導(dǎo)數(shù)壓軸題的幾種處理方法

1、等號(hào)兩邊無法求導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)恒成立求參數(shù)范圍幾種處理方法常見導(dǎo)數(shù)恒成立求參數(shù)范圍問題有以下常見處理方法:1、求導(dǎo)之后，將參數(shù)分離出來，構(gòu)造新函數(shù)，計(jì)算1+ In x例：已知函數(shù)f（x）=.（I）若函數(shù)在區(qū)間（«+-2）（其中口>0）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（II）如果當(dāng)xnl時(shí)，不等式/（X）>恒成立，求實(shí)數(shù)&的取值范圍；X + 1解：（I）因?yàn)?1+1",，則， 旦，1分f（X）= Xx> 0/（x） = - X當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)， .所以 在（0, 1）上單調(diào)遞0 < x < 1 f（x） >0 X >1/（x）<0

2、/（x）增；在（l,+oo）上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)/'在"1處取得極大值.2分因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在區(qū)間4+1）（其中a>0 ）上存在極值,S 3)=2a < 1所以1,解得丄<< 1.- 4分1«+ > 1 2I 2(1【)不等式 fix) >,即為(x+W+ lnx) >k,記 g(x) = (x + l)(l+ln.Q ,X+1XXx- lnx所以6分J2X：令h(x) = x- Inx,貝J hx) = 1 一 ，x> 1,. hx) > 0./. H(X)在1,+00)上單調(diào)遞增, /Kx)mm =/?(!

3、)= 1 > 0 ,從而 gx) > 0故g在1,+00）上也單調(diào)遞增,=g（l）=2 ,所以M2 8分然后求出含參最值,從而確定參數(shù)范冃1 ,曲/(x) = - X3 -(1 + a)x + 4ax+ 24a例題：設(shè) 3,其中(1) 若/(X)有極值，求Q的取值范圍；(2) 若當(dāng)/仗)>°恒成立，求Q的取值范圍.解：由題意可知:廣(x)f 2(】+d)x+4d,且八X)有極值，則f'M = 0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故 = 4(1 + a)，-"a = 4(l-a)： > 0 ,解得：dHl,即ae(-xrl)Ua,+x)(4 分)(2)由于

4、x>0, f(x) > 0 恒成立，則 /(0) = 24 > 0,即 >0(6 分)由 /'(X)= x: -2(1 +a)x+4d = (x-2)(x-2a) 貝9®當(dāng)° <Q< 1時(shí)，(處 在x=2d處取得極大值、在x = 2處取得極小值，則當(dāng) 時(shí)，miny(x) = /(2)=28-i>0» 解得：寺； © 分) 當(dāng)a=l時(shí)，/(x)3 0,即/(x)在°+戈)上單調(diào)遞增，且/(°)= 24a0,則/(x)*(0)>0恒成立；do分) 當(dāng)°>1時(shí)./(X)

5、在x = 2處取得極人值、在x= 2a處収紂極小值.則當(dāng)亠八時(shí)，min /(x) = /(2d) = -#/ + 4/+24d>0,解得：綜上所述，a的取值范圍是：J_<d<621但是對(duì)于導(dǎo)數(shù)部分的難題，上述方法不能用時(shí)，我們得另辟蹊徑一、分開求左右最值：1、已知函數(shù)f(x) = xlnx. 求函數(shù)他)在r, r+2(r>0)±的最小(、 2值；(2)求證：對(duì)一切xw (o,+s),都有inx>e x-ex1解(1)廣(x) = lnx+1,令廣=0 ,得兀二e»1xe(e，-ko)f(x) > 0J(x)2當(dāng)xw(0, £)時(shí)

6、，廣<0單減；當(dāng) - 時(shí)，'單增。 (分)r > 0 .當(dāng)0 v/v '幺時(shí),f在1 1 上單祓,在L e)f21I上單増，所以/Wniin =/( e) = - e t (4 分當(dāng)t> 1時(shí)，/在f,f + 2上單增，所以f min =/(f) = / 111 /。(6 分)(2)要證原命題成立，需證：/(A-)> _L-2(x>0)成立。 ex e設(shè)x 2 9則，17 ,令得，當(dāng)時(shí)，g(x) =ex eg(x) =» exg(x) = °x = 1x e (0,1)« Jf單増:當(dāng)時(shí)，'單減，所以當(dāng)時(shí)，g(

7、X)max =丄 O(9分)又由(1)得f(x)在(0,丄)上單減，在(丄,乜)上單增，所以當(dāng)X=1時(shí)，/(x)mmeeee又 /(l) = 0>- £ = g(l),./(x)g(x) ,(11 分)所以對(duì)一切X w (0,+co),都有In x > e x-ex 成立。(12 分)2、設(shè)函數(shù)加“-曲“y,記=畔，若函數(shù)曲)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是EZIg( x) = x: - 2ex+ m 一 = 0 => w = -x2 + lex +( x a 0 I 設(shè)XX(x) = -x:+2ex + ,令川衛(wèi)=7亠+2農(nóng)，)=仏=>彳&a

8、mp;)=匕血工,發(fā)現(xiàn)XXX"函數(shù)在x'Qei上都單調(diào)遞増，在XE任+CCI上都單調(diào)遞減，于是函數(shù)(x) = -x:+2ex + 在上單調(diào)遞增，在"b+x)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x = eX時(shí)力亠(力=一+丄，所以函數(shù)恥)有零點(diǎn)需滿足即m<e2+-.二、適當(dāng)處理后能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算:3、(2014年一測(cè))己知函數(shù)/(a)=x1iix,g(x)=k(x-l)(1)若f (x)>=g(x),求k的范圍解:注意到函數(shù)/的定義域?yàn)?0,+切，所以/(X) > g(x)恒成立O 3. > 迪恒成立，XX設(shè) h(x) = In x -斤 QT)(x > 0)

9、,h(x) = x x r則' 丄厶，2分當(dāng)R < 0時(shí)，用(x) > 0對(duì)x0恒成立，所以h(x)是(0, 3)上的增函數(shù)，注總到/(I) = 0 ,所以0 v 1時(shí)，h(x) < 0不合題意.4分當(dāng) R>0 時(shí)，若 0 vxvR,”(x)<0 ；x>k, hx)>0.所以/?(x)是(OU )上的減函數(shù)，是伙,+8)上的增函數(shù)，故只需 /?(x)min = h(k) = hi k - k +1 > 0 . 6 分令u(x) = lnx-x+l(x> 0),“(x) = x_l x ,當(dāng) 0 vx v 1 時(shí)，iC(x) >

10、0 ；當(dāng) x1 時(shí)，iC(x) < 0 .所以u(píng)(x)是(0,1)上的增函數(shù)，是(1, +8)上的減函數(shù).故ll(x) <M(1) = 0當(dāng)且僅當(dāng)X = 1時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)且僅當(dāng)R = 1時(shí)，處)> 0成立，即k= 1為所求.三、放縮后，求參數(shù)范圍4、設(shè)函數(shù)f(x) = ex-l-x-ax2 o(1) 若a = 0 ,求/(X)的單調(diào)區(qū)間:(2) 若當(dāng)x n 0時(shí)/(X)> 0 ,求a的取值范圍(1) a = 0 時(shí)，f(x) = ex-l-x , fx) = ex-l當(dāng) xw(Y), 0)時(shí)，廣(x)<0；當(dāng) xw(0,*o)時(shí)，廣(x)>0.故/(x)

11、在(-8,0)單調(diào)減少，在(0,+s)單調(diào)增加(II) fl(x) = ex-l-2ax由（I）知ex >l+x9當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立故f x) >x - 2ax = (1- 2a)x ,從而當(dāng) 1 一2。0,即 a<2 時(shí)，廣（x）no（xno）,而/（0）=0 ,于是當(dāng) xXO 時(shí)，/(x)>0.時(shí),由> 1+ x(x 工 0)可得 x > 1- x(x 工 0).從而當(dāng) a > 2fx) <-1+ 2a(eT x-1) = eTx 0 _1)(" 2a),于是當(dāng) x e (0, In la)時(shí)，f(x) <0 .故當(dāng) x

12、 e (0, In 2a)時(shí)，fx) < 0 ,而/(0) = 0 ,綜合得a的取值范圍為（-s,丄.2值值fax 值/值5、（2014 牛一測(cè)丿“.0燈<1 值SX/W = （1一?。▁ e R） f（x） > 0解（I ）由題知f-X，當(dāng)'值值值k值值值時(shí),x < 1 f(x) < 0，當(dāng)'時(shí),所以函數(shù)/的增區(qū)間為（Y>,1），減區(qū)間為（1嚴(yán)）,其極大值為/（i）= L無極小值.e（II ）由題知0 vxvl,當(dāng)RSO時(shí)，因?yàn)?x<0<j<b由知函數(shù)在（-叫1）單調(diào)遞增,所以/«>/（-%）,符合題意;當(dāng)

13、0<R<l時(shí)，取x = S 可得/伙）>/（!）,這與函數(shù)在（-co,l）單調(diào)遞增不符；9分k 1當(dāng)kni時(shí)，因?yàn)?x>-v>i,由知函數(shù)/在(i,+9單調(diào)遞減，L111所以f(x)<f(X)f 即只需證即證xex>xeK ,即 In - x > - In x - x » 2 liu - x + x > 0 ,令 h(x) = 2 In j - X + (0 < x < 1),則"(¥)= -<0 對(duì) Ocx cl 恒成立，x22所以力為(0,1)上的減函數(shù)，所以/?(x)>/?(l) = O ,所以/(幺)，符合題意.11分X綜上：k(Y),0 1,皿)為所求 12分6、(2013年遼寧) 已知函數(shù)f(x) = (1+ x)e2 * , g ( x) = ax + ® +1+ 2x cos x.當(dāng) xe0,l時(shí) 2求證：1-x </( x) <i-r X；(II)若/( x) A g ( Q恒成立，求實(shí)數(shù)d取值范第一問略：飛甲爐n；i h*oi 刃 awwa” UnCM C” 丁烘 !川嗨屈小7'|缶 ?lr叫叩切）仃02吹"”樣訓(xùn)3£7x(j; + ”)+"+ I(X wnp + I + 4- X»