第10講-空間插值

1、概論概論Interpolation = inter + polire, means Refining by put in between.將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面用已知點(diǎn)來估算其他未知點(diǎn)的過程用已知點(diǎn)來估算其他未知點(diǎn)的過程需要插值的原因需要插值的原因現(xiàn)有離散曲面的分辨率、像元大小、方向與要求不符；現(xiàn)有離散曲面的分辨率、像元大小、方向與要求不符；現(xiàn)有連續(xù)曲面的數(shù)據(jù)模型與要求不一致；現(xiàn)有連續(xù)曲面的數(shù)據(jù)模型與要求不一致；現(xiàn)有數(shù)據(jù)不能完全覆蓋所要求的區(qū)域現(xiàn)有數(shù)據(jù)不能完全覆蓋所要求的區(qū)域內(nèi)插和外推內(nèi)插和外推Sampled pointsEstimated poi

2、nts空間插值基礎(chǔ)：控制點(diǎn)空間插值基礎(chǔ)：控制點(diǎn) 控制點(diǎn)分布 控制點(diǎn)密度 控制點(diǎn)的自相關(guān)程度 內(nèi)插方法內(nèi)插方法全局方法全局方法 趨勢(shì)面趨勢(shì)面 回歸模型回歸模型局部方法局部方法 密度估算密度估算 反距離權(quán)內(nèi)插反距離權(quán)內(nèi)插 樣條函數(shù)內(nèi)插技術(shù)樣條函數(shù)內(nèi)插技術(shù) 克里金內(nèi)插方法克里金內(nèi)插方法內(nèi)插方法：內(nèi)插方法：全局內(nèi)插全局內(nèi)插z=f( x, y)Control Points全局內(nèi)插的步驟全局內(nèi)插的步驟數(shù)學(xué)曲面函數(shù)確定數(shù)學(xué)曲面函數(shù)確定 內(nèi)插曲面的復(fù)雜程度內(nèi)插曲面的復(fù)雜程度 計(jì)算量計(jì)算量系數(shù)求解系數(shù)求解 最小二乘法最小二乘法擬合精度分析擬合精度分析常用全局內(nèi)插函數(shù)常用全局內(nèi)插函數(shù)NNjijijiijYXaZ0

3、, yaxyayxayxaxayaxyayxaxayaxyaxayaxaazyaxyayxaxayaxyaxayaxaazyzxyaxayaxaazyaxaaz4143132212311410392827362542321039282736254232102542210210 surface dorder trenforth The :surface dorder tren thirdThe :surface dorder tren second The :surface dorder trenfirst The3常用全局內(nèi)插函數(shù)特性分析常用全局內(nèi)插函數(shù)特性分析1st Order Trend

4、Original surface2nd Order Trend 3rd Order Trend 系數(shù)求解min)()(0002nlnljlilijlnlllYXazzzQNnljnilllnlllnlNlnllnlnlNijNnNNlnNjlilnNlnNlnNjlilnjjliilnjlilnjlilnNlnjlilnlnlnNlnjlilnlslrlnlNljlilijlrsllYZYXZYXZYZXZXZZaaaaaaaYYXXYYYXYXYXYXYYXYXYYXXnYXYXaZaQ01101010001111110)(擬合精度評(píng)定擬合精度評(píng)定%100)()(11212nlllnlllZ

5、ZZZC一般認(rèn)為，C在60%到70%之間擬和比較好但由于以下原因，在空間內(nèi)插中整體內(nèi)插并不常用：整體內(nèi)插函數(shù)保凸性較差；不容易得到穩(wěn)定的數(shù)值解解;多項(xiàng)式系數(shù)物理意義不明顯;解算速度慢且對(duì)計(jì)算機(jī)容量要求較高;不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征.全局內(nèi)插示例：三階趨勢(shì)面全局內(nèi)插示例：三階趨勢(shì)面局部?jī)?nèi)插塊內(nèi)逐點(diǎn)內(nèi)插格網(wǎng)點(diǎn)高程分塊已知點(diǎn)格網(wǎng)點(diǎn)局部?jī)?nèi)插：密度估算局部?jī)?nèi)插：密度估算VoronoiVoronoi多邊形多邊形 在一個(gè)多邊形內(nèi)，每個(gè)未知點(diǎn)與該多邊形內(nèi)的已知點(diǎn)最在一個(gè)多邊形內(nèi)，每個(gè)未知點(diǎn)與該多邊形內(nèi)的已知點(diǎn)最接近，而與其他已知點(diǎn)更遠(yuǎn)接近，而與其他已知點(diǎn)更遠(yuǎn)密度估算密度估算 計(jì)算在局部范圍內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)量計(jì)

6、算在局部范圍內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)量 簡(jiǎn)單密度估算簡(jiǎn)單密度估算 核密度估算核密度估算Voronoi多邊形多邊形密度估算密度估算簡(jiǎn)單密度估算簡(jiǎn)單密度估算 D = D = 點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)/ /單元面積單元面積核密度估算核密度估算 已知點(diǎn)與核密度函數(shù)聯(lián)系起來，用概率密度函數(shù)表達(dá)。已知點(diǎn)與核密度函數(shù)聯(lián)系起來，用概率密度函數(shù)表達(dá)。 窗口范圍、核窗口范圍、核 密度為窗口范圍內(nèi)觀測(cè)點(diǎn)上的隆起部分的總和密度為窗口范圍內(nèi)觀測(cè)點(diǎn)上的隆起部分的總和核密度估算核密度估算2221222112)()(11 (3),( 1 0 1 )1 (3 2ddnh)(1(1)(iiniTTTiniyyxxhnhyxfXXifKXXifXXKKKxxh

7、Knhxf可表示為在二維表面上，核密度通常表示為據(jù)是數(shù)據(jù)的維數(shù)，二維數(shù)的數(shù)目是帶寬范圍內(nèi)的觀測(cè)點(diǎn)是帶寬是核函數(shù)核帶寬密度估算示例密度估算示例局部插值：局部插值：反距離權(quán)插值反距離權(quán)插值IDWIDW基本思想：空間自相關(guān)基本思想：空間自相關(guān)程度：距離的程度：距離的n次冪倒數(shù)次冪倒數(shù)wdWij= d-uwdWij=exp(-bdij)wWij=-bdijdIDW基本公式基本公式0 if 0 if /),(11iiniiniiiidzdwzwyxzkpipkikiddyyyyxxxxniiniiiiuiiAkipAddAttdw)()(1111cos and point control with po

8、int ion interpolatby angle theis /)cos1 ( :correction lDirectiona)1 ()( :functionWeight IDW插值示例插值示例樣條函數(shù)插值樣條函數(shù)插值原理：最小的曲率面原理：最小的曲率面基本表達(dá)式：基本表達(dá)式： BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y)BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y)方法：方法： 薄板樣條函數(shù)薄板樣條函數(shù) 規(guī)則樣條函數(shù)規(guī)則樣條函數(shù) 張力樣條函數(shù)張力樣條函數(shù) 規(guī)則張力樣條函數(shù)規(guī)則張力樣條函數(shù)樣條函數(shù)插值樣條函數(shù)插值iiiddAlog

9、2)2ln()() 1)2(ln(4(21 022dcdKcdd) 1(log2iiiddA名稱基函數(shù)趨勢(shì)函數(shù)薄板樣條函數(shù)變形1規(guī)則樣條函數(shù)薄板張力樣條cybxacybxaacybxa)()2(ln(21(021iiniidKcdA公式注解公式注解A, a, b, c為相關(guān)系數(shù)，通過已知點(diǎn)和附加條件求解為相關(guān)系數(shù)，通過已知點(diǎn)和附加條件求解D為待定點(diǎn)和控制點(diǎn)之間的距離為待定點(diǎn)和控制點(diǎn)之間的距離基函數(shù)中基函數(shù)中c為為Euler常數(shù)，常數(shù)，c=0.577215和和為張力系數(shù)為張力系數(shù) ，一般取，一般取0.1K0(d/)為修正的零階為修正的零階Bessel函數(shù)，可由一多項(xiàng)式估計(jì)函數(shù)，可由一多項(xiàng)式估計(jì)得

10、到。得到。樣條函數(shù)求解樣條函數(shù)求解樣條函數(shù)求解步驟樣條函數(shù)求解步驟樣條函數(shù)示例樣條函數(shù)示例Regularized spline with tensionThin plate spline with tension樣條函數(shù)應(yīng)用樣條函數(shù)應(yīng)用平化和連續(xù)的面平化和連續(xù)的面特征：特征： 較較IDW法更為平滑法更為平滑 受控制點(diǎn)分布影響較大受控制點(diǎn)分布影響較大 數(shù)據(jù)貧乏區(qū)，插值結(jié)果較實(shí)際大數(shù)據(jù)貧乏區(qū)，插值結(jié)果較實(shí)際大 張力系數(shù)一般不宜過大，在張力系數(shù)一般不宜過大，在0.1-0.5之間之間克里金（克里金（Kriging）插值理論簡(jiǎn)介）插值理論簡(jiǎn)介主要問題主要問題 合理的插值鄰域控制點(diǎn)點(diǎn)數(shù)合理的插值鄰域控制點(diǎn)

11、點(diǎn)數(shù) 鄰域大小鄰域大小 除距離外的合理權(quán)值除距離外的合理權(quán)值 精度評(píng)定精度評(píng)定逐點(diǎn)內(nèi)插逐點(diǎn)內(nèi)插所謂逐點(diǎn)內(nèi)插，就是以內(nèi)插點(diǎn)為中心，確定一個(gè)鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的高程值逐點(diǎn)計(jì)算格網(wǎng)點(diǎn)的高程:逐點(diǎn)內(nèi)插法的基本步驟為： 定義內(nèi)插點(diǎn)的鄰域范圍；確定落在鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)；選定內(nèi)插數(shù)學(xué)模型；通過鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)和內(nèi)插計(jì)算模型計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的高程。為實(shí)現(xiàn)上述步驟，逐點(diǎn)內(nèi)插法需要解決好以下幾個(gè)問題：內(nèi)插函數(shù);鄰域大小和形狀;鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù);采樣點(diǎn)的權(quán)重;采樣點(diǎn)的分布;地學(xué)統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)介地學(xué)統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)介地學(xué)統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)介地學(xué)統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)介 法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家George Matheron和南非礦業(yè)工程師和南非礦業(yè)

12、工程師 D.G. Krige 區(qū)域變量理論區(qū)域變量理論 隨機(jī)變量和確定變量之間隨機(jī)變量和確定變量之間 地理分布現(xiàn)象不規(guī)則，不能用平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行模擬地理分布現(xiàn)象不規(guī)則，不能用平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行模擬 內(nèi)在假定內(nèi)在假定 差異的穩(wěn)定性和可變形差異的穩(wěn)定性和可變形 當(dāng)結(jié)構(gòu)成分確定后，差異變化為同性變化，不同位置之間的差當(dāng)結(jié)構(gòu)成分確定后，差異變化為同性變化，不同位置之間的差異僅為距離的函數(shù)異僅為距離的函數(shù)半方差理論半方差理論半方差理論（半方差理論（Semivariance） 空間相關(guān)性的度量指標(biāo)空間相關(guān)性的度量指標(biāo) 定義為所有恒定距離的成對(duì)點(diǎn)的方差之半定義為所有恒定距離的成對(duì)點(diǎn)的方差之半 特性特性 隨距離

13、增加而按確定規(guī)律變化隨距離增加而按確定規(guī)律變化 距離距離=0，半方差，半方差=0； 參數(shù)參數(shù) 梁梁 值域值域 融核融核半方差圖半方差圖半方差梁值域融核距離半方差計(jì)算步驟半方差計(jì)算步驟半方差計(jì)算公式半方差計(jì)算公式 公式公式 計(jì)算計(jì)算 規(guī)則分布點(diǎn)規(guī)則分布點(diǎn) 不規(guī)則分布點(diǎn)不規(guī)則分布點(diǎn) 半方差圖半方差圖 半方差模型（擬和參數(shù)計(jì)算）半方差模型（擬和參數(shù)計(jì)算）)(12)()(21)(dNihiizzdNd半方差計(jì)算：規(guī)則分布點(diǎn)半方差計(jì)算：規(guī)則分布點(diǎn)dd=1d=2d=3半方差計(jì)算：不規(guī)則分布點(diǎn)半方差計(jì)算：不規(guī)則分布點(diǎn)31579298xy半方差圖與擬和方差圖半方差圖與擬和方差圖d(d)高斯線性球形指數(shù)圓形克里金插值：普通克立金克里金插值：普通克立金克里金插值：通用克立金克里金插值：通用克立金其他克立金法其他克立金法塊克立金法塊克立金法 某一范圍內(nèi)一個(gè)變量的平均值某一范圍內(nèi)一個(gè)變量的平均值聯(lián)合克立金法聯(lián)合克立金法 加入一個(gè)或更多的次要變量，而次要變量與主要變量加入一個(gè)或更多的次要變量，而次要變量與主要變量有相關(guān)關(guān)系有相關(guān)關(guān)系 在降水量插值中，將高