為 的光電場(chǎng)在介的光電場(chǎng)在介質(zhì)中引起的極化強(qiáng)度不僅具有頻率為質(zhì)中引起的極化強(qiáng)度不僅具有頻率為 的分量，而且還具的分量，而且還具有頻率為有頻率為2 和和3 和直流分量，它們所對(duì)應(yīng)的極化強(qiáng)度輻和直流分量，它們所對(duì)應(yīng)的極化強(qiáng)度輻射頻率為射頻率為2 和和3 的光波。的光波。3(2)20( , )() ( ) ( )neAFFFm (1.2 - 24) 更一般的表示式為，更一般的表示式為，第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 2. 包含多個(gè)頻率分量光電場(chǎng)的情況包含多個(gè)頻率分量光電場(chǎng)的情況 假設(shè)光電場(chǎng)包含有多個(gè)頻率分量假設(shè)光電場(chǎng)包含有多個(gè)頻率分量, 用復(fù)數(shù)表示時(shí)用復(fù)數(shù)表示時(shí)

28、, 可以寫成如下的形式可以寫成如下的形式: tinnneEE)(1.2 - 32) 式中式中, E(n)是頻率為是頻率為n的光場(chǎng)的復(fù)振幅。的光場(chǎng)的復(fù)振幅。 考慮考慮到光電場(chǎng)的真實(shí)性到光電場(chǎng)的真實(shí)性, 應(yīng)有應(yīng)有 -n=-n (1.2 - 33) E(-n)=E(-n)=E*(n) (1.2 - 34)相應(yīng)的極化強(qiáng)度表示式為相應(yīng)的極化強(qiáng)度表示式為 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 (1)(1)0(,)(2)(2)0,()(3)(3)0, ,( )() ()( )(,) () ()( )(,) () ()nmnmnlitnnnitmnmnm nitmnlmnlm n

29、lPtEePtEEePtEEEe (1.2 - 35) (1.2 - 36) (1.2 - 37) 要強(qiáng)調(diào)指出的是要強(qiáng)調(diào)指出的是, 式中對(duì)式中對(duì)m, n, l 求和時(shí)求和時(shí), 應(yīng)包括所有的正應(yīng)包括所有的正值與負(fù)值。值與負(fù)值。 例如例如, 設(shè)有兩個(gè)頻率分量設(shè)有兩個(gè)頻率分量1和和2, 相應(yīng)于相應(yīng)于 (1.2-36)式中式中m和和n的可取值為的可取值為 m=1, 2, -1, -2 n=1, 2, -1, -2第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.3 極化率的一般性質(zhì)極化率的一般性質(zhì) 1.3.1 真實(shí)性條件真實(shí)性條件 由前面的討論已知由前面的討論已知, 介質(zhì)的線性極化

30、率張量介質(zhì)的線性極化率張量 (1)()與線性極化響應(yīng)函數(shù)與線性極化響應(yīng)函數(shù)R(1)()有如下關(guān)系有如下關(guān)系: deRi)()()1()1( (1.3 - 1) 因此因此, 對(duì)極化率張量取復(fù)共軛對(duì)極化率張量取復(fù)共軛, 應(yīng)有應(yīng)有 )()()()1()1()1(deRi(1.3 - 2) 其中線性極化響應(yīng)函數(shù)其中線性極化響應(yīng)函數(shù)R(1)()為實(shí)數(shù)，頻率為復(fù)數(shù)。為實(shí)數(shù)，頻率為復(fù)數(shù)。第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.3.2 本征對(duì)易對(duì)稱性本征對(duì)易對(duì)稱性 由一維振子的二階非線性極化率表示式由一維振子的二階非線性極化率表示式(1.2-26)式和式和F()表示式可以看出表示

31、式可以看出 (2)(1,2)= (2)(2,1) (1.3 - 5) 由前面的討論已知由前面的討論已知, 頻率為頻率為1和和2光電場(chǎng)所產(chǎn)生的極光電場(chǎng)所產(chǎn)生的極化強(qiáng)度包含有許多過程化強(qiáng)度包含有許多過程, 對(duì)于其中對(duì)于其中(1+2)頻率成分的極頻率成分的極化強(qiáng)度化強(qiáng)度x分量分量, 有如下一項(xiàng)表示關(guān)系有如下一項(xiàng)表示關(guān)系: tixyxyxxeEEtP)(2121)2(0)2()(2121)()(),()(而對(duì)于而對(duì)于 分量分量, 有如下一項(xiàng)關(guān)系有如下一項(xiàng)關(guān)系: 2121()(2)(2)()02121( )(,)()()itxxyxyxPtEEe xtP)()2()(12第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)

32、典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 它表示頻率為它表示頻率為2、 振動(dòng)方向?yàn)檎駝?dòng)方向?yàn)閤的光電場(chǎng)分量與頻率的光電場(chǎng)分量與頻率為為1、 振動(dòng)方向?yàn)檎駝?dòng)方向?yàn)閥的光電場(chǎng)分量的光電場(chǎng)分量, 通過二次非線性作用通過二次非線性作用, 產(chǎn)生了頻率為產(chǎn)生了頻率為(2+1)極化強(qiáng)度的極化強(qiáng)度的x分量。分量。 由于根據(jù)實(shí)際的由于根據(jù)實(shí)際的物理過程應(yīng)有物理過程應(yīng)有1221(2)(2)()()(2)(2)1221(2)(2)1221( )( )(,)(,)(,)(,)xxxyxxxyPtPt 所以有所以有 對(duì)于一般情況對(duì)于一般情況, 應(yīng)有應(yīng)有 (1.3 - 6) 第第1章章 非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述非線性光學(xué)極化率的經(jīng)典描述 1.3.3 完全對(duì)易對(duì)稱性完全對(duì)易對(duì)稱性 對(duì)于對(duì)于F()的的(1.2-8)式式, 如果展成實(shí)部和虛部表示形如果展成實(shí)部和虛部表示形式式, 有有2222202222202204)(24)()(hhihF(1.3 - 8) 當(dāng)外加光電場(chǎng)頻率當(dāng)外加光電場(chǎng)頻率遠(yuǎn)離共振頻率遠(yuǎn)離共振頻率0時(shí)