第10講-空間插值

1、概論概論Interpolation = inter + polire, means Refining by put in between.將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面用已知點(diǎn)來估算其他未知點(diǎn)的過程用已知點(diǎn)來估算其他未知點(diǎn)的過程需要插值的原因需要插值的原因現(xiàn)有離散曲面的分辨率、像元大小、方向與要求不符；現(xiàn)有離散曲面的分辨率、像元大小、方向與要求不符；現(xiàn)有連續(xù)曲面的數(shù)據(jù)模型與要求不一致；現(xiàn)有連續(xù)曲面的數(shù)據(jù)模型與要求不一致；現(xiàn)有數(shù)據(jù)不能完全覆蓋所要求的區(qū)域現(xiàn)有數(shù)據(jù)不能完全覆蓋所要求的區(qū)域內(nèi)插和外推內(nèi)插和外推Sampled pointsEstimated poi

2、nts空間插值基礎(chǔ)：控制點(diǎn)空間插值基礎(chǔ)：控制點(diǎn) 控制點(diǎn)分布 控制點(diǎn)密度 控制點(diǎn)的自相關(guān)程度 內(nèi)插方法內(nèi)插方法全局方法全局方法 趨勢面趨勢面 回歸模型回歸模型局部方法局部方法 密度估算密度估算 反距離權(quán)內(nèi)插反距離權(quán)內(nèi)插 樣條函數(shù)內(nèi)插技術(shù)樣條函數(shù)內(nèi)插技術(shù) 克里金內(nèi)插方法克里金內(nèi)插方法內(nèi)插方法：內(nèi)插方法：全局內(nèi)插全局內(nèi)插z=f( x, y)Control Points全局內(nèi)插的步驟全局內(nèi)插的步驟數(shù)學(xué)曲面函數(shù)確定數(shù)學(xué)曲面函數(shù)確定 內(nèi)插曲面的復(fù)雜程度內(nèi)插曲面的復(fù)雜程度 計算量計算量系數(shù)求解系數(shù)求解 最小二乘法最小二乘法擬合精度分析擬合精度分析常用全局內(nèi)插函數(shù)常用全局內(nèi)插函數(shù)NNjijijiijYXaZ0

3、, yaxyayxayxaxayaxyayxaxayaxyaxayaxaazyaxyayxaxayaxyaxayaxaazyzxyaxayaxaazyaxaaz4143132212311410392827362542321039282736254232102542210210 surface dorder trenforth The :surface dorder tren thirdThe :surface dorder tren second The :surface dorder trenfirst The3常用全局內(nèi)插函數(shù)特性分析常用全局內(nèi)插函數(shù)特性分析1st Order Trend

4、Original surface2nd Order Trend 3rd Order Trend 系數(shù)求解min)()(0002nlnljlilijlnlllYXazzzQNnljnilllnlllnlNlnllnlnlNijNnNNlnNjlilnNlnNlnNjlilnjjliilnjlilnjlilnNlnjlilnlnlnNlnjlilnlslrlnlNljlilijlrsllYZYXZYXZYZXZXZZaaaaaaaYYXXYYYXYXYXYXYYXYXYYXXnYXYXaZaQ01101010001111110)(擬合精度評定擬合精度評定%100)()(11212nlllnlllZ

5、ZZZC一般認(rèn)為，C在60%到70%之間擬和比較好但由于以下原因，在空間內(nèi)插中整體內(nèi)插并不常用：整體內(nèi)插函數(shù)保凸性較差；不容易得到穩(wěn)定的數(shù)值解解;多項(xiàng)式系數(shù)物理意義不明顯;解算速度慢且對計算機(jī)容量要求較高;不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征.全局內(nèi)插示例：三階趨勢面全局內(nèi)插示例：三階趨勢面局部內(nèi)插塊內(nèi)逐點(diǎn)內(nèi)插格網(wǎng)點(diǎn)高程分塊已知點(diǎn)格網(wǎng)點(diǎn)局部內(nèi)插：密度估算局部內(nèi)插：密度估算VoronoiVoronoi多邊形多邊形 在一個多邊形內(nèi)，每個未知點(diǎn)與該多邊形內(nèi)的已知點(diǎn)最在一個多邊形內(nèi)，每個未知點(diǎn)與該多邊形內(nèi)的已知點(diǎn)最接近，而與其他已知點(diǎn)更遠(yuǎn)接近，而與其他已知點(diǎn)更遠(yuǎn)密度估算密度估算 計算在局部范圍內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)量計

6、算在局部范圍內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)量 簡單密度估算簡單密度估算 核密度估算核密度估算Voronoi多邊形多邊形密度估算密度估算簡單密度估算簡單密度估算 D = D = 點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)/ /單元面積單元面積核密度估算核密度估算 已知點(diǎn)與核密度函數(shù)聯(lián)系起來，用概率密度函數(shù)表達(dá)。已知點(diǎn)與核密度函數(shù)聯(lián)系起來，用概率密度函數(shù)表達(dá)。 窗口范圍、核窗口范圍、核 密度為窗口范圍內(nèi)觀測點(diǎn)上的隆起部分的總和密度為窗口范圍內(nèi)觀測點(diǎn)上的隆起部分的總和核密度估算核密度估算2221222112)()(11 (3),( 1 0 1 )1 (3 2ddnh)(1(1)(iiniTTTiniyyxxhnhyxfXXifKXXifXXKKKxxh

7、Knhxf可表示為在二維表面上，核密度通常表示為據(jù)是數(shù)據(jù)的維數(shù)，二維數(shù)的數(shù)目是帶寬范圍內(nèi)的觀測點(diǎn)是帶寬是核函數(shù)核帶寬密度估算示例密度估算示例局部插值：局部插值：反距離權(quán)插值反距離權(quán)插值IDWIDW基本思想：空間自相關(guān)基本思想：空間自相關(guān)程度：距離的程度：距離的n次冪倒數(shù)次冪倒數(shù)wdWij= d-uwdWij=exp(-bdij)wWij=-bdijdIDW基本公式基本公式0 if 0 if /),(11iiniiniiiidzdwzwyxzkpipkikiddyyyyxxxxniiniiiiuiiAkipAddAttdw)()(1111cos and point control with po

8、int ion interpolatby angle theis /)cos1 ( :correction lDirectiona)1 ()( :functionWeight IDW插值示例插值示例樣條函數(shù)插值樣條函數(shù)插值原理：最小的曲率面原理：最小的曲率面基本表達(dá)式：基本表達(dá)式： BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y)BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y)方法：方法： 薄板樣條函數(shù)薄板樣條函數(shù) 規(guī)則樣條函數(shù)規(guī)則樣條函數(shù) 張力樣條函數(shù)張力樣條函數(shù) 規(guī)則張力樣條函數(shù)規(guī)則張力樣條函數(shù)樣條函數(shù)插值樣條函數(shù)插值iiiddAlog

9、2)2ln()() 1)2(ln(4(21 022dcdKcdd) 1(log2iiiddA名稱基函數(shù)趨勢函數(shù)薄板樣條函數(shù)變形1規(guī)則樣條函數(shù)薄板張力樣條cybxacybxaacybxa)()2(ln(21(021iiniidKcdA公式注解公式注解A, a, b, c為相關(guān)系數(shù)，通過已知點(diǎn)和附加條件求解為相關(guān)系數(shù)，通過已知點(diǎn)和附加條件求解D為待定點(diǎn)和控制點(diǎn)之間的距離為待定點(diǎn)和控制點(diǎn)之間的距離基函數(shù)中基函數(shù)中c為為Euler常數(shù)，常數(shù)，c=0.577215和和為張力系數(shù)為張力系數(shù) ，一般取，一般取0.1K0(d/)為修正的零階為修正的零階Bessel函數(shù)，可由一多項(xiàng)式估計函數(shù)，可由一多項(xiàng)式估計得

10、到。得到。樣條函數(shù)求解樣條函數(shù)求解樣條函數(shù)求解步驟樣條函數(shù)求解步驟樣條函數(shù)示例樣條函數(shù)示例Regularized spline with tensionThin plate spline with tension樣條函數(shù)應(yīng)用樣條函數(shù)應(yīng)用平化和連續(xù)的面平化和連續(xù)的面特征：特征： 較較IDW法更為平滑法更為平滑 受控制點(diǎn)分布影響較大受控制點(diǎn)分布影響較大 數(shù)據(jù)貧乏區(qū)，插值結(jié)果較實(shí)際大數(shù)據(jù)貧乏區(qū)，插值結(jié)果較實(shí)際大 張力系數(shù)一般不宜過大，在張力系數(shù)一般不宜過大，在0.1-0.5之間之間克里金（克里金（Kriging）插值理論簡介）插值理論簡介主要問題主要問題 合理的插值鄰域控制點(diǎn)點(diǎn)數(shù)合理的插值鄰域控制點(diǎn)

11、點(diǎn)數(shù) 鄰域大小鄰域大小 除距離外的合理權(quán)值除距離外的合理權(quán)值 精度評定精度評定逐點(diǎn)內(nèi)插逐點(diǎn)內(nèi)插所謂逐點(diǎn)內(nèi)插，就是以內(nèi)插點(diǎn)為中心，確定一個鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)計算內(nèi)插點(diǎn)的高程值逐點(diǎn)計算格網(wǎng)點(diǎn)的高程:逐點(diǎn)內(nèi)插法的基本步驟為： 定義內(nèi)插點(diǎn)的鄰域范圍；確定落在鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)；選定內(nèi)插數(shù)學(xué)模型；通過鄰域內(nèi)的采樣點(diǎn)和內(nèi)插計算模型計算內(nèi)插點(diǎn)的高程。為實(shí)現(xiàn)上述步驟，逐點(diǎn)內(nèi)插法需要解決好以下幾個問題：內(nèi)插函數(shù);鄰域大小和形狀;鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個數(shù);采樣點(diǎn)的權(quán)重;采樣點(diǎn)的分布;地學(xué)統(tǒng)計簡介地學(xué)統(tǒng)計簡介地學(xué)統(tǒng)計簡介地學(xué)統(tǒng)計簡介 法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家George Matheron和南非礦業(yè)工程師和南非礦業(yè)

12、工程師 D.G. Krige 區(qū)域變量理論區(qū)域變量理論 隨機(jī)變量和確定變量之間隨機(jī)變量和確定變量之間 地理分布現(xiàn)象不規(guī)則，不能用平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行模擬地理分布現(xiàn)象不規(guī)則，不能用平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行模擬 內(nèi)在假定內(nèi)在假定 差異的穩(wěn)定性和可變形差異的穩(wěn)定性和可變形 當(dāng)結(jié)構(gòu)成分確定后，差異變化為同性變化，不同位置之間的差當(dāng)結(jié)構(gòu)成分確定后，差異變化為同性變化，不同位置之間的差異僅為距離的函數(shù)異僅為距離的函數(shù)半方差理論半方差理論半方差理論（半方差理論（Semivariance） 空間相關(guān)性的度量指標(biāo)空間相關(guān)性的度量指標(biāo) 定義為所有恒定距離的成對點(diǎn)的方差之半定義為所有恒定距離的成對點(diǎn)的方差之半 特性特性 隨距離

13、增加而按確定規(guī)律變化隨距離增加而按確定規(guī)律變化 距離距離=0，半方差，半方差=0； 參數(shù)參數(shù) 梁梁 值域值域 融核融核半方差圖半方差圖半方差梁值域融核距離半方差計算步驟半方差計算步驟半方差計算公式半方差計算公式 公式公式 計算計算 規(guī)則分布點(diǎn)規(guī)則分布點(diǎn) 不規(guī)則分布點(diǎn)不規(guī)則分布點(diǎn) 半方差圖半方差圖 半方差模型（擬和參數(shù)計算）半方差模型（擬和參數(shù)計算）)(12)()(21)(dNihiizzdNd半方差計算：規(guī)則分布點(diǎn)半方差計算：規(guī)則分布點(diǎn)dd=1d=2d=3半方差計算：不規(guī)則分布點(diǎn)半方差計算：不規(guī)則分布點(diǎn)31579298xy半方差圖與擬和方差圖半方差圖與擬和方差圖d(d)高斯線性球形指數(shù)圓形克里金插值：普通克立金克里金插值：普通克立金克里金插值：通用克立金克里金插值：通用克立金其他克立金法其他克立金法塊克立金法塊克立金法 某一范圍內(nèi)一個變量的平均值某一范圍內(nèi)一個變量的平均值聯(lián)合克立金法聯(lián)合克立金法 加入一個或更多的次要變量，而次要變量與主要變量加入一個或更多的次要變量，而次要變量與主要變量有相關(guān)關(guān)系有相關(guān)關(guān)系 在降水量插值中，將高